2026年中考数学二轮复习 定性分析意识的培养 专题训练

**基本信息** 以定性分析为核心方法，通过几何图形属性判断构建解题导航，系统整合动态几何、圆综合等中考高频题型，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |动态几何|4题|通过图形运动趋势定性判断最值，如“中点轨迹”“垂线段最短”|三角形中位线、圆的性质→动态问题中的不变量分析| |圆的综合|3题|利用圆周角、直径性质定性识别图形关系，如“直径所对圆周角为直角”|圆的基本性质→相似三角形→面积/长度计算| |三角形综合|5题|通过等腰、直角三角形特性定性推导边角关系，如“三线合一”“30°角直角三角形性质”|全等/相似判定→几何变换→综合证明|

九下数学 ----中考冲刺 几何问题《定性分析意识的培养》 定性分析指通过非数值化的逻辑推理，从问题本质、结构或关系等角度进行判断和分析的方法。它关注“是什么”“有没有”“属于哪一类”等属性问题，而非具体数值计算。 本质是通过观察、比较、抽象与概括等思维方法，识别问题的关键属性（如几何图形的形状、函数的变化趋势、方程根的存在性等），而非依赖数值计算。 定性分析在初中数学中无处不在，它就像解题的“导航”，先帮你确定方向和可能性，再决定是否需要“定量”计算。 1．如图，已知在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝120°，BD＝2CD＝4，AD＝2，则AB的长为 　 　 ． 2．如图，在△ABC中，AB＝2，∠ACB＝60°，DC⊥BC，DC＝BC，则AD的长的最大值为 　 　 ． 3．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的周长记作C1；取BE中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的周长记作C2，⋯，照此规律作下去，则C2027＝　 　 ． 4．如图，分别经过原点O和点A（8，0）的动直线a，b，其夹角∠OBA＝30°，点M是OB中点，连接AM，则AM的最小值是（　　） A．4 B． C． D． 5．如图，△ABC中，∠ABC＝120°，AC＝2，⊙O是△ABC的外接圆，D是上任意一点（不包括点A、C），顺次连接四边形ABCD四边中点得到四边形EFGH，则四边形EFGH的周长的最大值为　 　 ． 6．如图，在△ABC中，AB＝8，DE⊥AB于D，若△ABC的外心O在线段DE上，∠BOC＝120°，则DE＝　 　 ． 7．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC＝10，∠B＝45°，tanC，则⊙O的半径是　 　 ． 8．（2026•南京一模）如图，在半径为4的⊙O中，弦，B是⊙O上的一动点（不与点A重合），D是AB的中点，M为CD的中点，则AM的最大值为 　 　 ． 9．（2026•南京模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D在边AB上，过点A作AE⊥CD，垂足为点E，若E在三角形ABC外部，则的最小值是　 　 ． 10．如图，在Rt△ABC中，P是斜边AB边上一点，且BP＝2AP，分别过点A、B作l1、l2平行于CP，若CP＝4，则l1与l2之间的最大距离为 　 　 ． 11．半圆O的直径AB＝8，C为半圆上一点． （1）若AC＝6，则BC的长是　 　 ； （2）①如图①，若D是的中点，且AD＝2，求BC的长； ②如图②，若D、E是的三等分点，且AD＝2，直接写出BC的长． 【典型例题】 10．已知a，b都是正数，ab为定值，求证：当a＝b时，a+b有最小值2． 请利用上述结论，解答下列问题： （1）若a＞0，则当a＝　 　 时，a取得最 　 　 值，为 　 　 ； （2）若a＞1，求代数式a的最小值； （3）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝a，AC＝b，点E在BC上，且BE＝AB，点F在CB延长线上，且BF＝AC．已知△ABC的面积为，求线段EF的最小值． 12．（2026•南京一模）阅读下列材料，并完成相应的任务． 我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系： 如图1，sinα． 一般地，当a、β为任意角时，sin（α+β）与sin（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ． 例如：sin15°＝sin（45°﹣30°）＝sin45°cos30°﹣cos45sin30°． 任务： （1）计算：sin75°＝　 　 ； （2）如图2，在△ABC中，∠B＝15°，∠C＝45°，AC＝22，求BC的长； （3）已知0＜β＜α＜45°，且sin（α+β），求sin2α的值． 13．（2026•南京模拟）等腰三角形的确定性问题再探究： （1）证明：底边上的高和一腰上的中线分别相等的两个等腰三角形的底相等． 已知：如图，△ABC与△A′B′C′是等腰三角形，AB＝AC，A′B′＝A′C′，AD与A′D′是△ABC与△A′B′C′的高，CE与C′E′是△ABC与△A′B′C′腰上的中线，且AD＝A′D′，CE＝C′E′． 求证：BC＝B′C′． 小明给了一些思路，请根据小明的思路，完成证明第三步： 小明的部分证明思路：第一步，连接DE与D′E′，DEAC，DE∥AC， 第二步证明△DEO与△AOC相似，同理可得△D′E′O′与△A′O′C′相似， 第三步… ∵△DEO∽△ACO， ∴　 　 ， 可得DOAD，COCE， 同理：D′O′A′D′，C′O′C′E′， 又∵AD＝A′D′，CE＝C′E′， ∴DO＝　 　 ，CO＝C′O′， 即可证明△CDO≌△C′D′O′， ∴DC＝D′C′， 进一步可得BC＝B′C′． （2）若已知等腰三角形腰上的中线为a，腰上的高线长为b，请用直尺和圆规画出△ABC（用两种方法）． 要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 14．（2026•鼓楼区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝15．点P从点A出发，沿AC向终点C运动，同时点Q从点C出发，沿射线CB运动，它们的速度均为每秒5个单位长度，点P到达终点时，P、Q同时停止运动．当点P不与点A、C重合时，过点P作PN⊥AB于点N，连结PQ，以PN、PQ为邻边作▱PQMN．设▱PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒． （1）①AB的长为 　 　 ； ②PN的长用含t的代数式表示为 　 　 ． （2）当▱PQMN为矩形时，求t的值； （3）当▱PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式． 15．如图，矩形ABCD，AB＝5，BC＝3，将矩形ABCD绕点A按逆时针方向旋转，得到矩形AEFG． （1）若E点正好落在边CD上，连接BE，BG，且BG交AE于P． ①E点坐标为　 　 ； ②求证：BG＝2PB． （2）取定（1）中的P点，在矩形ABCD旋转过程中，直接写出△PEF面积的最大值和最小值． 16． 如图，在凸四边形ABCD中，∠DAB＝∠DBC＝∠DCB＝45°，AB＝4，求△ABC的面积． 17．学习了《中心对称图形》后，阿中与茜茜对平行四边形进行了再次探究： （1）阿中发现：命题“一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形”是个假命题，如何举反例说明呢？茜茜稍作思考说：“取一张如图1所示的等腰三角形纸片ABC，其中AB＝AC，在BC边上取一点D（不是中点），连接AD，沿AD剪开纸片，重新拼接……”， 请你完成茜茜的举反例过程，画出相应的图形，并配以必要的说明； （2）阿中进一步探究发现：“一组对边相等且一组对角是直角的四边形是矩形”，请你完成证明过程； 已知：如图2，四边形ABCD中，AB＝CD，∠A＝∠C＝90°，求证：四边形ABCD是矩形． （3）茜茜发现折叠矩形可以得到菱形：如图3，将矩形ABCD折叠，使得A、C两点重合，点B落在点B′，折痕分别交边BC、AD于E、F两点，交AC于O两点，则四边形AECF是菱形．请在框图中补全茜茜的证明思路． 茜茜的证明思路 由折叠易知EF是AC的垂直平分线，可以先证△AOF≌①　 　 ，得到②　 　 ，又由OA＝OC，可得四边形AECF是平行四边形，再由③　 　 ，于是▱AECF是菱形． （4）茜茜给阿中出了一道思考题：“如图4，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E、F分别是边AB、AD上的点，将矩形ABCD沿着直线EF折叠，使点A与矩形ABCD内部的点P重合，问BP的最小值是多少？”请聪明的你用矩形纸片操作探究一下，直接写出BP的最小值． 十．圆的综合题（共1小题） 18．（2025秋•鼓楼区校级期末）“关联”是解决数学问题的重要思维方式．角平分线的有关联想就有很多… 【问题提出】 （1）如图①，PC是△PAB的角平分线，求证：． 小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，利用“三角形相似”． 小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，利用“等面积法”． 请根据小明或小红的思路，选择一种并完成证明． 【作图应用】 （2）如图②，AB是⊙O的弦，在⊙O上作出所有符合条件的点P，使得． 要求：（1）用直尺和圆规作图；（2）保留作图的痕迹，不写作法． 【深度思考】 （3）如图③，PC是△PAB的角平分线，若AC＝4，BC＝2，则△PAB的面积最大值是　 　 ． 19．尺规作图： （1）已知点P是∠AOB的内部一点，过点P用直尺和圆规作直线CD，直线CD交OA、OB分别为点C、D．使OC＝OD．（两种方法）写出必要文字说明． （2）已知点P是∠AOB的内部一点，过点P用直尺和圆规作直线CD，直线CD交OA、OB分别为点C、D．使得△PCD为等边三角形． 20．（2025•鼓楼区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BD是⊙O的直径，AD与BC交于点E，在CA的延长线上取点F，使BA平分∠FBC． （1）求证：BF是⊙O的切线； （2）若AE＝4，ED＝5，求AB的长． 21．（2026•南京一模）材料：对于一个关于x的二次三项式ax2+bx+c（a≠0），除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小宁同学还想到了利用根的判别式的方法， 例：求x2+2x+5的最小值； 解：令x2+2x+5＝y ∴x2+2x+（5﹣y）＝0 ∴Δ＝4﹣4×（5﹣y）≥0， ∴y≥4，∴x2+2x+5的最小值为4． 请利用上述方法解决下列问题： 如图，在△ABC中，BC＝10，高AD＝8，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H．设EQ＝x． （1）用含x的代数式表示EF的长； （2）求矩形EFPQ的面积最大值． 22．（2026•鼓楼区校级模拟）如图，锐角△ABC内接于⊙O，AF平分∠BAC，交BC于点D，交⊙O于点E，BE平分∠CBF，连结BO并延长交AD于点G． （1）求证：BF是⊙O的切线； （2）若BG平分∠ABC，AG＝3，GD＝2，求BG的长． 25．（2026•鼓楼区二模）平行线是研究三角形相似的基本工具． 【初步尝试】 （1）如图①，在△ABC中，点D在BC边上，，在AB边上求作点E，使．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要文字说明．） 【深入研究】 （2）如图②，在△ABC和△A′B′C′中，D，D′分别边BC，B′C′上一点，∠BAD＝∠B'A'D'，∠CAD＝∠C′A′D′，，求证△ABC∽△A′B′C′． 【应用拓展】 （3）如图③，已知△ABC，直线l1∥l2∥l3． ①在图③中，求作△A′B′C′，使点A′，B′，C′分别在l1，l2，l3上，且△A′B′C′∽△ABC．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要文字说明．） ②设在①中所作的△A'B'C'的边A'C'与l2交于点D′，发现随着△ABC形状的变化，B′D′的长度也随之变化．若∠ABC＝120°，l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为4，则B′D′的最小值是 　 　 ． 26．（2026•玄武区一模）如图1，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点D为BC边上的动点，以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E． （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）当DE∥AB时，求AE的长； （3）如图2，在点D从点B运动到点C的过程中，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F，请直接写出点F运动的路径长． 【答案】． 【解答】解：过点D作DE⊥AC，交AC延长线于E，如图所示： ∵∠ACB＝60°，DC⊥BC， ∴∠DCE＝180°﹣60°﹣90°＝30°， ∴DECD， 设DC＝BC＝x，AC＝y， 则DEx，CEx， ∴AE＝AC+CE＝yx， 在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2＝AE2+DE2＝（yx）2+（x）2＝x2+y2xy， ∵（x﹣y）2≥0， ∴xy（x2+y2）， 当x＝y时，取等号， ∴AD2＝x2+y2xy≤x2+y2（x2+y2）， ∴当x＝y时，AD最大， ∵∠ACB＝60°， ∴AD最大时，△ABC为等边三角形， 此时，x＝y＝AB＝2， AD2＝x2+y2（x2+y2）＝22+22（22+22）＝8+4， ∵AD＞0， ∴AD， 故答案为：． 解法2：如图，在AB的下方作以AB为斜边的等腰直角三角形ABF，连接CF， 则BABF，∠ABF＝45°， ∵DC⊥BC，DC＝BC， ∴△BCD是等腰直角三角形， ∴BDBC，∠CBD＝45°， ∴，∠ABF+∠ABC＝∠CBD+∠ABC， 即∠FBC＝∠ABD， ∴△FBC∽△ABD， ∴， ∴ADCF， 当C在△ABC外接圆最高点处时，△ABC为等边三角形，CF取得最大值1， ∴AD最大值为， 故答案为：． 二．三角形中位线定理（共1小题） 3．（2026•溧水区一模）如图，△ABC是边长为1的等边三角形，取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的周长记作C1；取BE中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的周长记作C2，⋯，照此规律作下去，则C2027＝　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵△ABC是边长为1的等边三角形， ∴AB＝BC＝AC＝1， ∵E是BC边中点，ED∥AB， ∴DE是△ABC的中位线， ∴， ∵EF∥AC， ∴四边形EDAF是菱形， ∴， 同理：以此方法得到的四边形都为菱形，且边长为前一个菱形边长的， 即，，……，， ∴． 三．垂线段最短（共1小题） 4．（2025•鼓楼区一模）如图，分别经过原点O和点A（8，0）的动直线a，b，其夹角∠OBA＝30°，点M是OB中点，连接AM，则AM的最小值是（　　） A．4 B． C． D． 【答案】C 【解答】解：如图所示， ∵OA＝8，∠OBA＝30°， ∴点B在以△AOB的外接圆⊙N上运动， 在x轴上截取AE＝OA， 则AMBE， 所以当BE取最小值时，AM取最小值， 连接NE，与x轴的交点为B′，此时AM的长度最小， ∵OA＝8，∠OBA＝30°， ∴∠ONA＝60°， ∴△ONA为等边三角形， 过点N作NC⊥OA， ∴∠ANC＝30°， ∴NC＝AN×cos30°＝84， 在Rt△NCE中， NE8， B′E＝NE﹣NB′＝88， ∴AM的最小值为（88）＝44． 故选：C． 四．三角形的外接圆与外心（共3小题） 5．（•南京二模）如图，△ABC中，∠ABC＝120°，AC＝2，⊙O是△ABC的外接圆，D是上任意一点（不包括点A、C），顺次连接四边形ABCD四边中点得到四边形EFGH，则四边形EFGH的周长的最大值为　2　 ． 【答案】2 【解答】解：如图1， ∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∠ABC＝120°， ∴∠D＝60°， 连接OA，OC， ∴∠AOC＝120°， 过O作OM⊥AC于M， ∴∠AOMAOC＝60°，AMAC＝1， ∴OA， 如图2，四边形EFGH是四边形ABCD的中点四边形， ∴EF＝HGAC，EH＝FGBD， ∴当BD最大时，四边形EFGH的周长的值最大， ∴当BD为⊙O的直径时，四边形EFGH的周长的值最大， ∴四边形EFGH的周长的最大值＝AC+BD＝2， 故答案为：2． 6．（秋•南京月考）如图，在△ABC中，AB＝8，DE⊥AB于D，若△ABC的外心O在线段DE上，∠BOC＝120°，则DE＝　4　 ． 【答案】4． 【解答】解：如图，作△ABC的外接圆⊙O，连接OA， ∵，∠BOC＝120°， ∴∠BAC∠BOC＝60°， ∵OA＝OB，OD⊥AB， ∴ADAB8＝4， 在Rt△ADE中，DE＝AD•tan∠BAC＝4tan60°＝4， 故答案为：4． 7．（•南京二模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC＝10，∠B＝45°，tanC，则⊙O的半径是　　 ． 【答案】 【解答】解：过点A作AH⊥BC于H，作直径AD，连接BD， 在Rt△AHC中，tanC，即， 设AH＝3x，则HC＝2x， 在Rt△ABH中，∠ABH＝45°， ∴BH＝AH＝3x， 由题意得，2x+3x＝10， 解得，x＝2， ∴AH＝BH＝6， 由勾股定理得，AB6， 由圆周角定理得，∠D＝∠C， ∴tanD＝tanC， ∴BD＝4， ∴AD2， ∴⊙O的半径为， 故答案为：． 五．圆周角定理（共2小题） 8．（2026•南京一模）如图，在半径为4的⊙O中，弦，B是⊙O上的一动点（不与点A重合），D是AB的中点，M为CD的中点，则AM的最大值为 　1　 ． 【答案】1． 【解答】解：连接OB，OA，取OA的中点E，连接DE，CE，取CE的中点G，连接GM，AG，如图1所示： ∵⊙O的半径为4， ∴OA＝OB＝4， ∵点D为CD的中点，点E为OA的中点， ∴DE为△AOB的中位线， ∴DEOB＝2， ∴随着点B在⊙O上运动， 点D在以E为圆心以2为半径的圆上运动， ∵点M为CD的中点，点G为CE的中点， ∴GM为△CED的中位线， ∴GMED＝1， ∴随着点E的运动，点M在以点G为圆心以1为半径 的圆上运动， 根据“两点之间线段最短”得：AM≤AG+GM， ∴当AM＝AG+GM时，AM为最大， 即当A，G，M在同一条直线上时，AM为最大， 最大值为AG+GM， 如图2所示，取OE的中点F，连接GF，OC， ∵⊙O的半径为4， ∴OA＝OC＝4， ∴OA2+OC2＝42+42＝32， 又∵AC， ∴AC232， ∴OA2+OC2＝AC2， ∴△AOC为直角三角形，即∠AOC＝90°， ∵点F是OE的中点，点G是CE的中点， ∴GF为△EOC的中位线， ∴GFOC＝2，OFOE＝1，GF∥OC， ∴∠AFG＝∠AOC＝90°， ∴AF＝OA﹣OF＝3， 在Rt△AGF中，AF＝3，GF＝2， 由勾股定理得：AG， ∴AG+GM1． ∴AM的最大值为1． 故答案为：1． 9．（秋•秦淮区期中）半圆O的直径AB＝8，C为半圆上一点． （1）若AC＝6，则BC的长是　2　 ； （2）①如图①，若D是的中点，且AD＝2，求BC的长； ②如图②，若D、E是的三等分点，且AD＝2，直接写出BC的长． 【答案】（1）2． （2）①7． ②． 【解答】解：（1）如图1中，连接AC． ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∴BC2． 故答案为2． （2）如图1中，连接OD交AC于H，连接OC，则OA＝OC＝OD＝4． ∵D是的中点， ∴， ∴CD＝AD＝2，OD垂直平分线段AC， 设DH＝x，则OH＝4﹣x， ∵AC⊥OD， ∴∠CHD＝∠CHO＝90°， ∴CD2﹣DH2＝CO2﹣OH2， ∴22﹣x2＝42﹣（4﹣x）2， 解得x， ∴CH， ∵OD垂直平分AC， ∴AC＝2CH， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∴BC7． ②连接AE，AC，过点A作AH⊥ED交ED的延长线于H，过的C作CI⊥DE交DE的延长线于I． ∵D，E，C是的三等分点， ∴， ∴EC＝DE＝AD＝2，∠DEA＝∠EAC， ∴DE∥AC， ∵∠H＝∠I＝90°， ∴∠HAC＝180°﹣90°＝90°， ∴四边形AHIC是矩形， ∴AH＝CI，AC＝HI， ∵AD＝CE，∠H＝∠I＝90°， ∴Rt△AHD≌Rt△CIE（HL）， ∴EI＝DH，设DH＝x，则HE＝x+2， ∵∠H＝90°， ∴AE2﹣EH2＝AH2＝AD2﹣DH2， ∴（）2﹣（x+2）2＝22﹣x2， 解得x， ∵EI＝DH， ∴HI＝DH+DE+EI2， ∴AC＝HI， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∴BC． 六．配方法的应用（共1小题） 10．（秋•鲤城区校级月考）已知a，b都是正数，ab为定值，求证：当a＝b时，a+b有最小值2． 证明：∵a＞0，b＞0， ∴（）2≥0， ∴a+b﹣20，即a+b≥2， ∴当a＝b时，有（）2＝0， ∴a+b＝2，即a+b有最小值2． 请利用上述结论，解答下列问题： （1）若a＞0，则当a＝　2　 时，a取得最 　小　 值，为 　4　 ； （2）若a＞1，求代数式a的最小值； （3）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝a，AC＝b，点E在BC上，且BE＝AB，点F在CB延长线上，且BF＝AC．已知△ABC的面积为，求线段EF的最小值． 【答案】（1）2；小；4， （2）11， （3）6． 【解答】解：（1）∵a＞0，则， ∴当a时，a的值为最小，最小值为：4． 由a得：a2＝4， ∴a＝2， 即若a＞0，则当a＝2时，a取得最小值，为4， 故答案为：2；小；4． （2）∵a＞1，则a﹣1＞0， ∴a（a﹣1）1， 对于（a﹣1），当a﹣1时，（a﹣1）有最小值，最小值为， ∴（a﹣1）1的最小值为11， 即a的最小值为11． （3）AB＝a，AC＝b，∠BAC＝90°，△ABC的面积为， ∴ab， ∴ab＝9， ∵BE＝AB＝a，BF＝AC＝b， ∴EF＝BF+BE＝a+b， ∵a+b，ab＝9， ∴a+b≥6， ∴线段EF的最小值为6． 七．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题） 11．（2025秋•立山区月考）解析式法、列表法、图象法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数y＝2x+b与部分自变量与函数值的对应关系： x a 1 y＝2x+b a 1 　7　 　﹣2　 7 （1）求a，b的值，并补全表格； （2）结合表格，当y＝2x+b的图象在的图象上方时，直接写出x的取值范围． 【答案】（1）a＝﹣2，b＝5；补全表格如下： x a 1 y＝2x+b a 1 7 ﹣2 7 （2）或x＞1． 【解答】解：（1）由表格可得，， ∴， ∴一次函数为y＝2x+5， ∴当x＝1时，y＝2×1+5＝7， ∴， ∴k＝7， ∴反比例函数为， ∴当时，， ∴补全表格如下： x a 1 y＝2x+b a 1 7 ﹣2 7 （2）画函数图象如下： 由函数图象可知，当y＝2x+b的图象在的图象上方时，x的取值范围为或x＞1． 八．三角形综合题（共2小题） 12．（2026•南京一模）阅读下列材料，并完成相应的任务． 我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系： 如图1，sinα． 一般地，当a、β为任意角时，sin（α+β）与sin（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ． 例如：sin15°＝sin（45°﹣30°）＝sin45°cos30°﹣cos45sin30°． 任务： （1）计算：sin75°＝　　 ； （2）如图2，在△ABC中，∠B＝15°，∠C＝45°，AC＝22，求BC的长； （3）已知0＜β＜α＜45°，且sin（α+β），求sin2α的值． 【答案】（1）； （2）2； （3）． 【解答】解：（1）∵sin75°＝sin（45°+30°） ＝sin45°cos30°+cos45°sin30° ， 故答案为：； （2）作AB的垂直平分线l交BC于点M，连接AM，过点A作AN⊥BC，N为垂足， ∴AM＝BM， ∵在△ABC中，∠B＝15°，∠C＝45°，AC＝22， ∴∠BAM＝∠B＝15°，∠AMN＝2×15°＝30°，∠CAN＝45° ∴AN＝NC， ∵sinC， ∵sin45°， ∴AN（2）， ∵tan∠AMN，tan30°， ∴MN＝（）， BM＝AM＝2AN＝2， ∴BC＝BM+MN+NC＝22； （3）∵0＜β＜α＜45°，sin（α+β），cos（α﹣β）， ∴cos（α+β），sin（α﹣β）， sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ， ∴sin2α＝sin（α+β+α﹣β）＝sin（α+β）cos（α﹣β）+cos（α+β）sin（α﹣β） ． 13．（2026•南京模拟）等腰三角形的确定性问题再探究： （1）证明：底边上的高和一腰上的中线分别相等的两个等腰三角形的底相等． 已知：如图，△ABC与△A′B′C′是等腰三角形，AB＝AC，A′B′＝A′C′，AD与A′D′是△ABC与△A′B′C′的高，CE与C′E′是△ABC与△A′B′C′腰上的中线，且AD＝A′D′，CE＝C′E′． 求证：BC＝B′C′． 小明给了一些思路，请根据小明的思路，完成证明第三步： 小明的部分证明思路：第一步，连接DE与D′E′，DEAC，DE∥AC， 第二步证明△DEO与△AOC相似，同理可得△D′E′O′与△A′O′C′相似， 第三步… ∵△DEO∽△ACO， ∴　　 ， 可得DOAD，COCE， 同理：D′O′A′D′，C′O′C′E′， 又∵AD＝A′D′，CE＝C′E′， ∴DO＝D'O'　 ，CO＝C′O′， 即可证明△CDO≌△C′D′O′， ∴DC＝D′C′， 进一步可得BC＝B′C′． （2）若已知等腰三角形腰上的中线为a，腰上的高线长为b，请用直尺和圆规画出△ABC（用两种方法）． 要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 【答案】（1）；D'O'； （2）或 【解答】解：（1）∵△DEO∽△ACO， ∴， 可得DOAD，COCE， 同理：D′O′A′D′，C′O′C′E′， 又∵AD＝A′D′，CE＝C′E′， ∴DO＝D'O'，CO＝C′O′， 即可证明△CDO≌△C′D′O′， ∴DC＝D′C′， 故答案为：；D'O'； （2）方法一：①先画出直角三角形BDE， ②利用第一题的重心结论，找出重心P， ③根据对称性，以点P为圆心，PB为半径作弧，交直线DE与点C， ④找出BC中点F，连接FP并延长交直线DE与点A， 则△ABC为所求． 方法二：①先画出直角三角形BDE， 解得t， 即当▱PQMN为矩形时t； （3）当▱PQMN△ABC重叠部分图形为四边形时，有两种情况， Ⅰ．如解图（3）1所示．▱PQMN在三角形内部时．延长QM交AB于G点， 由（1）题可知：cosA＝sinB，cosB，AP＝5t，BQ＝15﹣5t，PN＝QM＝3t． ∴AN＝AP•cosA＝4t，BG＝BQ•cosB＝9﹣3t，QG＝BQ•sinB＝12﹣4t， ∵．▱PQMN在三角形内部时．有0＜QM≤QG， ∴0＜3t≤12﹣4t， ∴0＜t． ∴NG＝25﹣4t﹣（9﹣3t）＝16﹣t． ∴当0＜t时，▱PQMN与△ABC重叠部分图形为▱PQMN，S与t之间的函数关系式为S＝PN•NG＝3t•（16﹣t）＝﹣3t2+48t． Ⅱ．如解图（3）2所示．当0＜QG＜QM，▱PQMN与△ABC重叠部分图形为梯形PQGN时， 即：0＜12﹣4t＜3t， 解得：t＜3， ▱PQMN与△ABC重叠部分图形为梯形PQGN的面积S． 综上所述：当0＜t时，S＝﹣3t2+48t．当t＜3，S． 15．如图，矩形ABCD，AB＝5，BC＝3，将矩形ABCD绕点A按逆时针方向旋转，得到矩形AEFG． （1）若E点正好落在边CD上，连接BE，BG，且BG交AE于P． ①E点坐标为　（4，3）　 ； ②求证：BG＝2PB． （2）取定（1）中的P点，在矩形ABCD旋转过程中，直接写出△PEF面积的最大值和最小值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）①在Rt△ADE中，∵∠ADE＝90°，AD＝3，AE＝AB＝5， ∴DE4， ∴E（4，3）． 故答案为（4，3）． ②过B作BH⊥AE于H，则∠C＝∠BHE＝90°， ∵矩形ABCD中，∠CBA＝90°， ∴∠CBE+∠ABE＝90°， 即2∠CBE+2∠ABE＝180°，① 由旋转可得，AB＝AE， ∴∠ABE＝∠AEB， ∵AB∥CE， ∴∠ABE＝∠CEB， ∴∠BEC＝∠BEH 即BE平分∠CEH， ∴BH＝BC， 由旋转可得，AG＝AD＝BC，∠GAP＝∠BAD＝90°， ∴AG＝HB，∠GAP＝∠BHP， 又∵∠APG＝∠HPB， ∴△APG≌△HPB， ∴GP＝BPBG， 即BG＝2PB． （2）如图2中，作EN⊥x轴于N，GM⊥x轴于M． ∵∠GMA＝∠ENA＝∠GAE＝90°， ∴∠GAM+∠EAN＝90°，∠GAM+∠AGM＝90°， ∴∠AGM＝∠EAN， ∴△GMA∽△ANE， ∴， ∴， ∴GM，AM， ∴G（，）， ∵B（5，0）， ∵PB＝PG， ∴P（，）， ∴AP＝2， 当点P在AE的延长线上时，△PEF的面积最小，最小值PE×EF（5﹣2）×3， 当点E在PA的延长线上时，△PEF的面积最大，最大值•PE•EF（5+2）×3． 16．（秋•兰溪市期中）（1）如图，已知△ABC和△DCE均为直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90° 【发现问题】①如图1，若AC＝BC＝4，CD＝CE，AE＝2，∠EAC＝45°，则AD的长为　6　 ． 【探索问题】②如图2，若∠B＝∠CED＝∠EAC＝30°，AC＝2，AE＝8，求AD的长． 【解决问题】（2）如图3，在凸四边形ABCD中，∠DAB＝∠DBC＝∠DCB＝45°，AB＝4，那么△ABC的面积是否定值若为定值，请求出这个值，请求出这个值；若不是，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图1，连接BE， ∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACB+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，即∠BCE＝∠ACD， 又∵AC＝BC，DC＝EC， 在△ACD和△BCE中，， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE， ∵AC＝BC＝4， ∴AB＝4， ∵∠BAC＝∠CAE＝45°， ∴∠BAE＝90°， 在Rt△BAE中，AB＝4，AE＝2， ∴BE＝6， ∴AD＝6； 故答案为：6； （2）如图2，在Rt△ACB中，∠ABC＝∠CED＝30°，tan30°， ∴AB＝2AC＝4， ∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠BCE＝∠ACD， ∴△ACD∽△BCE， ∴， ∵∠BAC＝60°，∠CAE＝30°， ∴∠BAE＝90°，又AB＝4，AE＝8， ∴BE＝4， ∴AD； （3）如图3，过D作DE⊥AD，交AB延长线于E，连接CE， 则△ADE是等腰直角三角形， ∴AD＝DE， ∵∠ADE＝∠BDC＝90°， ∴∠ADB＝∠CDE， 在△ABD与△ECD中，， ∴△ABD≌△ECD（SAS）， ∴CE＝AB＝4，∠DEC＝∠DAB＝45°， ∴∠AEC＝90°， ∴CE⊥AB， ∴S△ABCAB•CE＝16， ∴△ABC的面积是定值． 17．（春•建邺区校级期中）学习了《中心对称图形》后，阿中与茜茜对平行四边形进行了再次探究： （1）阿中发现：命题“一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形”是个假命题，如何举反例说明呢？茜茜稍作思考说：“取一张如图1所示的等腰三角形纸片ABC，其中AB＝AC，在BC边上取一点D（不是中点），连接AD，沿AD剪开纸片，重新拼接……”， 请你完成茜茜的举反例过程，画出相应的图形，并配以必要的说明； （2）阿中进一步探究发现：“一组对边相等且一组对角是直角的四边形是矩形”，请你完成证明过程； 已知：如图2，四边形ABCD中，AB＝CD，∠A＝∠C＝90°，求证：四边形ABCD是矩形． （3）茜茜发现折叠矩形可以得到菱形：如图3，将矩形ABCD折叠，使得A、C两点重合，点B落在点B′，折痕分别交边BC、AD于E、F两点，交AC于O两点，则四边形AECF是菱形．请在框图中补全茜茜的证明思路． 茜茜的证明思路 由折叠易知EF是AC的垂直平分线，可以先证△AOF≌①　△COE ，得到②OE＝OF ，又由OA＝OC，可得四边形AECF是平行四边形，再由③EF⊥AC ，于是▱AECF是菱形． （4）茜茜给阿中出了一道思考题：“如图4，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E、F分别是边AB、AD上的点，将矩形ABCD沿着直线EF折叠，使点A与矩形ABCD内部的点P重合，问BP的最小值是多少？”请聪明的你用矩形纸片操作探究一下，直接写出BP的最小值． 【答案】（1）证明详见解答； （2）证明详见解答； （3）△COE；OE＝OF；EF⊥AC； （4）BP的最小值是3． 【解答】（1）解：等腰三角形纸片ABC，其中AB＝AC，在BC边上取一点D（不是中点），连接AD，沿AD 剪开纸片，重新拼接如图所示， ∴AB＝CD，∠B＝∠C，而BD≠AC， ∴四边形ABDC不是平行四边形， ∴命题“一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形”是个假命题； （2）证明：连接BD， ∵AB＝CD，∠A＝∠C＝90°，且BD＝BD， ∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL）， ∴AD＝BC， ∵AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠A＝90°， ∴四边形ABCD是矩形； （3）证明：由折叠知EF是AC的垂直平分线， ∴AO＝OC，∠AOF＝∠COE＝90°， ∵矩形ABCD， ∴AF∥CE， ∴∠FAO＝∠ECO， ∴△AOF≌△COE， ∴OE＝OF， ∵OA＝OC， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵EF⊥AC， ∴▱AECF是菱形， 故答案为：△COE；OE＝OF；EF⊥AC； （4）解：如图，连接BF，BD， ∵PB≥FB﹣FP，FA＝FP， ∴PB≥FB﹣FA，此时PB的最小值＝FB﹣FA ∵（FB﹣FA）﹣（BD﹣AD）＝FB﹣FA﹣BD+AF+DF＝FB+DF﹣BD＞0， ∴BD﹣AD＜FB﹣FA， ∴当F与D重合时，FB﹣FA的值最小，由折叠得：AD＝PD＝3， 由勾股定理得：BD， ∵PB≥BD﹣PD， 当P，A，C共线时，BP有最小值， ∴BP3， 则BP的最小值是3． 十．圆的综合题（共1小题） 18．（2025秋•鼓楼区校级期末）“关联”是解决数学问题的重要思维方式．角平分线的有关联想就有很多… 【问题提出】 （1）如图①，PC是△PAB的角平分线，求证：． 小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，利用“三角形相似”． 小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，利用“等面积法”． 请根据小明或小红的思路，选择一种并完成证明． 【作图应用】 （2）如图②，AB是⊙O的弦，在⊙O上作出所有符合条件的点P，使得． 要求：（1）用直尺和圆规作图；（2）保留作图的痕迹，不写作法． 【深度思考】 （3）如图③，PC是△PAB的角平分线，若AC＝4，BC＝2，则△PAB的面积最大值是　12　 ． 【答案】（1）小明思路：过点B作BD∥PC交AP的延长线于点D，如图1， ∴，∠1＝∠D，∠2＝∠3， ∵PC是△PAB的角平分线， ∴∠1＝∠2， ∴∠D＝∠3， ∴PD＝PB， ∴； 小红思路：分别过点P，C作PD⊥AB，CE⊥PA，CF⊥PB，垂足为D，E，F，如图2， ∵PC是△PAB的角平分线， ∴CE＝CF， ∵，， ∴， ∴； （2）如图点P即为所求； （3）12． 【解答】解：（1）小明思路：过点B作BD∥PC交AP的延长线于点D，如图1， ∴，∠1＝∠D，∠2＝∠3， ∵PC是△PAB的角平分线， ∴∠1＝∠2， ∴∠D＝∠3， ∴PD＝PB， ∴； 小红思路：分别过点P，C作PD⊥AB，CE⊥PA，CF⊥PB，垂足为D，E，F，如图2， ∵PC是△PAB的角平分线， ∴CE＝CF， ∵，， ∴， ∴； （2）如图点P即为所求； 作法提示：①作AB垂直平分线交⊙O于点E、F； ②作AB靠近点B的三等分点C：过A作一条射线，以A为圆心，任意长为半径，交射线于点M，同样操作两次，得到AM＝MH＝HG，连接BG，过H作HC∥BG交AB于点C，则点C为AB的三等分点， ③连接EC、FC交⊙O于点P，则P即为所求； （3）如图， 作△APB的外角平分线PD，交AB的延长线于D， ∴， ∵PC是△PAB的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴BD＝6， ∴CD＝8，即⊙O的半径为4， 当P运动到点P'，P'O⊥AD时， △PAB的面积最大，最大值为， 故答案为：12． 十一．作图—复杂作图（共1小题） 19．（秋•秦淮区校级月考）尺规作图： （1）已知点P是∠AOB的内部一点，过点P用直尺和圆规作直线CD，直线CD交OA、OB分别为点C、D．使OC＝OD．（两种方法）写出必要文字说明． （2）已知点P是∠AOB的内部一点，过点P用直尺和圆规作直线CD，直线CD交OA、OB分别为点C、D．使得△PCD为等边三角形． 【答案】（1）见解答； （2）见解答． 【解答】解：（1）作∠O的角平分线，再过P作平分线的垂线即可； 先作等腰三角形OMN，再过P作CD∥MN即可； （2）△PCD即为所求． 十二．相似三角形的判定与性质（共5小题） 20．（2025•鼓楼区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BD是⊙O的直径，AD与BC交于点E，在CA的延长线上取点F，使BA平分∠FBC． （1）求证：BF是⊙O的切线； （2）若AE＝4，ED＝5，求AB的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）AB＝6． 【解答】（1）证明：∵BD是⊙O的直径， ∴∠BAD＝90°， ∴∠ABD+∠D＝90°， ∵∠C＝∠D， ∴∠ABD+∠C＝90°， ∵BA平分∠FBC， ∴∠ABF＝∠ABC， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∴∠ABF＝∠C， ∴∠ABD+∠ABF＝90°， ∴∠DBF＝90°， 即DB⊥BF， ∴BF是⊙O的切线； （2）解：∵AE＝4，ED＝5， ∴AD＝4+5＝9， 由（1）知，∠C＝∠D，∠ABC＝∠C， ∴∠ABC＝∠D， 即∠ABE＝∠D， 又∵∠BAE＝∠DAB， ∴△ABE∽△ADB， ∴， 即， 解得AB＝6． 21．（2026•南京一模）材料：对于一个关于x的二次三项式ax2+bx+c（a≠0），除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小宁同学还想到了利用根的判别式的方法， 例：求x2+2x+5的最小值； 解：令x2+2x+5＝y ∴x2+2x+（5﹣y）＝0 ∴Δ＝4﹣4×（5﹣y）≥0， ∴y≥4，∴x2+2x+5的最小值为4． 请利用上述方法解决下列问题： 如图，在△ABC中，BC＝10，高AD＝8，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H．设EQ＝x． （1）用含x的代数式表示EF的长； （2）求矩形EFPQ的面积最大值． 【答案】（1）； （2）20． 【解答】解：（1）∵四边形EFPQ是矩形，EQ＝x， ∴EF∥BC，EQ＝DH＝PF＝x， ∴△AEF∽△ABC， ∴， ∴， 解得：； （2）由（1）知：，EQ＝x， ∴矩形EFPQ的面积为：， 令， ∴， ∴， ∴y≤20， ∴x2+2x+5的最大值为20，即矩形EFPQ的面积最大值为20． 22．（2026•鼓楼区校级模拟）如图，锐角△ABC内接于⊙O，AF平分∠BAC，交BC于点D，交⊙O于点E，BE平分∠CBF，连结BO并延长交AD于点G． （1）求证：BF是⊙O的切线； （2）若BG平分∠ABC，AG＝3，GD＝2，求BG的长． 【答案】（1）如图1，BE平分∠CBF，连接OC， ∴∠EBC＝∠FBE， 设∠BAE＝∠CAE＝∠EBC＝∠FBE＝θ， ∴∠BAC＝2∠BAE＝2θ， ∴∠BOC＝2∠BAC＝4θ， ∴， ∴∠OBF＝∠OBC+∠EBC+∠FBE＝90°﹣2θ+θ+θ＝90°， ∴半径OB⊥BF， ∴BF是⊙O的切线； （2）． 【解答】（1）证明：如图1，BE平分∠CBF，则∠EBC＝∠FBE，连接OC， 设∠BAE＝∠CAE＝∠EBC＝∠FBE＝θ， ∴∠BAC＝2∠BAE＝2θ， ∴∠BOC＝2∠BAC＝4θ， ∴， ∴∠OBF＝∠OBC+∠EBC+∠FBE＝90°﹣2θ+θ+θ＝90°， ∴半径OB⊥BF， ∴BF是⊙O的切线； （2）解：∵BG平分∠ABC， ∴∠ABG＝∠CBG， 设∠ABG＝∠CBG＝α， ∵∠BAE＝∠CAE＝∠EBC＝∠FBE＝θ， ∴∠EBG＝∠CBG+∠EBC＝α+θ，∠EGB＝∠GBA+∠GAB＝α+θ， ∴∠EBG＝∠EGB， ∴EB＝EG， ∵AG＝3，GD＝2， 设DE＝x，则EB＝EG＝DE+DG＝x+2， ∴AE＝AG+EG＝x+5， ∵∠BED＝∠AEB，∠EBD＝∠EAB， ∴△EBD∽△EAB， ∴， ∴BE2＝AE•DE， ∴（x+2）2＝x（x+5）， 解得：x＝4， 如图2，过点E作EM⊥BG于点M， ∵EB＝EG， ∴EM⊥BG，BM＝GM， ∵GB⊥BF， ∴EM∥BF， ∴， ∴GE＝EF＝2+4＝6， ∴FG＝EF+GE＝6+6＝12， ∴AF＝AE+EF＝15， ∵∠F＝∠F，∠EBF＝∠FAB， ∴△EBF∽△BAF， ∴， ∴BF2＝AF•EF＝15×6＝90， 在直角三角形BFG中，由勾股定理得：． 23．（2026•南京模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D在边AB上，过点A作AE⊥CD，垂足为点E，若E在三角形ABC外部，则的最小值是　3　 ． 【答案】3． 【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3， 如图，作CF⊥AB于点F，作EK⊥AB于点K， 由勾股定理得AB， ∵， ∴， ∵CF⊥AB，EK⊥AB， ∴∠EKD＝∠CFD＝90°， 又∵∠EDK＝∠CDF， ∴△EDK∽△CDF， ∴， ∵是定值， ∴EK取最大值时，取最小值， ∵点D运动过程中，始终保持AE⊥CD， ∴点E在以AC中点O为圆心，长为半径的圆上， ∴当点E，K，O共线时，即点E在E'位置时，EK取最大值， ∵∠AK'O＝∠ACB＝90°，∠K'AO＝∠CAB， ∴△K'AO∽△CAB， ∴， 即， 解得， ∴E'K'， 即EK的最大值为， 此时， ∴的最小值是3． 故答案为：3． 24．（秋•建邺区期末）如图，在Rt△ABC中，P是斜边AB边上一点，且BP＝2AP，分别过点A、B作l1、l2平行于CP，若CP＝4，则l1与l2之间的最大距离为 　9　 ． 【答案】9． 【解答】解：方法一：如图，当点A在P的左侧时，以AB为直径作圆，延长AC交l2于点D，过点C作CG⊥l2于点G，取BD的中点E，连接CE， ∵CP∥BD，BP＝2AP，CP＝4， ∴， ∴BD＝12， ∵∠BCD＝90°，E是BD的中点， ∴CEBD＝6， 设l1与l2之间的距离为d， 则dCG6＝9， 则l1与l2之间的最大距离为9； 如图，当点A在P的右侧时，过点A作AG⊥l2于点G，延长CP交AG于点F， ∴PF∥BG， ∴△APF∽△ABG， ∴， ∵BP＝2AP， 设BP＝2x，AP＝x，PF＝a， ∴BG＝3a，AG＝3AF， 过点C作CD⊥l1于点D， ∵l1∥l2， ∴CE⊥l2， 得矩形CEGF， ∴EG＝CF＝CP+PF＝4+a， ∴BE＝EG﹣BG＝4+a﹣3a＝4﹣2a， 在Rt△APF中，根据勾股定理，得 AF， ∴FG＝2AF＝2， ∴CE＝FG＝2， ∴∠ADC＝∠CEB＝90°， ∴∠ACD+∠CAD＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠CCB＝90°， ∴∠CAD＝∠ECB， ∴△CAD∽△ECB， ∴， ∵AD＝EG＝4+a，CE＝2，BE＝4﹣2a，CD＝AF， ∴， ∴（）2＝（2﹣a）（4+a）＝﹣a2﹣2a+8， ∴AF2＝﹣a2﹣2a+8＝﹣（a+1）2+9， 因为二次函数开口向下，当对称轴a＝﹣1时，AF取最大值是9， a＝﹣1反映的是A在B正上方的左边， ∴a＝﹣1时，AF2取得最大值为9， ∴AF＝3， ∴AG＝3AF＝9， ∴l1与l2之间的最大距离为9． 方法二：如图，延长AC交l2于M点， ∵CP∥l2，BP＝2AP，CP＝4， ∴， ∴MB＝12， ∵∠ACB＝90° ∴∠MCB＝90°， ∴定边定角隐圆，过点C，A作垂直CH，AF，垂足分别为H，F， 距离最大就是AF最大，也就是CH最大， 所以此时CHBM＝6， ∴， ∴AF＝9． 故答案为：9． 十三．相似形综合题（共2小题） 25．（2026•鼓楼区二模）平行线是研究三角形相似的基本工具． 【初步尝试】 （1）如图①，在△ABC中，点D在BC边上，，在AB边上求作点E，使．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要文字说明．） 【深入研究】 （2）如图②，在△ABC和△A′B′C′中，D，D′分别边BC，B′C′上一点，∠BAD＝∠B'A'D'，∠CAD＝∠C′A′D′，，求证△ABC∽△A′B′C′． 【应用拓展】 （3）如图③，已知△ABC，直线l1∥l2∥l3． ①在图③中，求作△A′B′C′，使点A′，B′，C′分别在l1，l2，l3上，且△A′B′C′∽△ABC．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要文字说明．） ②设在①中所作的△A'B'C'的边A'C'与l2交于点D′，发现随着△ABC形状的变化，B′D′的长度也随之变化．若∠ABC＝120°，l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为4，则B′D′的最小值是 　　 ． 【答案】（1）图见解答； （2）证明见解答； （3）①图见解答； ②． 【解答】（1）解：如图，作∠BDE＝∠C，与AB交于点E，点E即为所求． （2）证明：如图，过点D作DE∥AC交AB于点E，过点D′作D′E∥A′C′交A′B′于点E′． ∵DE∥AC，D′E′∥A′C′， ∴∠CAD＝∠ADE，∠C′A′D′＝∠A′D′E′， ∵∠CAD＝∠C′A′D′， ∴∠ADE＝∠A′D′E， 又∵∠BAD＝∠B′A′D′， ∴△ADE∽△A′D′E′， ∴， ∵， ∴， ∵DE∥AC，D′E∥A′C′， ∴，， ∴， 即， ∵DE∥AC，D′E′∥A′C′， ∴△BDE∽△BCA，△B′D′E′∽△B′C′A′， ∴，， ∴， 即， ∴， 又∵∠BAD＝∠B′A′D′，∠CAD＝∠C′A′D′， ∴∠BAD+∠CAD＝∠B'A'D'+∠C'A'D'， 即∠BAC＝∠B'A'C'， ∴△ABC∽△A'B'C'． （3）解：①如图，△A′B′C′即为所求； 作法：第1步：作直线l分别交l1，l2，l3于点M，N，P； 第2步：过点A作一条射线l′，在l′上截取AE＝MN，EF＝PN； 第3步：连接CF，过点E作 EQ∥FC交AC于点Q，连接BQ； 第4步：在l2任取一点B′，作∠D′B′A′＝∠QBA交l1于点A′； 第5步：作∠D′B′C′＝∠QBC交l3于点C′，则△A′B′C即为求． ②如①右图，延长A′B′交l3于点Q，则∠C′B′Q＝60°， ∵l2∥l3， ∴△A′D′B′∽△A′C′Q， ∴， ∴B′D′C′Q， ∴求出C′Qmin即可求得B′D′min， 当△B′C′Q为等边三角形时，C′Q取得最小值， 过点B′作B′H⊥C′Q于点H， ∵l2，l3之间的距离为4， ∴B′H＝4， ∴C′Qmin， ∴B′D′min， 故答案为：． 26．（2026•玄武区一模）如图1，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点D为BC边上的动点，以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E． （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）当DE∥AB时，求AE的长； （3）如图2，在点D从点B运动到点C的过程中，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F，请直接写出点F运动的路径长． 【答案】（1）证明见解答； （2）； （3）12． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， ∵∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，∠ADE＝∠B， ∴∠BAD＝∠CDE， 又∵∠B＝∠ACB， ∴△BAD∽△DCE； （2）解：∵DE∥AB， ∴△CDE∽△CBA， ∵△CDE∽△ABD， ∴△ABD∽△CBA， ∴， 即， 解得， ∵DE∥AB， ∴， 即， ∴F1F2＝12， 即点F运动的路径长为12． 第1页（共46页） 学科网（北京）股份有限公司 $