7.2.2 复数的乘、除运算 教学设计-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

7.2.2 复数的乘、除运算 教学设计 一、内容和内容解析 1. 核心内容 复数代数形式的乘法运算法则、乘法运算律；共轭复数在乘法中的性质；复数除法的运算法则、分母实数化；复数乘除的基本运算技巧与常用结论。 2. 内容解析 本节课是人教 A 版必修第二册 7.2 第 2 课时，承接复数加减法运算，是复数代数运算体系的完整收尾。知识上，复数乘法类比多项式乘法，按分配律展开、合并同类项，利用 化简；复数除法类比根式分母有理化，借助共轭复数进行分母实数化，是转化思想的典型应用。本节是后续复数综合求值、模与共轭复数综合问题、复平面轨迹问题的运算基础。素养层面，重点落地数学抽象、数学运算、逻辑推理核心素养，强化类比迁移、化归转化、规范运算的数学思维。 二、教学目标 掌握复数代数形式乘法运算法则与运算律，能熟练进行复数乘法运算；理解共轭复数的乘法性质并会简单应用；掌握复数除法 “分母实数化” 的原理与步骤，能规范完成复数除法运算；能利用常见复数运算结论简化计算。在类比多项式乘法、根式有理化推导复数乘除法则的过程中，体会类比推理与化归转化思想，提升代数运算的准确性、规范性与灵活性，形成严谨的数学运算素养。 三、目标解析 1.乘法运算层面：能类比多项式乘法展开复数乘积，会用 化简整理；掌握复数乘法交换律、结合律、乘法对加法分配律；能熟练计算两个及多个复数连乘，会利用 简化运算。 2.除法运算层面：理解复数除法不能直接相除，必须分母实数化；掌握同乘分母共轭复数的标准化步骤，能规范完成除法化简；能识别除法运算易错点：符号出错、共轭复数写错、化简不彻底。 3.素养发展层面：由多项式运算类比抽象出复数乘法规则，发展数学抽象；把复数除法转化为乘法运算，体会化归转化；通过足量规范运算训练，落实数学运算；通过公式推导与性质归纳，锻炼逻辑推理。 四、教学重难点 重点：复数乘法运算法则及运算；复数除法分母实数化的方法与步骤。 难点：含多个复数的混合运算化简；灵活运用共轭复数性质、常用结论简化运算。 五、教学问题诊断分析 1.乘法展开易错：多项式展开漏项、符号混乱、忘记代换 、合并实虚部出错。 2.除法步骤不规范：不会主动乘共轭复数、共轭复数写反、分子不同乘、化简约分不彻底。 3.不会活用结论：不会用 简化乘除，习惯于硬算，运算量大易出错。 4.迁移能力弱：不能类比多项式乘法、二次根式有理化来理解记忆复数乘除法则。 突破策略：全程类比旧知引入法则，固定 “展开→ 代入“”→ 合并” 乘法流程；固定除法 “写分式→ 同乘分母共轭→ 分别化简” 标准步骤；归纳常用运算结论集中记忆，通过例题变式强化简算意识。 六、教学支持条件分析 多媒体课件展示法则推导、例题示范、易错辨析；黑板板书标准运算步骤、公式结论；配套随堂练习与变式题；借助课件分步演示分母实数化过程，规范书写格式。 七、教学过程设计（45 分钟） （一）复习回顾 情境导入（5 分钟） 回顾：复数代数形式、共轭复数、复数加减运算、 的基本幂次规则。 设问：多项式可以乘法展开、根式可以分母有理化，复数怎样做乘法和除法？ 导入课题：7.2.2 复数的乘、除运算。 （二）新知探究 建构法则（16 分钟） 1. 复数乘法法则 设 口诀：多项式展开，遇 换 ，实虚部分别合并。 2. 乘法运算律 对任意复数 交换律： 结合律： 分配律： 3. 共轭复数乘法性质 结论：复数与其共轭复数的积是实数，等于模的平方。 4. 复数除法法则 方法：分母实数化，分子分母同乘分母的共轭复数 , 步骤口诀：写成分式、上下同乘分母共轭、展开化简、分离实虚部。 （三）例题精讲 规范示范（含完整解答） 例 1 复数乘法计算 (1) 解： (2) 解： 例 2 复数除法计算 (1) 解：分子分母同乘分母共轭 (2) 解：分子分母同乘分母共轭 例 3 利用共轭性质简算 已知 ，求 与 。 解： 由 ，得 教学处理：板演标准步骤，强调符号、 代换、分母实数化必须上下同乘，示范利用共轭性质简算的优势。 （四）课堂练习 巩固落实（附答案） 1. 2. 3.若 ，则 巡视纠错：重点纠正展开漏项、符号错误、除法不同乘共轭、虚实部分离混乱。 （五）课堂小结（2 分钟） 1.乘法：多项式展开 替换 合并实虚部； 2.运算律：满足交换律、结合律、分配律； 3.除法：分母实数化，上下同乘分母共轭复数； 4.常用结论：，用于快速简算。 （六）布置作业 1.教材习题基础乘除运算题； 2.拓展：整理 的幂次周期规律，用于快速化简。 八、板书设计 7.2.2 复数的乘、除运算 1.乘法法则 步骤：展开→代 →合并 2.运算律 交换律、结合律、分配律 3.共轭性质 4.除法法则 关键：分母实数化 右侧：例题完整解答板演、易错标注 九、教学反思 本节课依托多项式乘法、根式有理化类比引入复数乘除法则，学生接受度高。教学中固定标准化运算步骤，有效减少展开符号、 代换、除法不同乘共轭等典型错误。课堂加强简算意识训练，引导优先用 化简，避免硬算；可增加含参数复数乘除求值题型，提升综合应用能力。 学科网（北京）股份有限公司 $