精品解析：山东枣庄市薛城区2025-2026学年高一下学期4月期中考试数学试题

高一数学 本试卷共4页，满分为150分，考试时间120分钟. 2026.04 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据虚部的定义可得解. 【详解】复数的虚部为. 故选：C 2. 已知向量，，且，则（ ） A. 4 B. 2 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量平行列出方程，化简求出的值. 【详解】由题意知，则，解得，故D项正确. 故选：D. 3. 在所在平面内，点满足，记，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量的线性运算法则即可算得结果. 【详解】由向量的线性运算可知. 故选：C. 4. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的四则运算法则和求复数的模长公式，化简已知条件，得到复数z，再求复数z的共轭复数，得 【详解】因为，所以， 则，则 故选：B 5. 桌面上有以下四种几何体，设点是几何体表面上的一点，任意转动几何体（均与桌面接触），则点到桌面的距离最大的几何体是（ ） A. 棱长为1的正方体 B. 表面积为的球 C. 轴截面是边长为1的正方形的圆柱 D. 体积为且轴截面为直角三角形的圆锥 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方体、球、圆柱、圆锥的几何性质进行运算判断即可. 【详解】A：当点是棱长为1的正方体表面上的一点时， 因为棱长为1的正方体的对角线长为， 所以点到桌面的最大距离为； B：当点是表面积为的球表面上的一点时， 设该球的半径为，所以有， 因此该球的直径为， 由球的性质可知点到桌面的最大距离为； C：当点是轴截面是边长为1的正方形的圆柱表面上的一点时， 此时该正方形的对角线长为， 所以点到桌面的最大距离为； D：当点是体积为且轴截面为直角三角形的圆锥表面上的一点时， 由圆锥的性质可知该直角三角形为等腰直角三角形，设斜边长为， 所以该圆锥的底面的半径为，圆锥的高为， 所以有， 所以斜边长为， 因此点到桌面的最大距离为； 显然，即， 故选：D 6. 如图，的斜二测画法的直观图是腰长为的等腰直角三角形，轴经过的中点，则（ ） A. 6 B. C. 12 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将直角坐标系中的原图作出，再比对直观图与原图直接求出即可. 【详解】 由题意得的原图如图所示，其中D为的中点，且， ， 所以，故. 故选：D. 7. 若是夹角为的两个单位向量，则和的夹角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件，根据数量积定义求，再利用向量夹角公式和数量积的性质求结论. 【详解】因为是夹角为的两个单位向量， 所以，， 设为的夹角， ， 故选：A. 8. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，如图是一个正八边形的窗花，从窗花图中抽象出的几何图形是一个正八边形，正八边形的边长为是正八边形内的动点（含边界），则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，得到向量的坐标，用向量的数量积坐标运算即可求解. 【详解】   以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，则 过作的垂线，垂足为， 正八边形中，边长为4，所以， 所以，所以，所以， 设，则，所以， 因为是正八边形内的动点（含边界）， 所以的范围为， 所以， 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，，且，下列说法正确的是（ ） A. 是纯虚数 B. 是实数 C. 是虚数 D. 若，则是实数 【答案】AD 【解析】 【详解】A. 为纯虚数，故A正确； B.，只有时，才是实数，故B错误； C.，只有时为虚数，为实数，故C错误； D. 为实数，故D正确. 10. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. a>c C. c>a D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正弦边角关系可得，结合余弦定理及锐角三角形知、判断A、B、C正误；再由正弦边角关系得，应用倍角公式得，注意，即可得范围判断D正误. 【详解】由正弦边角关系知：，则， 所以，而，则，A正确； 由上知：，即，B错误，C正确； 由知：，则， 又，故，则，即，D正确. 故选：ACD 11. 在中，分别是边中点，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则是在的投影向量 D. 若点是线段上的动点（不与重合），且，则的最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】对选项A，B，利用平面向量的加减法即可判断A错误，B正确.对选项C，首先根据已知得到为的平分线，即，再利用平面向量的投影概念即可判断C错误.对选项D，首先根据三点共线，设，，再根据已知得到，从而得到，即可判断选项D正确. 【详解】如图所示： 对选项A，，故A错误. 对选项B， ，故B正确. 对选项C，，，分别表示平行于，，的单位向量， 由平面向量加法可知：为的平分线表示的向量. 因为，所以为的平分线， 又因为为的中线，所以，如图所示： 在的投影为， 所以是在的投影向量，故选项C错误. 对选项D，如图所示： 因为在上，即三点共线， 设，. 又因为，所以. 因为，则，. 令， 当时，取得最大值为.故选项D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，则___________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意可知， 所以. 13. 某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度OP，选取了在同一水平面上的A，B，C三处，如图所示.已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为、、，，米，则该建筑的高度______米. 【答案】 【解析】 【分析】设，由题可得，，，由得B是AC的中点，在和中，由余弦定理建立方程求解即可． 【详解】设，在直角三角形OAP中，由，得， 在直角三角形OBP中，由，得， 在直角三角形OCP中，由，得， 由，可得B是AC的中点，所以， 因为，则， 在，中，由余弦定理可得：， 解得，所以该建筑的高度OP为米． 故答案为： 14. 在边长为4的菱形中，为中点，为平面内一点，若，则___________． 【答案】14 【解析】 【详解】可知， 所以，即， 可得， 可知在中，， 所以， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，， （1）若与的夹角为，求； （2）若与不共线，向量与互相垂直，求值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由题可得，，， ； 【小问2详解】 与互相垂直， ，即； ，，且与不共线， ，解得. 16. 已知圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，母线长为3. （1）求圆锥的底面积； （2）在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的体积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用扇形弧长公式求出圆锥底面圆半径即可得解. （2）设圆柱的高，，借助比例式将圆柱的侧面积表示成的函数，结合二次函数的性质求出面积最大值即可得解. 【小问1详解】 依题意，圆锥的侧面展开图扇形弧长为，则圆锥底面圆半径， 所以圆锥底面圆面积为. 【小问2详解】 设圆柱的高，底面圆半径， 在中，，显然，则， 即，于是， 圆柱侧面积， 则当，时，圆柱的侧面积最大，此时该圆柱的体积为. 17. 在平行四边形中，分别是边的中点，与交于点． （1）求； （2）记，求的值． 【答案】（1）17 （2） 【解析】 【小问1详解】 因为分别是边的中点， 所以， 因此 ． 【小问2详解】 设， 有， 又， 由平面向量基本定理得，解得， 所以，则，因此． 18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，已知 （1）求 （2）若，，的面积为. ①求; ②设BC，AC边上的两条中线AD，BE相交于点O，求. 【答案】（1） （2）①，；② 【解析】 【分析】（1）利用和角公式和正弦定理，以及辅助角公式推理计算即得； （2）①利用余弦定理和三角形面积公式即可求得；② 先将分别用表示，再运用向量数量积的运算律和向量夹角的计算公式求出即得答案. 【小问1详解】 由，可得， 由正弦定理得 因为， 所以 由于，则，所以. 又，则，故. 【小问2详解】 ①由题意，的面积，可得①， 由余弦定理得，，且，所以, 则，因为，所以②， 因为，联立①和②解得，， ② 因为D，E分别是BC，AC的中点，O为AD，BE的交点， 所以，， 因为 ， ， 所以, 由题意，为锐角，则. 19. 如图，在中，，，且．为线段上的两个动点（在的右侧），且，记． （1）若时，求的周长； （2）若的面积是的面积的倍，求的大小； （3）当为何值时，的面积最小，最小面积是多少？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用直角三角形及三角函数计算可得、、，即可得周长； （2）借助面积关系可得，再利用正弦定理计算可得，从而可计算出； （3）利用正弦定理可表示出，再利用面积公式计算可用表示，再利用三角函数性质可得最小值. 【小问1详解】 由，得， 又，则，所以， 当时，， 在Rt中，则， 在中，，可得， 的周长为； 【小问2详解】 ，因为的面积是的面积的倍， 所以，即， 在中，， 由，得， 从而，即，而， 由，得，所以，即； 【小问3详解】 设，由（2）知， 在中，由，得， 所以 =， 当且仅当， 即时，的面积取最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 本试卷共4页，满分为150分，考试时间120分钟. 2026.04 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2 2. 已知向量，，且，则（ ） A. 4 B. 2 C. 0 D. 3. 在所在平面内，点满足，记，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 5. 桌面上有以下四种几何体，设点是几何体表面上的一点，任意转动几何体（均与桌面接触），则点到桌面的距离最大的几何体是（ ） A. 棱长为1的正方体 B. 表面积为的球 C. 轴截面是边长为1的正方形的圆柱 D. 体积为且轴截面为直角三角形的圆锥 6. 如图，的斜二测画法的直观图是腰长为的等腰直角三角形，轴经过的中点，则（ ） A. 6 B. C. 12 D. 7. 若是夹角为的两个单位向量，则和的夹角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 8. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，如图是一个正八边形的窗花，从窗花图中抽象出的几何图形是一个正八边形，正八边形的边长为是正八边形内的动点（含边界），则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，，且，下列说法正确的是（ ） A. 是纯虚数 B. 是实数 C. 是虚数 D. 若，则是实数 10. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. a>c C. c>a D. 11. 在中，分别是边中点，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则是在的投影向量 D. 若点是线段上的动点（不与重合），且，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，则___________． 13. 某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度OP，选取了在同一水平面上的A，B，C三处，如图所示.已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为、、，，米，则该建筑的高度______米. 14. 在边长为4的菱形中，为中点，为平面内一点，若，则___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，， （1）若与的夹角为，求； （2）若与不共线，向量与互相垂直，求值． 16. 已知圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，母线长为3. （1）求圆锥的底面积； （2）在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的体积. 17. 在平行四边形中，分别是边的中点，与交于点． （1）求； （2）记，求的值． 18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，已知 （1）求 （2）若，，的面积为. ①求; ②设BC，AC边上的两条中线AD，BE相交于点O，求. 19. 如图，在中，，，且．为线段上的两个动点（在的右侧），且，记． （1）若时，求的周长； （2）若的面积是的面积的倍，求的大小； （3）当为何值时，的面积最小，最小面积是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $