广西贺州市昭平县第二高级中学2025-2026学年下学期高一期中教学质量检测卷数学

**基本信息** 试卷聚焦向量、复数、解三角形核心内容，通过概念辨析（如单位向量性质）、几何应用（直角梯形向量表示）、实际测量（旗杆仰角计算）实现梯度考查，体现数学眼光与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|向量基本概念（题1）、复数坐标（题3）|注重基础辨析，如单位向量相等条件判断| |多选题|3/18|向量平行垂直（题9）、复数几何意义（题10）|考查综合推理，如向量投影向量计算| |填空题|3/15|复数虚部（题12）、投影向量应用（题14）|设置动态问题，如动点投影最小值| |解答题|5/77|复数运算（题15）、解三角形（题18）、实际测量（题19）|结合生活情境，如旗杆高度测量问题|

2026年春季学期高一期中教学质量检测卷 数 学 参考答案 1．D 【分析】根据单位向量的定义，向量相等，向量共线的概念分析各个选项即可得到答案. 【详解】对选项A，根据单位向量的定义，单位向量的方向不确定，故A选项错误；对选项B，两个向量相等只需要长度相等，方向相同，但起点不一定相同，故B错误；对选项C，共线的单位向量可能方向相反，此时两向量不相等，故C错误；对选项D，因为零向量与任意向量都共线，故若与不共线，则与都是非零向量，D正确. 故选：D 2．C 【分析】根据向量的定义判断求解. 【详解】四个物理量：“质量”、“速度”、“位移”、“力”， “速度”、“位移”、“力”它们既有大小、又有方向为向量， 因此其中不能称为向量的是“质量”. 3．A 【分析】根据复数的几何意义可得，即可求解. 【详解】在复平面内，复数z对应点的坐标为， 所以，，在复平面中对应的点坐标为. 故选：A. 4．B 【分析】根据复数的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解. 【详解】， 所以. 故选：B. 5．D 【分析】根据大边对大角可得A>B，结合正弦定理和三角形内角的范围即可得出结果. 【详解】在中，根据大边对大角可得A>B， 由正弦定理，得， 所以，故或. 故选：D 6．D 【详解】 解析：若z＝（a2－1）＋（a＋1）i为纯虚数，则a2－1＝0，a＋1≠0，则a＝1，则＝＝＝1－i. 7．B 【分析】应用向量加减、数乘的几何意义及数量积的运算律得，即可得. 【详解】由题设， . 故选：B 8．C 【分析】先利用余弦定理化简得a=,再利用余弦定理化简得A=,再代入即得解. 【详解】把余弦定理代入得a=， 由得. 所以. 故选C 【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力. 9．AC 【分析】根据向量平行的坐标表示可判断AB；由向量垂直的坐标表示结合已知求出向量，可得向量，然后根据投影向量公式可得投影向量，可判断CD. 【详解】由向量平行的坐标表示可知，若，则，A正确，B错误； 若，且，则，解得， 则，， 则在上的投影向量为，C正确，D错误． 故选：AC 10．BC 【分析】利用纯虚数的概念判断A；根据复数的几何意义判断B；根据共轭复数的概念判断C；根据复数模的公式判断D. 【详解】若为纯虚数，则且，解得，故A错误； 若在复平面内对应的点位于第四象限，则且，解得， 即，故B正确； 若，则，得，故C正确； 若，则，得，故D错误. 故选：BC. 11．ABD 【分析】根据几何图形，结合向量的线性运算，即可判断AB，根据三点共线表示，再利用基底表示向量，再利用平面向量基本定理的推论，根据系数和为1，即可判断C，根据C的判断，即可判断D. 【详解】对于：根据，又因为点是线段的中点，，故，故A正确； 对于：因为，所以，，故正确； 对于，因为点是线段的中点，所以，设，则， ，又，则， 又因为三点共线，所以，解得，故错误； 对于D：由于，故，故D正确. 故选：ABD 12．/ 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，即可判断其虚部. 【详解】因为，所以的虚部为. 故答案为：. 13． 【分析】由复数除法运算可化简得到复数，由纯虚数定义可构造方程求得. 【详解】， 又为纯虚数，，解得：. 故答案为：. 14． 【详解】如图，过点作， 因向量在向量上的投影向量为，则为线段的中点， 则，在中， 以为原点，、所在直线为轴、轴建立平面直角坐标系， 又，则且， 则， 则， 设， 则， 当时，有最小值. 故答案为：. 15．(1) (2) (3) (4) 【分析】根据复数的运算律直接计算. 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：. 16．(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用向量的夹角公式计算即可. （2）利用投影向量的定义求解即得. 【详解】（1）由，得，， 因此，而， 所以向量与的夹角. （2）向量在向量上的投影向量为. 17．(1) (2) 【分析】（1）根据纯虚数的知识列式，从而求得. （2）利用根与系数关系求得，进而求得. 【详解】（1）若复数为纯虚数，则，解得. （2）已知是关于的方程的一个根， 则也是方程的根， 所以， 所以. 18．(1)； (2)，. 【分析】（1）利用平方关系、正弦定理求值作答. （2）利用余弦定理、三角形面积公式计算作答. 【详解】（1）在中，，，，则， 由正弦定理得，所以. （2）在中，由余弦定理得，即，而，解得； 的面积， 所以，. 19．(1)10米； (2)米. 【详解】（1），，， 则是以为顶点，底角为的等腰三角形，米， 在中，，由正弦定理得：， 代入数据得：米. 点到建筑物的距离是10米. （2）在中，由正弦定理得： 代入数据得：米. 米， 旗杆的高度为米. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季学期高一期中教学质量检测卷 数  学 (考试时间：120分钟  试卷满分：150分) 注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在指定位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列说法中，正确的是（   ） A．两个单位向量一定相等 B．两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同 C．共线的单位向量必相等 D．若与不共线，则与都是非零向量 2．下列物理量中，不是向量的是（    ） A．力 B．位移 C．质量 D．速度 3．在复平面内，复数z对应点的坐标为，则z的共轭复数对应的点坐标为（   ） A． B． C． D． 4．若复数满足，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 5．在△ABC中，，则（    ） A． B．或 C． D．或 6．已知a为实数，若复数z＝（a2－1）＋（a＋1）i为纯虚数，则＝（　　） A．1 B．0 C．1＋i D．1－i 7．如图，已知直角梯形，，，，点F是CD中点，点E是线段靠近B点的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 8．在中，内角、、的对边分别是、、，若，且，则（ ） A． B． C．2 D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知向量，，，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则在上的投影向量为 D．若，，则在上的投影向量为 10．已知复数，，则下列结论正确的是（   ） A．若为纯虚数，则 B．若在复平面内对应的点位于第四象限，则 C．若，则 D．若，则 11．在中，，点是线段的中点，线段交于，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．与的面积之比为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知是虚数单位，复数的虚部为______. 13．已知复数是纯虚数，则实数______． 14．在平面四边形中，，，向量在向量上的投影向量为，若，点为线段上的动点，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出问题说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分）计算: (1)； (2)； (3)； (4). 16.（15分）已知向量满足 (1)求与的夹角； (2)求向量在向量上的投影向量． 17.（15分）已知复数 (1)若复数为纯虚数，求实数的值； (2)已知是关于的方程的一个根，其中，，求的值． 18.（17分）在中，，，. (1)求的值； (2)求的值和的面积. 19.（17分）如图，某建筑物顶部有一旗杆，且点、、在同一条直线上，小明在地面处观测旗杆顶端的仰角为，然后他正对建筑物的方向前进了20米到达地面的处，又测得旗杆顶端的仰角为，已知建筑物高度为12米. (1)求点到建筑物的距离； (2)求旗杆的高度. 高一数学 第 页 共4页1 学科网（北京）股份有限公司 $