精品解析：江苏省锡山高级中学锡西分校2025-2026学年第二学期期中考试高一数学试卷

江苏省锡山高级中学锡西分校2025-2026学年第二学期期中考试 高一数学试卷 2026.4 命题人：赵宁 审核人：犹志 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，每小题只有1个选项符合题意，共计40分.） 1. 已知平面向量，，若，则（ ） A. 1 B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示计算可得. 【详解】由，，且，得，解得. 故选：D. 2. 设是平面内的一个基底，下列不可以作为平面内基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】由平面向量基底定义可判断选项正误. 【详解】平面内不共线的一组向量可作为一组基底，则不可以作为基底的两向量共线. 对于A，假设两向量共线，则存在实数，使，显然不存在，故这组向量可作为一组基底，A错误； 对于B，假设两向量共线，则存在实数，使，显然满足等式，故这组向量共线，B正确； 对于C，假设两向量共线，则存在实数，使，显然不存在，故这组向量可作为一组基底，C错误； 对于D，假设两向量共线，则存在实数，使，显然不存在，故这组向量可作为一组基底，D错误. 3. 若一水平放置的正方形的边长为2，则其用斜二测画法得到的直观图的面积是（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由求解. 【详解】解：因为一水平放置的正方形的边长为2，且， 所以其直观图的面积是， 故选：A 4. 已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则至少与，中一个平行 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用线面垂直的性质可判断A；举反例可判断BD；利用反证法可判断C. 【详解】对于A：若，，，根据线面垂直的性质可得，而非，故A错误； 对于B： 若，满足条件，，此时在平面内，不满足，故B错误； 对于C：若和、都不平行，即与有公共点，且与有公共点， 若在其中一个平面内，比如，由，，可得，矛盾； 若不在任何一个平面内，由，，可得，同理，也矛盾. 因此至少与、中一个平行，故C正确； 对于D： 当与相交时，也可以在两个平面内分别找到平行于交线的直线， 满足，但此时与不平行，故D错误. 5. 将上下底分别为、，高为的直角梯形绕其最短的底边旋转一周得到的几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】本题可将旋转后得到的几何体看作在一个圆柱中挖去一个圆锥的组合体，分别计算圆柱和圆锥的体积，再将它们相减即可得到该几何体的体积． 【分析】将上、下底分别为、，高为的直角梯形绕其最短的底（即上底）旋转一周， 得到的几何体是在一个底面半径为，高为的圆柱中挖去个底面半径为，高为的圆锥所形成的组合体． 已知圆柱底面半径，高，则圆柱体积． 已知圆锥底面半径，高，则圆锥体积． 所以，该组合体的体积． 故选：D. 6. 已知平面内不共线的三个向量、、两两夹角相等，且为单位向量，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知三个向量、、两两的夹角为，利用平面向量数量积的定义和运算性质可求得的值. 【详解】由题意可知，三个向量、、两两的夹角为， 由平面向量数量积的定义可得， 同理可得，, 所以， . 故选：B. 7. 如图，在边长为2的正方形中．以为圆心，1为半径的圆分别交于点．当点在劣弧上运动时，的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，建立坐标系，设出点的坐标，利用数量积的坐标表示建立函数关系，求出函数的值域即可. 【详解】依题意，以点为原点，直线分别为轴建立平面直角坐标系，如图， 设点，而， 则， 因此， 由，得，则， 因此， 所以的取值范围为. 故选：B 【点睛】关键点点睛：涉及动点的向量运算问题，根据题设条件建立适当的直角坐标系，利用坐标法求解是关键. 8. 将一个冰球放在一个带有盖子的正四面体的杯状容器中，此时盖子恰好能够盖上，如图所示．已知该杯状容器的深度为，则当冰球完全融化为水时的深度约为（ ） 参考数据：，，，， A. 0.48h B. 0.54h C. 0.66h D. 0.72h 【答案】C 【解析】 【分析】先求出正四面体的内切球（冰球）体积，再利用体积守恒，结合相似小正四面体的体积比与高比的立方关系，代入参考数据计算出融化后水的深度. 【详解】容器是顶点朝下的正四面体，深度为正四面体的高， 冰球与容器的4个面都相切（盖子恰好盖上），因此冰球是正四面体的内切球. 设正四面体边长为，内切球半径为，则由得，   ，冰融化体积近似不变，即水的体积. 水在容器中形成与原容器相似的小正四面体，相似体体积比等于相似比的三次方：  ， 其中原正四面体（容器）体积，代入化简：  ， 整理得： ，所以，  代入参考数据， ， 计算得，最接近选项. 二、多选题（本题共有3小题，共计18分.在每小题有多项符合题目要求.） 9. 已知复数（为虚数单位），则（ ） A. 的虚部为1 B. 的共轭复数为 C. 在复平面内，对应的点在第一象限 D. 若复数满足，则的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用复数的除法求出，再结合共轭复数及复数的几何意义逐项判断. 【详解】复数， 对于A，的虚部为1，A正确； 对于B，的共轭复数为，B错误； 对于C，在复平面内，对应的点在第一象限，C正确； 对于D，满足的复数在复平面内对应点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆， ，于是，的取值范围为，D正确. 故选：ACD 10. 在中，，D为边BC上一动点，则（ ） A. B. △ABC的外接圆半径为 C. 当D为BC中点时， D. 当AD为角A的角平分线时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】由余弦定理，求得，可判定A正确；根据弦定理，求得的外接圆的半径，可判定B正确；取的中点，得到，由余弦定理，求得，可判定C不正确；由为角的平分线，根据，列出方程，求得的长，可判定D正确. 【详解】对于A，由余弦定理，可得， 所以，所以A正确； 对于B，由正弦定理，可得， 所以的外接圆的半径为，所以B正确； 对于C，如图所示，取的中点，连接，则，可得， 在中，由余弦定理，可得 ，可得，所以C不正确； 对于D，因为为角的平分线，设， 由，可得， 可得，所以D正确. 故选：ABD. 11. 如图，为圆锥的底面直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是（ ） A. 圆锥的表面积为 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 的取值范围是 D. 若，为线段上的动点，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据圆锥的表面积公式可判断A；由体积转化可得，然后转化为求的最大值可判断B；设，根据余弦定理可得，然后根据余弦函数的单调性可判断C；将与沿展开为同一平面，根据三点共线结合余弦定理即可判断D. 【详解】圆锥高，底面半径，母线长，底面直径， 对于A： ，A错误； 对于B：， 为直径，故， 设到的距离为，则，在圆上， 的最大值为底面半径，故，​，B正确； 对于C：设，，则，在中，由余弦定理： ， 因为，故​， 又为锐角，余弦函数在递减，得，C正确； 对于D：若，则为等腰直角三角形，， 又，故为等边三角形， 将与沿展开为同一平面，的最小值为到的线段长， 展开后，，由余弦定理： ， 故，即的最小值为，D正确. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，共15分.请将解答填写在答题卡相应的位置.） 12. 已知为虚数单位，复数z满足，则__________. 【答案】## 【解析】 【详解】因为，所以. 13. 如图所示，在平面直角坐标系中，的外接圆与轴交于，，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】先证明，根据三角函数定义解直角三角形求，利用正弦定理求结论. 【详解】连接，因为轴轴，所以，因此是外接圆的直径， 根据同弧所对圆周角相等，得， 已知，即， 在中： ， 在中，由内角和得： ， 根据正弦定理， ，，， 可得. 14. 赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”．（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成，如图①），类比“赵爽弦图”，可构造如图②所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，其中，则的值为______；设，则______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用建系的方法，假设，根据，利用余弦定理可得长度，由正弦定理求出大小正三角形的面积，即可求得的值；然后计算，可得点坐标，最后根据点坐标，可得结果. 【详解】由，设，则，， 如图 由题可知：， 由 所以，则， 所以小三角形面积， 因为，所以,即， ， 所以 因为， 又 所以 所以 即 所以 又 所以 所以 故答案为：；. 四、解答题（本题共4小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知是复数，与均为实数. （1）求； （2）若复数是方程的一个解，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由复数的运算结合复数的几何意义即可求解； （2）将复数代入方程，再由复数相等求出，求出最后结果即可. 【小问1详解】 设， 则为实数， 所以， 为实数， 所以， 所以， 所以. 【小问2详解】 因为复数是方程的一个解， 代入可得， 整理可得， 解得 所以. 16. 已知平面直角坐标系中，向量，. （1）求在上的投影向量； （2）若，且，求向量的坐标； （3）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）或； （3）且. 【解析】 【分析】（1）由题设及投影向量计算公式可得答案； （2）由向量坐标运算及向量平行坐标表示可得答案； （3）由题可得且与不平行，据此可得答案. 【小问1详解】 在上的投影向量为：， 又，， 则； 【小问2详解】 由题可得， 设，因，则. 因，则，从而， 则或 【小问3详解】 由题可得，因与的夹角为锐角， 则且与不平行， 从而且. 17. 记锐角三角形的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 的面积为S，已知． （1）求角A； （2）若，求三角形周长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据面积公式，余弦定理，结合两角差的正弦公式，化简可得，根据角A的范围，即可得答案. （2）根据正弦定理，可得，化简可得，根据锐角三角形，可求得角B的范围，根据正弦型函数的图象与性质，即可得答案. 【小问1详解】 由面积公式得，即， 由余弦定理得， 所以， 则， 所以，即， 因为，则， 所以，即 【小问2详解】 由正弦定理得， 所以， 所以 ， 因为为锐角三角形， 所以，解得， 所以， 所以，则， 所以三角形周长为 18. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，． （1）求证：平面． （2）试问：在上是否存在一点，使平面成立？若存在，请予以证明；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明：连接，由，得， 又得， 所以四边形是平行四边形 所以， 又平面，平面， ∴平面． （2）存在中点，使平面成立． 取中点，连，，使，连． ∵是矩形，∴是的中点， 又∵是上靠近点的一个三等分点，且是中点， ∴是的中点，∴中，， 又∵平面，平面， ∴平面， 故在上是存在中点，使平面成立． 【解析】 【分析】（1）连接，根据题目条件证明四边形是平行四边形，即可得出，即可得证； （2）假设存在，取中点，连，，使，连，利用中位线证明，即可得出结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，在矩形中，，点是线段的中点，点分别为线段上的一点，且，点是线段的中点． （1）求的值； （2）若，求线段的长度； （3）设，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先求出，的长度，再根据数量积的运算律计算可得； （2）首先在中由正弦定理求出，在中由正弦定理求出，最后在中利用余弦定理计算可得； （3）在中由正弦定理求出，在中由正弦定理求出，再由数量积的运算律得到，再利用三角恒等变换公式化简，转化为关于的三角函数，结合的范围及正弦函数的性质计算可得. 【小问1详解】 在矩形中，点是线段的中点， 所以，又，所以， 所以 ． 【小问2详解】 在矩形中，，所以，所以． 在中，， 根据正弦定理，得． 在中，，，则， 由正弦定理，可得． 在中，， 根据余弦定理， 得，所以． 【小问3详解】 在中，， 根据正弦定理，得． 在中，，则， 根据正弦定理，可得． 因为， 所以 ， 因为，所以， 所以，所以， 所以， 即的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是通过基底法转化得，再利用正弦定理和三角恒等变换得，最后根据正弦型函数的性质求出其值域即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省锡山高级中学锡西分校2025-2026学年第二学期期中考试 高一数学试卷 2026.4 命题人：赵宁 审核人：犹志 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，每小题只有1个选项符合题意，共计40分.） 1. 已知平面向量，，若，则（ ） A. 1 B. C. 0 D. 2. 设是平面内的一个基底，下列不可以作为平面内基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 3. 若一水平放置的正方形的边长为2，则其用斜二测画法得到的直观图的面积是（ ） A. B. 2 C. D. 4 4. 已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则至少与，中一个平行 D. 若，，，则 5. 将上下底分别为、，高为的直角梯形绕其最短的底边旋转一周得到的几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知平面内不共线的三个向量、、两两夹角相等，且为单位向量，，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在边长为2的正方形中．以为圆心，1为半径的圆分别交于点．当点在劣弧上运动时，的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 将一个冰球放在一个带有盖子的正四面体的杯状容器中，此时盖子恰好能够盖上，如图所示．已知该杯状容器的深度为，则当冰球完全融化为水时的深度约为（ ） 参考数据：，，，， A. 0.48h B. 0.54h C. 0.66h D. 0.72h 二、多选题（本题共有3小题，共计18分.在每小题有多项符合题目要求.） 9. 已知复数（为虚数单位），则（ ） A. 的虚部为1 B. 的共轭复数为 C. 在复平面内，对应的点在第一象限 D. 若复数满足，则的取值范围为 10. 在中，，D为边BC上一动点，则（ ） A. B. △ABC的外接圆半径为 C. 当D为BC中点时， D. 当AD为角A的角平分线时， 11. 如图，为圆锥的底面直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是（ ） A. 圆锥的表面积为 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 的取值范围是 D. 若，为线段上的动点，则的最小值为 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，共15分.请将解答填写在答题卡相应的位置.） 12. 已知为虚数单位，复数z满足，则__________. 13. 如图所示，在平面直角坐标系中，的外接圆与轴交于，，，则______． 14. 赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”．（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成，如图①），类比“赵爽弦图”，可构造如图②所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，其中，则的值为______；设，则______． 四、解答题（本题共4小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知是复数，与均为实数. （1）求； （2）若复数是方程的一个解，求的值. 16. 已知平面直角坐标系中，向量，. （1）求在上的投影向量； （2）若，且，求向量的坐标； （3）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 17. 记锐角三角形的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 的面积为S，已知． （1）求角A； （2）若，求三角形周长的取值范围． 18. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，． （1）求证：平面． （2）试问：在上是否存在一点，使平面成立？若存在，请予以证明；若不存在，说明理由． 19. 如图，在矩形中，，点是线段的中点，点分别为线段上的一点，且，点是线段的中点． （1）求的值； （2）若，求线段的长度； （3）设，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $