精品解析：山东省淄博市张店区重庆路中学2025-2026学年八年级下学期期中数学试题

2025-2026学年山东省淄博市重庆路中学八年级下册期中数学 一、选择题（共10小题） 1. 下列二次根式中：，，，，，属于最简二次根式的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则a的值可以是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 4. 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列判断正确的是（ ） A. 若，则四边形ABCD是菱形 B. 若，则四边形ABCD是矩形 C. 若，，则四边形ABCD是正方形 D. 若，，则四边形ABCD是平行四边形 5. 如图，四边形是菱形，是两条对角线的交点，过点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为（ ）． A. 48 B. 24 C. 12 D. 6 6. 如图，在平行四边形中，，以点为圆心，为半径画弧与交于点，然后以大于为半径，分别以，为圆心画弧交于点，连接交于点，若，，则的长为（ ） A. B. C. 5 D. 10 7. 如图，从一个大正方形中裁去面积为和 的两个小正方形，则余下部分的面积为（    ） A. 78 B. C. D. 8. 如图，在矩形中，点的坐标是，连接，则的长是（　　） A. 5 B. 6 C. D. 9. 如图，将矩形折叠，使点和点重合，折痕为，与交于点若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点是矩形的对角线上一动点，过点作的垂线，分别交边，于点，连接，有下列结论：①四边形的面积是定值；②的值不变；③的值不变；④，则下列结论一定成立的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共5小题） 11. 已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则_______． 12. 已知实数，，在数轴上的对应点如图所示，化简：________． 13. 若x，y为实数，且，求______． 14. 如图，正方形中，E是对角线上一点，连接，过点E作，交边于点F．若，，则______． 15. 两张宽为的纸条交叉重叠成四边形，如图所示．若，则对角线上的动点到三点距离之和的最小值是__________． 三、解答题（共8小题） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，在菱形中，对角线交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，求的长度． 18. 已知：如图，在四边形中，，E，F分别是对角线的中点． （1）请判断线段与的位置关系，并说明理由； （2）若，请判断与的数量关系，并说明理由． 19. 如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么该如何计算它的面积呢？我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中给出了如下公式：（秦九韶公式） 古希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中给出了如下公式： （海伦公式），其中． 秦九韶公式和海伦公式都解决了由三角形的三边长直接求三角形面积的问题，它们虽然形式不同，但完全等价，请使用这两个公式解决下面的问题： （1）如果一个三角形的三边长依次为，，，那么它的面积为____________________； （2）如图，在中，已知，，． ①的面积为____________________； ②作于点D，求的长． 20. 阅读材料： 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如： 【类比归纳】 （1）填空： ① ② （2）请你仿照小明的方法，将化成一个式子的平方； 【拓展提升】 （3）如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，求剩余部分的面积． 21. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60 cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4 cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒(0＜t≤15)．过点D作DF⊥BC于点F，连结DE，EF. (1)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由； (2)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由． 22. 阅读材料：用配方法求最值． 已知，为非负实数， ∵ ∴，当且仅当“”时，等号成立． 例：已知，求函数的最小值． 解∶令，则有， 得 当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为4． 根据以上信息回答下列问题． （1）已知，则函数取到最小值，最小值为______，已知，则的最小值是______； （2）已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ （3）如图，四边形的对角线，交于点O，，，求四边形的面积的最小值． 23. 阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，在正方形中，点、分别为、边上的点，，连接，求证：．小明是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将绕点顺时针旋转得到（如图），此时即是． （1）在图2中，的度数是 （直接写答案）． 参考小明得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题： （2）如图3，在直角梯形中，（），，，是上一点，若，，求的长度． （3）如图4，中，，，以为边作正方形，连接．当 时，线段有最大值，并求出的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年山东省淄博市重庆路中学八年级下册期中数学 一、选择题（共10小题） 1. 下列二次根式中：，，，，，属于最简二次根式的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：、是最简二次根式， 不是最简二次根式， 不是最简二次根式， 不是最简二次根式， 故选：B． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的运算．根据二次根式的加减法、除法和乘法法则计算即可． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，无法合并，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项正确，符合题意； D、故本选项错误，不符合题意； 故选：C 3. 若，则a的值可以是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．二次根式的性质有：，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的值可以是． 故选：D． 4. 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列判断正确的是（ ） A. 若，则四边形ABCD是菱形 B. 若，则四边形ABCD是矩形 C. 若，，则四边形ABCD是正方形 D. 若，，则四边形ABCD是平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理进行判断即可． 【详解】解：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即AC、BD互相平分，且AC⊥BD，才可得四边形ABCD是菱形，故A错； 对角线相等的平行四边形是矩形，即AC、BD互相平分，且AC=BD，才可得四边形ABCD是矩形，故B错； 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，即AC、BD互相平分，且AC⊥BD、AC=BD，才可得四边形ABCD是正方形，故C错； 对角线互相平分的四边形是平行四边形，故D正确． 故选D 【点睛】本题考查平行四边形，特殊的平行四边形的判定，准确掌握判定定理是解题的关键． 5. 如图，四边形是菱形，是两条对角线的交点，过点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为（ ）． A. 48 B. 24 C. 12 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出面积即可解答． 【详解】解：∵菱形的两条对角线的长分别为6和8， ∴菱形的面积， ∵是菱形两条对角线的交点， ∴阴影部分的面积． 故选C． 【点睛】本题主要考查了中心对称、菱形的性质等知识点，判得阴影部分的面积等于菱形的面积的一半是解题的关键． 6. 如图，在平行四边形中，，以点为圆心，为半径画弧与交于点，然后以大于为半径，分别以，为圆心画弧交于点，连接交于点，若，，则的长为（ ） A. B. C. 5 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】设交于点，连接，根据作图可得四边形是菱形，进而勾股定理求解即可． 【详解】设交于点，连接， 由作图可知，，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ∴AB=BE， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形， ,，， ， ， 在中，， ， ． 故选B． 【点睛】本题考查了角平分线作图，菱形的性质与判定，平行四边形的性质，等角对等边，勾股定理，理解题意证明四边形是菱形是解题的关键． 7. 如图，从一个大正方形中裁去面积为和 的两个小正方形，则余下部分的面积为（    ） A. 78 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的实际应用，求出大正方形的边长，分割法求出余下部分的面积即可． 【详解】解：∵两个小正方形的面积为和， ∴两个小正方形的边长为和， ∴大正方形的边长为， ∴余下部分的面积为， 故选：D． 8. 如图，在矩形中，点的坐标是，连接，则的长是（　　） A. 5 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，直角坐标系，勾股定理．连接，根据勾股定理求出，根据矩形的性质可得． 【详解】解：如图，连接， 点的坐标是， ， 四边形是矩形， ， 故选：C． 9. 如图，将矩形折叠，使点和点重合，折痕为，与交于点若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先证明再求解利用轴对称可得答案． 【详解】解：由对折可得： 矩形， BC=8 由对折得： 故选C． 【点睛】本题考查的是矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理的应用，轴对称的性质，掌握以上知识是解题的关键． 10. 如图，点是矩形的对角线上一动点，过点作的垂线，分别交边，于点，连接，有下列结论：①四边形的面积是定值；②的值不变；③的值不变；④，则下列结论一定成立的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形面积，勾股定理，平行四边形的判定和性质等，证明四边形是平行四边形是解题的关键．过点C作，交的延长线于点G，可得四边形是平行四边形，，推出，即可判断结论A；由，可判断结论B；利用勾股定理即可判断结论D；根据选择题有唯一选项即可得出答案． 【详解】解：过点C作交的延长线于点G， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，即， ∴四边形的面积是定值，故A正确； ∵， ∴的值不变，故B正确； ∵，， ∴，故D正确； 无法证明的值不变，故C不正确． 故选：C． 二、填空题（共5小题） 11. 已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，化为最简二次根式后，它们的被开方数相同，列出方程求解是解题的关键． 【详解】解：∵最简二次根式与二次根式是同类二次根式，且， ∴， 解得：， 故答案为：． 12. 已知实数，，在数轴上的对应点如图所示，化简：________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质分别化简得出答案． 【详解】解：由数轴可得：a＜0，b＜0，c＞0，|a|＞|b|， 故a−b＜0，c−a＞0，b−a＞0， 原式＝−a＋a−b＋c−a＋b−a ＝c−2a， 故答案为：c−2a． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质以及绝对值的性质，正确化简各数是解题关键． 13. 若x，y为实数，且，求______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴， ∴原式． 14. 如图，正方形中，E是对角线上一点，连接，过点E作，交边于点F．若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作的垂线交于点，垂足为，勾股定理得出，证明四边形是矩形，，得出，在中，由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：过点作的垂线交于点，垂足为，如图所示： 设， ∵四边形是正方形，， ∴，，， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 15. 两张宽为的纸条交叉重叠成四边形，如图所示．若，则对角线上的动点到三点距离之和的最小值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意易得四边形是菱形，过点D作DE⊥BC于点E，连接AC，交BD于点O，易得，，然后根据勾股定理可得，则，，进而可得，要使为最小，即的值为最小，则可过点A作AM⊥AP，且使，连接BM，最后根据“胡不归”问题可求解． 【详解】解：∵纸条的对边平行，即， ∴四边形是平行四边形， ∵两张纸条的宽度都为， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 过点D作DE⊥BC于点E，连接AC，交BD于点O，如图所示： ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 过点A作AM⊥AP，且使，连接BM，如图所示： ∴， 要使的值为最小，则需满足为最小，根据三角不等关系可得：，所以当B、P、M三点共线时，取最小，即为BM的长，如图所示： ∴， ∴， ∴的最小值为，即的最小值为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查三角函数、菱形的性质与判定及含30°直角三角形的性质，解题的关键是利用“胡不归”原理找到最小值的情况，然后根据三角函数及菱形的性质进行求解即可． 三、解答题（共8小题） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据二次根式的性质化简，再计算括号里的减法，然后计算乘除法，最后计算加法即可； （2）化简二次根式、计算除法，利用平方差公式计算，最后计算加减法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，在菱形中，对角线交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，求的长度． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴且， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，根据，得到，即可得证； （2）勾股定理求出的长，再利用勾股定理求出的长，斜边上的中线求出的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 在中，， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查菱形的性质，矩形的判定，勾股定理，斜边上的中线等知识点，熟练掌握相关知识点，并灵活应用，是解题的关键． 18. 已知：如图，在四边形中，，E，F分别是对角线的中点． （1）请判断线段与的位置关系，并说明理由； （2）若，请判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 解：，理由如下： 如图所示，连接， ∵，点E是的中点， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴； （2） 解：，理如下由： ∵，点E是的中点， ∴， ∴， ∵，点E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∵点F是的中点， ∴． 【解析】 【分析】（1）连接，根据直角三角形斜边上的中线性质可，从而可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质，即可解答； （2）根据直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得，然后利用三角形的外角性质可得，从而利用直角三角形斜边上的中线性质可得，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 19. 如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么该如何计算它的面积呢？我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中给出了如下公式：（秦九韶公式） 古希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中给出了如下公式： （海伦公式），其中． 秦九韶公式和海伦公式都解决了由三角形的三边长直接求三角形面积的问题，它们虽然形式不同，但完全等价，请使用这两个公式解决下面的问题： （1）如果一个三角形的三边长依次为，，，那么它的面积为____________________； （2）如图，在中，已知，，． ①的面积为____________________； ②作于点D，求的长． 【答案】（1） （2）①84；②9 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义的理解，勾股定理， （1）根据秦九韶公式代入计算即可； （2）①根据海伦公式计算即可； ②根据面积相等求出，然后根据勾股定理求出答案即可． 【小问1详解】 解：由秦九韶公式，得； 故答案为：； 【小问2详解】 解：①根据海伦公式，得， ∴； 故答案为：84． ②根据题意，得， 即， 解得． 在中，根据勾股定理，得． 20. 阅读材料： 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如： 【类比归纳】 （1）填空： ① ② （2）请你仿照小明的方法，将化成一个式子的平方； 【拓展提升】 （3）如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，求剩余部分的面积． 【答案】（1）①；；②；；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式． （1）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可； （2）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可； （3）设小正方形的边长为，大正方形的边长为，根据题意得：，，即可得x、y的值，再根据剩余部分的面积为，代值计算即可． 【详解】解：（1）①； ②； 故答案为：①；；②；； （2）； （3）设小正方形的边长为，大正方形的边长为， 根据题意得：，， ∴，， 剩余部分的面积为：． 21. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60 cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4 cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒(0＜t≤15)．过点D作DF⊥BC于点F，连结DE，EF. (1)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由； (2)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由． 【答案】 （1）能，t＝10秒； （2）当t＝或12秒时，△DEF为直角三角形 理由：①当∠DEF＝90°时，由(1)知四边形AEFD为平行四边形， ∴EF∥AD， ∴∠ADE＝∠DEF＝90°， ∵∠A＝60°， ∴∠AED＝30°， ∴AD＝AE＝t，又AD＝60－4t，即60－4t＝t， 解得t＝12； ②当∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形， 在Rt△AED中∠A＝60°，则∠ADE＝30°， ∴AD＝2AE， 即60－4t＝4t，解得t＝； ③若∠EFD＝90°，则E与B重合， D与A重合，此种情况不存在． 综上所述，当t＝或12秒时，△DEF为直角三角形 【解析】 【分析】（1）能．首先证明四边形AEFD为平行四边形，当AE=AD时，四边形AEFD为菱形，即60-4t=2t，解方程即可解决问题； （2）分三种情形讨论①当∠DEF=90°时，②当∠EDF=90°时．③当∠EFD=90°，分别求解即可 【详解】解：(1)能． 理由：在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝4t， ∴DF＝2t， 又∵AE＝2t， ∴AE＝DF， ∵AB⊥BC，DF⊥BC， ∴AE∥DF， 又∵AE＝DF， ∴四边形AEFD为平行四边形， 当AE＝AD时，四边形AEFD为菱形， 即60－4t＝2t，解得t＝10. ∴当t＝10秒时，四边形AEFD为菱形； (2)略 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型． 22. 阅读材料：用配方法求最值． 已知，为非负实数， ∵ ∴，当且仅当“”时，等号成立． 例：已知，求函数的最小值． 解∶令，则有， 得 当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为4． 根据以上信息回答下列问题． （1）已知，则函数取到最小值，最小值为______，已知，则的最小值是______； （2）已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ （3）如图，四边形的对角线，交于点O，，，求四边形的面积的最小值． 【答案】（1）6，4 （2） （3）100 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的计算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据材料提示得到，设，由此即可求解； （2）根据题意得到，则，此时有最大值，最大值为：，由此即可求解； （3）设，则，结合题意得到，所以此时，，由此即可求解． 【小问1详解】 解：函数， 令， ∴， ∴当且仅当，即时，取得最小值，最小值为6， 设， 当且仅当，即时，的最小值是4， 故答案为：6，． 【小问2详解】 解：∵， 又∵， 当且仅当时，有最小值， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴此时有最大值，最大值为：； ∴当时，函数取到最大值，最大值为． 【小问3详解】 解：设，则， ∵， ∴， ∴； 当且仅当时，； 此时，， 故． 23. 阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，在正方形中，点、分别为、边上的点，，连接，求证：．小明是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将绕点顺时针旋转得到（如图），此时即是． （1）在图2中，的度数是 （直接写答案）． 参考小明得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题： （2）如图3，在直角梯形中，（），，，是上一点，若，，求的长度． （3）如图4，中，，，以为边作正方形，连接．当 时，线段有最大值，并求出的最大值． 【答案】（1）； （2）； （3）当时，线段有最大值，最大值为． 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、勾股定理、三角形三边之间的关系、旋转的性质属于综合题． 将绕点顺时针旋转得到，根据正方形的性质可知，因为，可得：； 过点作，交延长线于，将绕点顺时针旋转得到，可证，根据全等三角形的性质可得，可以求出，根据勾股定理可得：，即可求出； 将绕点逆时针旋转得线段，连接、，利用勾股定理可以求出，利用可证，根据全等三角形的性质可证，当、、三点共线时，有最大值，最大值为． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到， ，， 四边形是正方形， ， ， ， ， ； 故答案为：； 解：如下图所示，过点作，交延长线于，将绕点顺时针旋转得到， ，，，， 直角梯形中，（），，， ， 四边形是正方形，，， 点与重合，、、三点共线， ， 由可知， 在和中，， （）， ， ， ， ，， ， 在中，， ， 解得：； 当时，线段有最大值， 如下图所示，将绕点逆时针旋转得线段，连接、， 是等腰直角三角形，， ， ， 四边形是正方形， ，， ，即， 在和中，， ， ， 当有最大值时，有最大值， ，， 当、、三点共线时，有最大值， 最大值为， ， 此时， 当时，线段有最大值，最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $