7.2.2复数的乘、除运算 教学设计-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

7.2.2复数的乘、除运算——教学设计 教材分析 本节课选自人教A版必修二第七章《复数》第7.2节“复数的四则运算”。在上一课时学习了复数的加、减运算及其几何意义的基础上，本节课将类比实数的运算体系，系统地学习复数的乘、除运算。复数乘、除运算是复数四则运算的核心内容，是后续学习复数三角形式、复数方程求解以及复数在几何、物理等领域应用的基础。教材通过“多项式乘法”的类比，自然地引出乘法法则，并进一步探讨其运算律；对于除法，则巧妙地引入“分母实数化”（即乘以共轭复数）的方法，将除法转化为乘法来解决，体现了化归的数学思想。实数系中的乘法公式（如平方差、完全平方公式）在复数范围内依然成立，是知识迁移的体现。 学情分析 知识基础：学生已经掌握了复数的概念、几何表示以及加、减运算。对实数的四则运算律非常熟悉，并具备整式运算（多项式乘法）和分式化简（分母有理化）的基本技能。 认知特点：高中学生具备一定的抽象思维和类比推理能力，能够从实数运算体系迁移到复数运算。但复数的“虚数单位”满足这一核心性质，可能使部分学生在进行乘法运算时出现符号错误。此外，除法运算中的“分母实数化”过程，虽然与“分母有理化”类似，但其原理（利用共轭复数使分母变为实数）需要学生深入理解，而不仅仅是机械模仿步骤。 潜在困难： · 乘法运算中，对的即时替换可能遗忘或出错。 · 对复数除法公式的记忆可能产生混淆（分子是交叉相乘还是对应相乘？）。 · 在解复数范围内的一元二次方程时，容易忽略“在复数范围内”这一前提，或对负数的平方根表示不熟练。 教学目标 · 能准确叙述并推导复数代数形式的乘法、除法运算法则，经历从多项式乘法类比得出复数乘法法则的过程，体会类比推理的数学思想。 · 能熟练进行复数的乘法、除法运算，特别是能熟练运用共轭复数进行分母实数化，通过探索除法作为乘法逆运算的处理方法，掌握“分母实数化”的技巧，体会化归思想。 · 能运用复数的乘、除运算解决简单的复数方程问题。 重点难点 重点：复数代数形式的乘法、除法运算法则及其应用。 难点：复数除法运算（分母实数化）的理解与熟练运用；复数乘法运算中的灵活处理。 学习目标 · 理解复数代数形式的乘法、除法运算法则。 · 掌握复数乘法运算，理解其满足交换律、结合律及乘法对加法的分配律。 · 掌握复数除法运算，能熟练进行分母实数化，即利用共轭复数进行化简。 · 了解实数系中的乘法公式在复数范围内仍然适用。 教学过程 1、情境导入 【提出问题】 如何定义两个复数和的乘法？能否简单地将实部与实部相乘，虚部与虚部相乘？（引导学生思考其不合理性，例如若按此计算得，但直观上不应为0）。 【引导】既然复数像多项式，那么两个“一次二项式”相乘，我们自然可以像多项式乘法那样，运用分配律展开。 定义了乘法后，如何定义除法？分母含有虚数单位，如何理解？ 2、新知探究 2.1复数的乘法法则 【法则推导】引导学生根据分配律推导：。强调关键步骤：将替换为-1，然后合并实部与虚部，得到。 【强调】结果仍为复数。 【运算律】引导学生根据法则验证（或直接说明，因为实数运算律的基础）复数乘法也满足： 乘法的交换律： 乘法的结合律： 乘法对加法的分配律： 【随堂练习】 1、计算 解： 2、计算 （1） （2） 解： （1） （2） 2.2复数的除法法则 【问题转化】除法是乘法的逆运算。如何计算？将其写成分数形式 （）。 【核心方法】分母实数化：类比实数中的“分母有理化”，目标是消除分母中的虚数单位。关键：利用共轭复数。分子分母同时乘以分母的共轭复数。 【推导过程】 【板书】复数的除法法则（公式结果），但更强调操作步骤：一写、二乘（共轭）、三化。 【随堂练习】 1、计算： 解： 2、在复数范围内解下列方程： （1） （2），， 解： （1）因为，所以方程的根为 （2）将方程的二项式系数化为1得，配方得，即，由，得，类似（1）可得， ，所以方程的根为。 3、讲练互动 【乘法巩固练习】关注运算的准确性和效率。 1、计算： （1） （2） （3） 解： （1） （2） （3） 【除法巩固练习】 2、计算： （1） （2） （3） （4） 解： （1） （2） （3） （4） 【综合应用】 3、在复数范围内解下列方程： （1） （2） 答案： （1）将化简为，因为，所以方程的根为。 （2）将方程配方得，所以， 所以方程的根为。 4、若复数，则（ ） A. B. C. D. 答案：C 因为，所以，所以，所以。 5、已知， ，则复数（ ） A. B. C. D. 1 答案：C 因为，所以，所以 【设计意图】通过分层练习，巩固法则，暴露问题，及时反馈。 4、课堂小结 知识梳理：乘法法则；运算律：交换律、结合律、分配律；除法本质：分母实数化，步骤：一写成分式，二乘共轭复数，三化简。 思想方法：类比思想（从实数、多项式到复数）、化归思想（除法化乘法）、数系扩充的一致性（运算律保持）。 作业布置 练习第2题（教材第80页）；习题7.2第4、6题（教材第81页）。 教学反思  本节课通过清晰的“情境-探究-应用-小结”主线，将复数乘除运算的来龙去脉讲清楚。特别是通过与多项式乘法类比引入乘法，通过与分母有理化类比引入分母实数化，降低了学生理解新知识的门槛。例题设计有层次，从巩固法则到综合应用，再到在复数范围内解方程，逐步深化。课堂容量较大，学生练习时间可能紧张。在“讲练互动”环节，需要根据学生实际接受情况灵活调整节奏，确保基础运算人人过关。务必在课堂上留出足够时间让学生动手计算，在计算中暴露问题、纠正错误、巩固方法。对于除法，坚持强调“过程重于结果”，让学生熟练掌握“分母实数化”这一通用方法，而非死记硬背公式。 学科网（北京）股份有限公司 $