甘肃陇南市西和县成名高级中学2026届高三5月阶段性检测数学试卷

**基本信息** 高三数学阶段性检测卷，以基础巩固为基、能力提升为脉，通过函数、几何、概率等主干知识的综合考查，融合逻辑推理与数学建模，适配高考复习阶段学情。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|集合运算、复数、等差数列、椭圆离心率|注重概念辨析，如第3题利用韦达定理结合等差数列求和公式，考查数学思维的严谨性| |多项选择|3/18|函数性质、随机事件概率、等差数列性质|强调多维度推理，如第9题通过抽象函数关系式判断奇偶性与单调性，培养数学眼光| |填空题|3/15|向量垂直、抛物线与圆综合、函数极值|突出知识交汇，第13题结合抛物线焦点弦与圆的相交问题，体现数学语言的应用| |解答题|5/77|解三角形、立体几何、概率回归、导数综合、椭圆与数列|强化综合应用，如第17题设计抽球试验情境，融合概率计算与回归分析，第19题将椭圆定点问题与数列递推结合，发展数学建模与创新意识|

2026届高三第三次阶段性检测数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第一卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合A＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|x＝2n﹣1，n∈Z}，则A∩B＝（　　） A．∅ B．{1} C．{﹣1} D．{﹣1，1} 2．若z＝﹣1+i，则（　　） A．﹣1﹣i B．﹣1+i C． D． 3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5与a7是方程x2﹣8x+4＝0的两根，则S11＝（　　） A．41 B．42 C．43 D．44 4．已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，经过F1且斜率为的直线l与C交于A、B两点（A在B上方），F2在l上的射影点恰为AF1的中点，则C的离心率为：（　　） A． B． C． D． 5．在（x2+x+y）6的展开式中，x7y的系数为（　　） A．3 B．6 C．60 D．30 6．已知a＝ln3，b，c，则（　　） A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c 7．已知三棱锥P﹣ABC的底面ABC是边长为2的正三角形，PA⊥平面ABC，D，E分别是PB，PC上的点，且DE∥BC，平面ADE⊥平面PBC，三棱锥A﹣PDE的体积与四棱锥A﹣BCED的体积之比为9：7，则该三棱锥P﹣ABC的体积为（　　） A． B． C．3 D． 8．已知a＞0，b＞0且a+b＝1，则的最小值是（　　） A．49 B．50 C．51 D．52 二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．若函数f（x）的定义域为R，f（1）＝2且∀x，y∈R，f（x2﹣y2）＝xf（x）﹣yf（y），则（　　） A．f（0）＝﹣1 B．∃a∈R，af（a）＝a+f（a2﹣1） C．y＝|f（x）|﹣cosf（x）是偶函数 D．当xy≤0时，f（x+y）＝f（x）+f（y） 10．已知A，B为两个随机事件，且P（A）＝0.5，P（B）＝0.2，则下列结论正确的是（　　） A．若B⊂A，则 B．若A，B相互独立，则 C．若A，B相互独立，则P（A∪B）＝0.7 D．若P（B|A）＝0.3，则P（A|B）＝0.7 11．首项为正数，公差d≠0的等差数列{an}，其前n项和为Sn，则下列命题中正确的有（　　） A．若d＞0，则{an}是严格增数列 B．数列一定是等差数列 C．若S12＜S10＜S11，则使Sn＞0的最大的n为22 D．若（a为常数），则an＝2n﹣2 第二卷（非选择题，共92分） 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知向量，，若，则k＝　 　 ． 13．已知过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线交抛物线C于P，Q两点，交圆x2+y2﹣2x＝0于M，N两点，其中P，M位于第一象限，请写出的一个可能取值 　 　 ． 14．已知函数f（x）＝x2﹣aex﹣b（a，b∈R）满足f（0）＝1，且恰有一个极值点，则bea的取值范围为 　 　 ． 四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（13分）在锐角△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，已知2b﹣c＝2acosC，求： （1）A的大小； （2）的取值范围． 16．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E，F分别为AB，PD上的点，且． （1）证明：AF∥平面PCE； （2）若PD⊥平面ABCD，E为AB的中点，PD＝AD＝CD，∠BAD＝60°，求二面角P﹣CE﹣F的正切值． 17．（15分）规定抽球试验规则如下：盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮．如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则，在盒子中再放入一个红球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功． （1）某人进行该抽球试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球，记其进行抽球试验的轮次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望； （2）为验证抽球试验成功的概率不超过，有1000名数学爱好者独立的进行该抽球试验，记t表示成功时抽球试验的轮次数，y表示对应的人数，部分统计数据如下： t 1 2 3 4 5 y 232 98 60 40 20 求y关于t的回归方程，并预测成功的总人数（精确到1）； （3）证明：． 附：经验回归方程系数： 参考数据：（其中）． 18．（17分）已知函数f（x）＝eax﹣x（x＞0），其中a∈R． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）恰好有一个零点，求a的取值范围； （3）若f（x）有两个零点x1，x2（x1＜x2），求证：lnx1+2lnx2＞3． 19．（17分）已知椭圆C：经过点． （1）求C的离心率． （2）设A，B分别为C的左、右顶点，P，Q为C上异于A，B的两动点，且直线BQ的斜率恒为直线AP的斜率的5倍． （i）当b的值确定时，证明：直线PQ过x轴上的定点； （ii）按下面方法构造数列{bn}：当b＝bn时，直线PQ过的定点为M（bn+1，0），且b1＝2，证明：． 参考答案 一．选择题 1．D． 2．B． 3．D． 4．C． 5．C． 6．A． 7．A． 8．A． 二．多选题 9．BCD． 10．AB． 11．ABD． 三．填空题 12．﹣5． 13．6． 14．． 四．解答题 15．解：（1）在锐角△ABC中，由正弦定理及2b﹣c＝2acosC，得2sinB﹣sinC＝2sinAcosC， 而sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC，于是sinC（2cosA﹣1）＝0， 又sinC≠0，则，而，解得，所以A的大小是． （2）由正弦定理得， ， 因为△ABC为锐角三角形，有， 则， 从而， ， 因此， 所以． 16．解：（1）证明：如图，在CD上取一点G，使得CG＝AE，连接AG，FG． 因为，且ABCD是平行四边形，所以，故FG∥PC． 又因为PC⊂平面PCE，FG⊄平面PCE，所以FG∥平面PCE． 因为ABCD是平行四边形，且CG＝AE，所以AECG是平行四边形，故AG∥EC． 又因为EC⊂平面PCE，AG⊄平面PCE，所以AG∥平面PCE． 因为AG∩FG＝G，且AG⊂平面AFG，FG⊂平面AFG，所以平面AFG∥平面PCE． 因为AF⊂平面AFG，所以AF∥平面PCE． （2）当E为AB中点，PD＝AD＝CD，∠BAD＝60° 时， 易知DE⊥CD，F为PD中点，又因为PD⊥平面ABCD， 则以D为坐标原点，DE，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设PD＝AD＝CD＝2， 则C（0，2，0），，F（0，0，1），P（0，0，2）， 所以，，， 设平面FCE与平面PCE 的法向量分别为（x1，y1，z1），（x2，y2，z2）， 则，， 不妨取，，则（，，3），（，，）， 所以cos，， 故二面角P﹣CE﹣F的正弦值为，二面角P﹣CE﹣F的正切值为． 17．解：（1）由题知，X的取值可能为1，2，3所以； ， 所以X的分布列为： X 1 2 3 P 所以数学期望为， （2）令，则，由题知：， 所以， 所以，， 故所求的回归方程为：， 所以，估计t＝6时，y≈11；估计t＝7时，y≈4；估计t≥8时，y＜0； 预测成功的总人数为450+11+4＝465， 证明：（3）由题知，在前n轮就成功的概率为 ， 又因为在前n轮没有成功的概率为 ， 故． 18．（1）解：f'（x）＝aeax﹣1（x＞0）． ①当a≤0时，f'（x）≤0，f（x）在（0，+∞）上单调递减． ②当a＞0时，，x＞0． ⅰ）若a≥1，则f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增． ⅱ）若0＜a＜1，令， 有，f'（x）＜0；，f'（x）＞0， ∴f（x）在上单调递减，在上单调递增． 综上：当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；当a≥1时，f（x）在（0，+∞）上单调递增： 当0＜a＜1时，f（x）在上单调递减，在上单调递增． （2）解：令． 记（x＞0）.． 易知x∈（0，e），h'（x）＞0；x∈（e，+∞），h'（x）＜0． ∴h（x）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减． 又，当x趋向于0时，h（x）趋向于﹣∞，当x趋向于+∞时，h（x）趋向于0， 故f（x）恰有一个零点时，a≤0或， 即a的取值范围是（﹣∞，0]∪{}． （3）证明：由（2）知． 由ax1＝lnx1，ax2＝lnx2， 作差可得． 所证不等式． 令（t＞1），则上不等式即．① 记（t＞1）， ， ∴F（t）在（1，+∞）上单调递增， ∴F（t）＞F（1）＝0．所以不等式①成立，故有lnx1+2lnx2＞3． 19．（1）解：由题可得，解得：， 所以C的离心率； （2）证明：（i）由对称性可知直线PQ的斜率不可能为0， 设P（x1，y1），Q（x2，y2），设PQ的方程为x＝ty+m， 由（1）知C的方程为，A（﹣3b，0），B（3b，0）， 联立方程组，化简得（t2+9）y2+2tmy+m2﹣9b2＝0， 则Δ＝4t2m2﹣4（t2+9）（m2﹣9b2）＝36（t2b2﹣m2+9b2）＞0，即m2＜t2b2+9b2， 所以，， 所以， 则 ， 解得m＝2b，则PQ的方程为x＝ty+2b， 即直线PQ过x轴上的定点（2b，0）； （ii）由（i）可知，bn+1＝2bn，又bn＞0，b1＝2， 所以{bn}是首项为2，公比为2的等比数列， 所以， 所以， 所以 ； 又， 所以； 综上，； 1 学科网（北京）股份有限公司 $