山东省枣庄市薛城区2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

高一数学试题第 1 页 共 4 页 试卷类型 :A 高 一 数 学 试 题 2025.04 一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1. 把与复数 2 i 对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转90，所得的向量对应的复数为 A. 1 2i B. 1 2i  C. 1 2i D. 1 2i  2. 已知向量  3, sina ，  5, 1b ，若 ∥a b，则 cos2  A. 7 25 B. 7 25  C. 24 25 D. 24 25  3. 下列说法正确的是 A. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 B. 过空间内不同的三点，有且只有一个平面 C. 棱锥的所有侧面都是三角形 D. 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台 4. 已知 ,m n为两条不同的直线， ,  为两个不同的平面，对于下列命题正确的是 A． , ,m n m   ∥ ,n ∥   ∥  B． ∥ ,m m   ∥  ； C． n∥ ,m n m  ∥ D．m∥ ,n m   ∥ n . 5. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形 OA BC   ，且 O A B C   ∥ ， 2 2OA B C     ， 1A B   ，则该平面图形的高为 A. 2 B. 1 C. 2 2 D. 2 高一数学试题第 2 页 共 4 页 6. 如图是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数 2 、 3 、 5 、L的图形． 1AB BC  ， 2AC  ， 1DC  ， 3AD  L，四边 形 ABCD的对角线相交于点O，若DO OB   ，则  A. 1 B. 2 C. 6 2 D. 3 7. 在 ABC 中，若    cos sin cos sina a B B b c C A   ，则这个三角形是 A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 8. 已知三棱锥D ABC 的顶点都在球O的球面上，底面 ABC 是边长为 3的等边三角 形．若三棱锥D ABC 的体积的最大值为 9 3 4 ，则球O的表面积为 A. 16π B. 12π C. 8π D. 4π 二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 20分．在每小题给出的四个选项中，有多 个选项符合题目要求，全部选对的得 6分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0分． 9．已知 1z ， 2z ， 3z 是复数， 1z ≠0，则下列命题中的真命题是 A. 1 2 1 2z z z z  B. 若 2 3z z ，则 1 2 1 3| | | |z z z z C. 若 1 2 1 3z z z z ，则 2 3z z D. 若 1 2 0z z  ，则 1 2z z 10．在 ABC 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 2b  ， 3 A  .若 ABC 有唯一解，则 a的值可以是 A. 1 B. 3 C. 2 D. 5 11．已知直三棱柱 1 1 1ABC ABC- 中， 190 , 2 2 2 2ACB AA AC BC      ， , ,M N ,Q G点分别为棱 1 1 1 1, , ,A B AC AC AB的中点， P是线段 1 1BC 上（包含端点） 的动点，则下列说法正确的是 A. 直三棱柱 1 1 1ABC ABC- 外接球的半径为 2 B. 三棱锥P MNA 的体积与 P的位置无关 C. 若 P为 1 1BC 的中点，则过 , ,A M P三点的平面截三棱柱所得截面为等腰梯形 D. 一只虫子由表面从Q点爬到 1B 点的最近距离为 17 高一数学试题第 3 页 共 4 页 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分． 12． sin15 cos15   ________． 13．底面半径为 4的圆锥被平行于底面的平面所截，截去一个底面半径为 1，母线长为 3 的圆锥，则所得圆台的侧面积为__________. 14．在 ABCV 中， 2BD DC   ，过点D的直线分别交直线 AB、 AC于点 E、F ，且 ,AE mAB AF nAC      ，其中 0m  ， 0n  ，则 2m n 的最小值为_________. 四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分 13分） 已知向量    1, 2 , 3, k  a b . (1)若 a ∥ b，求| |b 的值； (2)若  2 a a b ，求实数 k的值； (3)若 a 与b的夹角是钝角，求实数 k的取值范围. 16．（本小题满分 15分） 已知 ABCV 的内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c，且 sin sin sinA B C b c a b     . （1）求 A； （2）若点D是BC边上一点，且 , 2AB AD BD CD  ，求 ADB . 高一数学试题第 4 页 共 4 页 17．（本小题满分 15分） 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD是正方形，点 I 在棱 PA上（不与端点重合）， E，F分别是 PD，AC的中点. (1)证明： EF∥平面 PBC . (2)记平面PAB平面 EFI l ，证明： EF l∥ . 18．（本小题满分 17分） 已知函数 2 2 tan 1( ) 2 3 sin cos tan 1 xf x x x x     . （1）化简  f x ，并求 ( ) 12 f  的值； （2）在锐角△ABC中，角 , ,A B C所对的边分别为 , ,a b c， （ⅰ）若内角 A满足 2( ) 3 f A  ，求 cos2A的值； （ⅱ）若内角 B满足 ( ) 2f B  ， 3b  ，求a c 的取值范围. 19．（本小题满分 17分） 如图，设 ABC 中角 , ,A B C所对的边分别为 , , ,a b c AD 为 BC边上的中线，已知 1c  ，且 212 sin cos sin 15 sin ,cos 7 c A B a A c C BAD    ． （1）求b的值； （2）求 ABC 的面积； （3）设点 ,E F 分别为边 ,AB AC上的动点（含端点），线段 EF 交 AD于G，且 AEF△ 的面积为 ABC 面积的 1 6 ，求 AG EF   的取值范围． 高一数学试题参考答案 一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分. 1-4AACB 5-8CBDA 二、多选题:本题共3小题,每小题5分,共15分 9.ABC 10.BD 11.ABD 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 ## 13.45t 14.3 四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 $5.解:(1)ā=(1,2),5=(-3.),且/; :1xk-2x(-3)-0,解得k=-6, :.一(-3)+(-6)-3V5. ............ (2)ā+25=(-5.2+2k),且ā1(ā+2). 8分 (3)因为与a的夹角是钝角,. cos(a.)<0, 则ā=lāll]cosb<0,且ā与不共线, .....................................分 即1x(-3)+2xk<0日k:-6. ...........................................2分. .................................... sin4+sinB sinC a十 C 16.解:(1): .由正弦定理得 _ Dc __ btC '?- ..-b-2,. . + -c..-..-ebc....................4分 b2+2--_- _....................... 由余弦定理得 cosA二 6分 2bc 2bC 2 4e(0.7),.A-27 高一数学参考答案 第1页共4页 (2)AB 1AD,:. 乙BAD- 2. 2π π π DAC= BAC- BAD= ............ 326 BD AB BD -=BD 在△ABD中,由正弦定理得sin/ADB sin/BAD .......10分 ACCD CD 二-2CD 在AACD中,由正弦定理得sin/ADCsin/DAC .....12分 ADB+ ADC=.,. sin ADB=sin ADC.....................- 13分 :BD=2CD,.AB=AC,即b-C, B=C- ADB=--_BAD-B=n- 6 -.................分 17. 解:(1)连接BD ·底面ABCD是正方形,所以F是BD的中点 又E是PD的中点;..EF是△PBD的中位线 .'. EF//PB *EFC平面PBC,PB一平面PBC, 1& .EF//平面PBC. ..............................7分 E (2)由(1)知EF//PB' ......:D :EF:平面PAB:PB一平面PAB B C .EF/.面p4B,........................2分. 若平面PABo平面EFI=I. 又EF一平面EFI: 所以.F/............................ (-)-. 4分 因为AE(0), 24-#(一) 高一数学参考答案第2页 共4页 .8分 6 3 cOs2A=cos(2+)=cos(2A-)cosin(2A-sin} 6 6 6 6 22## . .................................................... 2 232 10分 6 (iì)同样,因为BE(0,),2B-(-5) 6 $(B)=2sin2B-)=2, sin(2B-)=1. 6 #所以$B-,得B二=# 6 2 ,得a=2sinA,c=2sinC. 2 a+cE(3,23]. .................分 19. 解:(1) 由2csin4cosB=asin4-15csinC; 由正弦定理,可得2accosB=a{2-15c^}, 由余弦定理,可得2accosB=a^{2}+c2-b2=a^}-15 ^}, ................ 得$}=16c2,且c=1,所以b2=16.b=4; ..............................分.. (2)由AD为BC边上中线,可得Ssp=SAcp' 即sin.4D...i.4................................................................ ·5分 高一数学参考答案 第3页 共4页 ...............分 则sin/C4D-1 ...................分 则sin BAC=sin(BAD+CAD). =sin BADcos CAD+cos BADsin CAD. 233211# 7*272 设AE=xAB,AF=yAC,x,yE[0,1]. 6 11 62 则-,(),)1 设4G=^AD,由AD为中线,可得AD-4B+14C. 2 AG FEF AB4C)#(-B+y4C)-(-ABR+(y-)ABAC+y4C") 6x2+1 2+6x{}+1 ,.14分 x十y x+__ 6x 由xe111, 可得6×}+1e7),则4G.EF 10.1. ..........................分 高一数学参考答案 第4页 共4页