福建莆田市秀屿区毓英中学2025-2026学年八年级下期中数学考试卷

**基本信息** 聚焦八年级下册核心知识，以二次根式、勾股定理、特殊四边形为主体，通过梯子滑动、华表雕龙等实际情境及“勾股高三角形”新定义问题，考查抽象能力、推理意识与模型意识，实现基础巩固与创新应用的梯度融合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10小题|二次根式有意义条件、勾股数、矩形性质|第9题华表雕龙，将柱体展开与勾股定理结合，发展空间观念| |填空题|6小题|同类二次根式、中点四边形、菱形角度计算|第16题正方形动点结论判断，融合等腰直角三角形与面积不变性，考查推理能力| |解答题|8小题|二次根式运算、平行四边形证明、新定义探究|第24题勾股高三角形从特例到应用，培养创新意识；第25题正方形对称与动点，综合全等推理与面积关系，提升数学思维|

2025-2026学年毓英中学八年级下期中考试卷 一．选择题（共10小题） 1．使二次根式有意义的x的取值范围是（　　） A． B． C．x≤3 D．x≤﹣3 2．下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．5，11，13 3．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（　　） A．对角线相等 B．对角线平分一组对角 C．对角线互相垂直 D．两组对边分别平行 4．下列二次根式的运算正确的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，已知两正方形的面积分别是25和169，则字母B所代表的正方形的面积是（　　） A．12 B．13 C．144 D．194 6．如图，在▱ABCD中，AD＝6，E为AD上一动点，M，N分别为BE，CE的中点，则MN的长为（　　） A．4 B．3 C．2 D．不确定 7． 如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点D重合，点A落在点P处，折痕为EF．若CD=12,AD=18,则DE的长为（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 8．如图所示，一根树在离地面5米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前（　　）米． A．10m B．15m C．18m D．20m 9．如图，在底面周长为3米的华表上，有一条雕龙从柱底向柱顶（从A点到B点）均匀地盘绕3图，每根华表刻有雕龙部分的柱身高为12米，则石柱上的雕龙有（　　）米． A． B．20 C．15 D． 10．如图，四边形ABCD为矩形，对角线AC与BD相交于点O，点E在边DC上，连接AE，过D作DF⊥AE，垂足为F，连接OF，若∠DAE＝30°，DE＝1，则OF的最小值为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共6小题） 11．若最简二次根式与是同类二次根式，则m＝　 　 ． 12．如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是 　 　 ． 13．如图，在▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，若∠1＝23°，则∠2的度数是　 　 ． 14．如图，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，AB＝4，E，F，G，H分别是AD，BC，BD，AC的中点．当CD＝　 　 时，四边形EGFH是菱形． 15．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠DHO＝20°，则∠CAD的度数是 　 　 ． 16．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，AC，BD相交于点O，E，F分别为边BC，CD上的动点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合）且BE＝CF，连接OE，OF，EF，在点E，F运动的过程中，有下列四个结论：①△OEF是等腰直角三角形；②△OEF面积的最小值是1；③四边形OECF的面积始终不变；④至少存在一个△ECF，使得△ECF的周长是．所有正确结论的序号是　 　 ． 17．计算：； 18．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，求证：AF＝CE． 19． 先化简，再求值：，其中a＝． 20．如图，已知∠MON＝90°，A，B为射线ON上两点，且OB＜BA． （1）求作菱形ABCD，使得点C在射线OM上；（要求；尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接AC，若OA＝8，OB＝2，OC＝4，求BD的长． 21．如图，一架长为5米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙ON上，梯子底端距离墙ON有3米． （1）求梯子顶端与地面的距离OA的长． （2）若梯子顶点A下滑1米到C点，求梯子的底端向右滑到D的距离． 22．黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌，这是武侠小说中的常见描述，其意思是指两个人合在一起，取长补短，威力无比，在二次根式中也常有这种相辅相成的“对子”，如：，，它们的积中不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样解：，． 像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去的方法，叫做分母有理化． 解决问题： （1）4+的有理化因式是　 　 ；将分母有理化得　 　 ； （2） 计算以下式子的值： 23．如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在边AB上，EF∥BC． （1）求证：四边形BDEF是平行四边形； （2）求证：AB﹣AC＝2BF． 24．我们定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边的交点为勾股顶点．例如，在图1中，若CD是△ABC中AB边上的高，且BC2﹣CA2＝CD2，则称△ABC为勾股高三角形，点C为勾股顶点． 【特例感知】 （1）如图1，CD是△ABC中AB边上的高，已知AD＝1，BD＝2，CD＝，请通过计算说明△ABC是否是勾股高三角形． 【深入探究】 （2）如图2，已知△ABC为勾股高三角形，其中点C为勾股顶点，且CA＞CB，CD是AB边上的高．探究线段AD与BC的数量关系，并给予证明． 【拓展应用】 （3）如图3，△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，且CA＞CB，CD为AB边上的高，过点D作DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F．若BC：AB＝3：5，求的值． 25．如图1，已知正方形ABCD，AB＝3，E是边BC上的一个动点（不与点B，C重合），连接AE，点B关于直线AE的对称点为F，连接EF并延长交CD于点G，连接AG，AF． （1）求∠EAG的度数； （2）如图2，连接CF，若CF∥AG，求线段BE的长； （3）如图3，在点E运动过程中，作∠GEC的平分线EH交AG延长线于H，若S△AGE：S△EGH＝4：1，求线段BE的长． 2025-2026学年毓英中学八年级下期中考试卷 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A D C B C C C D 二．填空题（共6小题） 11. 2 12. 13. 113 14. 4 15. 16．①③④ 3． 解答题（共8小题） 17． 18．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，求证：AF＝CE． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∵E，F分别是AB，CD的中点， ∴CF＝CD，AE＝BC， ∴CF＝AE，CF∥AE， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴AF＝CE． 19．先化简，再求值：，其中a＝． 解：原式＝（﹣）• ＝• ＝， 当a＝+2时，原式＝＝． 20．解：（1）如图，菱形ABCD为所求作的图形． （2）如图所示， ∵OA＝8，， ∴BC＝AB＝AO﹣BO＝8﹣2＝6， ∵＝BC2， ∴△BOC是直角三角形，且∠O＝90°， 在Rt△ACO中，． S菱形ABCD=ABAC ∴BD 21．解：（1）AO＝＝4米； （2）OD＝＝4米，BD＝OD﹣OB＝4﹣3＝1米． 22．解：（1）由题意可得， 4+的有理化因式是4﹣， ＝＝＝， 故答案为：4﹣，； （2）原式= 23． 证明：（1）延长CE交AB于点G， ∵AE⊥CE， ∴∠AEG＝∠AEC＝90°， ∵AE平分∠BAC， ∴GAE＝∠CAE， 在△AEG和△AEC中， ， ∴△AGE≌△ACE（ASA）． ∴GE＝EC， ∵点D是边BC的中点， ∴DE为△CGB的中位线， ∴DE∥AB， ∵EF∥BC， ∴四边形BDEF是平行四边形； （2）由（1）可知，四边形BDEF是平行四边形， ∴BF＝DE， ∵D、E分别是BC、GC的中点， ∴BF＝DE＝BG． ∵△AGE≌△ACE， ∴AG＝AC， ∴BF＝（AB﹣AG）＝（AB﹣AC）， ∴AB﹣AC＝2BF． 24．解：（1）∵CD是△ABC中AB边上的高，AD＝1，BD＝2，， ∴BC2﹣AC2＝BD2+CD2﹣CD2﹣AD2＝4﹣1＝3，， ∴BC2﹣AC2＝CD2， ∴△ABC是勾股高三角形． （2）AD＝BC，理由如下： 由CA2﹣CB2＝CD2可得：CA2﹣CD2＝CB2， 而CA2﹣CD2＝AD2， ∴AD2＝CB2，即AD＝BC； （3）∵BC：AB＝3：5， 设BC＝3x，则AB＝5x， 结合（2）得：AD＝BC＝3x， ∴BD＝5x﹣3x＝2x， ∵CD⊥AB， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 25．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，点B关于AE对称， ∴AB＝AF＝AD，∠BAE＝∠EAF＝∠BAF，∠B＝∠AFE＝∠D＝90°， ∵AG＝AG， ∴Rt△AFG≌Rt△ADG（HL）， ∴∠FAG＝∠DAG＝∠FAD， ∴∠EAG＝∠EAF+∠GAF＝∠BAF+∠DAF＝∠BAD＝45°． （2）∵CF∥AG， ∴∠AGF＝∠CFG，∠AGD＝∠FCG， ∵△AFG≌△ADG， ∴∠AGF＝∠AGD， ∴∠GFC＝∠FCG， ∴FG＝DG＝CG＝1.5， 设BE＝x，则EG＝x+1.5，EC＝3﹣x， ∵EC2+CG2＝EG2， ∴（3﹣x）2+1.52＝（x+1.5）2， ∴x＝1， 即BE＝1． （3）过点H作HM⊥EG，交EG的延长线于点M，HN⊥BC，交BC的延长线于点N， ∵点B关于直线AE的对称点为F， ∴AB＝AF，∠AEB＝∠AEF， ∵EH平分∠CEG， ∴∠CEH＝∠GEH， ∴∠AEH＝∠BEC＝90°， ∵∠EAH＝45°， ∴∠EAH＝∠AHE， ∴AE＝EH， ∵∠AEB+∠HEN＝90°，∠BAE+∠AEB＝90°， ∴∠BAE＝∠HEN， ∵∠ABE＝∠ENH＝90°， ∴△ABE≌△ENH（AAS）， ∴BE＝HN， ∵EH平分∠CEG，HM⊥EG，HN⊥BC， ∴MH＝HN， ∵，， ∴， ∴， ∵AB＝3， ∴BE＝． 1 学科网（北京）股份有限公司 $