江苏省江都中学2025-2026学年高一下学期5月数学周测

**基本信息** 聚焦解三角形、向量与三角函数，通过8道单选、3道多选、3道填空及5道解答题，融合污水处理池设计（解答题18）与“发电叶片恒等式”探究（解答题19），考查数学抽象、逻辑推理与数学建模能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|正弦定理、向量数量积|基础巩固，如外心向量最值（题1）| |多选题|3|向量投影、三角函数性质|能力辨析，如重心向量表示（题8）| |填空题|3|角平分线长度、梯形向量最值|综合应用，如角平分线计算（题12）| |解答题|5|扇形向量、三角函数对称中心、恒等式推广|创新探究，如“发电叶片恒等式”证明（题19）|

2026年5月1日高中数学周测 姓名：___________班级：___________考号：___________成绩 评卷人 得分 一、单选题 1．已知中，是外接圆的圆心，则的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 2．若，则（    ） A． B． C． D． 3．下列命题正确的是（    ） A． B．若向量，把向右平移2个单位，得到的向量的坐标为 C．在中，是为锐角三角形的充要条件 D．在中，若为任意实数，且，则P点的轨迹经过的内心 4．如图，O是锐角三角形ABC的外心，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若，则m=（    ） A． B． C． D．1 5．中，，，，为中最大角，为上一点，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知向量不共线，且实数满足，则的值为（    ）． A． B． C． D． 7．在中，，，则（   ） A． B． C．或 D． 8．已知点P是的重心，则（   ） A． B． C． D． 评卷人 得分 二、多选题 9．如图，点是所在平面内的一点，，，，、分别为边、的中点，与交于点，则（   ） A． B．在上的投影向量等于 C． D．的最小值为 10．函数，下列结论正确的有（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数为奇函数 C．函数关于对称 D．函数在上单调递减 11．在中，，，，AD是三角形的中线．E，F分别是AB，AC边上的动点，，（x，），线段EF与AD相交于点G．已知的面积是的面积的2倍，则（    ） A． B．x＋y的取值范围为 C．若，则的取值范围为 D．的取值范围为 评卷人 得分 三、填空题 12．的三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，角的平分线交于，则_____． 13．已知的内角的对边分别为，若，，，则__________. 14．在梯形ABCD中，，，，AC与BD交于点E，且，点F在线段AB上，且，平面内的动点P满足，则的最大值为_______． 评卷人 得分 四、解答题 15．如图,在扇形AOB中,的中点为M,动点C,D分别在OA,OB上,且OC=BD,OA=1,∠AOB=120°. （1）若D是线段OB靠近点O的四分之一分点,用表示向量; （2）求的取值范围. 16．如图，在平面四边形中，，在边上，，，的面积为，记． (1)若，求线段的长度； (2)当为何值时，线段的长度最小？求出该最小值． 17．已知函数． (1)求的对称中心； (2)求在上的单调递减区间； (3)若，是在上的两个零点，求的值． 18．如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（ABCD）的池底水平铺设污水净化管道（即的三条边，H是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知米，米，记． (1)试将污水净化管道的长度L表示为的函数； (2)若，求此时管道的长度L； (3)当取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度． 19．江都中学某数学兴趣小组在学习三角函数的过程中发现一个规律： ， ， ， 据此规律提出猜想：，并用两角和与差的余弦公式对猜想进行了证明．当、、有相同的始边时，其终边三等分圆周，类似于风力发电机叶片之间的关系，因此该兴趣小组的同学称这个恒等式为“发电叶片恒等式”．同时，小组同学也提出疑问：对于更多“叶片”的“风力发电机”，这样的“发电叶片恒等式”的结论能否得到推广呢？根据以上信息，回答下列问题： (1)证明：； (2)解关于的方程：，其中； (3)求的值，其中，且． 试卷第4页，共4页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年5月1日高中数学周测》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D C C C A D BCD AC 题号 11 答案 ACD 1．C 【难度】0.85 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、正弦定理解三角形、用定义求向量的数量积 【分析】过点作，利用向量的减法运算和数量积化简，将问题转化为求的最值，再利用正弦定理和三角函数范围即可求最值. 【详解】过点作，垂足分别为， 因为是外接圆的圆心，则为的中点， 则， 由正弦定理得， 等号当且仅当时成立， 则， 所以的最大值为. 故选：C 2．C 【难度】0.85 【知识点】诱导公式五、六、二倍角的余弦公式 【分析】根据二倍角公式以及诱导公式即可求解. 【详解】由可得， 故， 故选：C 3．D 【难度】0.65 【知识点】向量减法的法则、平面向量有关概念的坐标表示、用定义求向量的数量积、根据向量关系判断三角形的心 【分析】根据向量减法法则判断A，根据向量的定义判断B，根据数量积的定义判断C，根据单位向量及向量加法的平行四边形法则判断D. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：向量平移后，不改变方向和模长，故平移后与平移前为相等向量， 故把向右平移2个单位，得到的向量的坐标为，故B错误； 对于C：由，即，即， 又，所以为锐角，不能得到为锐角三角形，故充分性不成立， 故C错误； 对于D：由，可得 又表示方向上的单位向量，表示方向上的单位向量， 根据向量加法的几何意义知，以和为邻边的平行四边形为菱形， 点在该菱形的对角线上，又菱形的对角线平分一组对角， 故点在的平分线上，所以点的轨迹经过的内心，故D正确. 故选：D 4．C 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、平面向量数量积的几何意义、数量积的运算律 【分析】首先由条件等式两边乘以，再结合数量积公式，以及正弦定理，边角互化，化简等式，即可求的值. 【详解】对于式子，两边同乘， 可得， 即， 由正弦定理化简可得， 由，两边同时除以得， ∴ ， 故选：C． 5．C 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】先根据题意和余弦定理，在中求出AC的长，再求出AD的长，再由余弦定理在中求出BD的长． 【详解】设，由余弦定理得，， 即，整理得，解得或， ∵为中最大角，∴，又∵，∴， 在中，由余弦定理得，， 即，∴. 6．C 【难度】0.65 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用、相等向量、平面向量的混合运算 【分析】根据所给向量相等条件求出，利用对数运算化简即可. 【详解】因为， 所以， 则，解得 则． 故选：C 7．A 【难度】0.65 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】由题知为锐角且，再结合得，最后根据内角和定理，余弦的和角公式求解即可. 【详解】因为在中，， 所以为锐角且， 因为，所以， 所以， 所以， 所以 . 8．D 【难度】0.78 【知识点】三角形的心的向量表示、用基底表示向量、平面向量基本定理的应用 【分析】根据平面向量基本定理逐项验证即可求解. 【详解】设的中点为，由点P是的重心，所以， 所以，故D正确；C错误； 由，故AB错误； 9．BCD 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、数量积的坐标表示、用向量解决夹角问题、求投影向量 【分析】根据余弦定理直接计算判断A，根据投影向量的法则求解判断B，根据的特点，建立平面直角坐标系，运用平面向量的坐标运算求得判断C，结合平面向量的线性运算、数量积的运算及二次函数的性质判断D. 【详解】对于A，在中，，，，所以由余弦定理得 ，故A错误； 对于B，在上的投影向量等于，故B正确； 对于CD，如图，以为原点，以为轴，过点A与垂直的直线为轴， 建立平面直角坐标系， 则，，，，， ，， 所以， 又，所以，故C正确； 设，则，， 所以 ，当且仅当时等号成立， 即的最小值为，故D正确. 故选：BCD 10．AC 【难度】0.65 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、辅助角公式、sinxcosx的降幂公式及应用、求sinx型三角函数的单调性 【分析】由二倍角公式和辅助角公式化简求出函数的解析式，再逐个判断函数的周期，对称性及单调性即可． 【详解】 . 选项A：最小正周期，正确； 选项B：，不满足奇函数的性质，错误； 选项C：将代入得，此时取最值，正确； 选项D：令，， 解得增区间为，， 时，在增区间内，则函数单调递增，错误. 11．ACD 【难度】0.4 【知识点】三角形面积公式及其应用、用基底表示向量、数量积的运算律、平面向量共线定理的推论 【分析】利用三角形面积公式即可得到，利用对勾函数的性质和基本不等式即可判断B，利用共线向量定理的推论即可判断C，利用转化法计算即可判断D. 【详解】对A，， ， 又因为，即， 解得，故A正确，    对B，因为，，则，解得，则， 则， 当且仅当时等号成立， 根据对勾函数的图象与性质可知当或1时，，则，故B错误， 对C，因为，，所以， 因为点三点共线， 则存在，使得 则有，则，，故C正确； 对D，，， 则 ， 因为，则，则，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：本题较难的CD选项的判定，需要利用共线向量定理的推论，从而得到，然后解出，从而得到其范围；对于D选项，则利用转化法来计算，最后得到，再进行消元转化为单变量表示即可得到其范围. 12．2 【难度】0.85 【知识点】三角形面积公式及其应用、几何图形中的计算 【分析】根据余弦定理，先计算出边的长度，然后利用面积等于与的面积的和计算角平分线的长度，或者求出各个角的大小，用正弦定理求出的长度. 【详解】由图可知，记， 方法一：由余弦定理可得，，因为，解得：， 由可得，， 解得：． 方法二：由余弦定理可得，， 因为，解得：， 由正弦定理可得，， 解得：，因为， 所以，又， 所以，即． 故答案为：. 13．3 【难度】0.65 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】利用三角函数关系式平方和关系求出，根据三角形面积及已知条件求出的值，最后利用余弦定理求解即可. 【详解】在中，因为， 所以， 由，， 所以，解得：， 由余弦定理得： 即， 由，所以， 故答案为：3. 14． 【难度】0.4 【知识点】数量积的坐标表示、向量与几何最值 【分析】根据得到，再以A为原点建立直角坐标系，再根据向量数量积求解即可. 【详解】由得，. 以为原点，为轴建立直角坐标系，则，. 设，则. 由得：，即 ①； 由，相似比得​​， 故​，即 ②. ②-①得： ，代入①得​，因此，. 由得，动点满足， 故轨迹为以为圆心，半径1的圆. 设，为与x轴的夹角. 进而， ， 所以，其中. 故的最大值为. 15．（1）；（2）. 【难度】0.85 【知识点】用基底表示向量、数量积的运算律 【分析】（1）连结，，由题设条件得到四边形是平行四边形，由此能求出． （2）设，则，，由此结合题设条件，利用向量的数量积能求出的取值范围． 【详解】解:连结，， 扇形的弧的中点为，动点、分别在、上， 且，，， 四边形是平行四边形， 点是线段靠近点的四分之一分点， ． 设，则， ， ， ，， 的取值范围是，． 16．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、三角恒等变换的化简问题、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据面积求出，再在中利用余弦定理可得； （2）设，根据面积求出，再在中利用正弦定理可得，结合辅助角公式、二倍角公式化简，最后利用三角函数求最值即可. 【详解】（1）因为的面积为，，， 所以，则， 在中利用余弦定理得， 所以线段的长度为. （2）设， 因为的面积为，，所以，则， 因为，所以， 因为，所以 在中利用正弦定理可得，， 则 ， 因为，所以，则， 则，则， 等号成立时，则，即， 故当时线段的长度最小，最小为. 17．(1) (2) (3) 【难度】0.56 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、三角恒等变换的化简问题、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数，再根据正弦函数的对称中心即可求解； （2）求出的单调递减区间，再结合给定的区间确定具体的单调递减区间即可； （3）先利用对称性求出，再利用换元表示出，计算可求出的值. 【详解】（1）由题意得 ， 由，得， 所以的对称中心是； （2）令，解得， 当时，，满足， 故在上的单调递减区间. （3）令，则， ，，， ， 设 ，则且， ， 则， 又， 且，又，， ， ， . 18．(1)，定义域为. (2) (3)当或时所铺设的管道最长，为米. 【难度】0.57 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、三角函数在生活中的应用、辅助角公式 【分析】（1）如图，因为都是直角三角形，故可以得到，也就是，其中. （2）先应用辅助角公式计算得出，再代入计算求解； （3）可变形为，令后，则有，其中，故取的最大值米. 【详解】（1）. 由于，， 所以，故. 管道的总长度，定义域为. （2）因为，所以， 所以； （3）. 设，则， 由于，所以. 因为在内单调递减， 于是当时，取得最大值米. 当或时所铺设的管道最长为米. 19．(1)证明见解析 (2) (3) 【难度】0.3 【知识点】正弦函数图象的应用、无条件的恒等式证明、和差化积公式 【分析】（1）由两角和的正弦公式证明即可； （2）根据（1）中的结论可得，结合已知等式列方程求解； （3）将乘后再利用积化和差公式即可得解. 【详解】（1）因为，， 所以 ， 即； （2）由（1）知， 即， 又， 所以 ， 所以， 所以 或， 当时，解得， 又，所以； 当时，无解， 综上，方程的解为； （3）设， 则 ， 由积化和差公式得， ， ，，， 将上面个式子相加得 ， 所以. 又，且，所以，所以，所以， 即. 答案第16页，共16页 答案第15页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $