精品解析：甘肃古浪三中等校2026届高三第二学期第七次诊断考试数学试题

高三数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 3. 已知是夹角为的两个单位向量，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知等差数列共有10项，其所有奇数项和为60，所有偶数项和为80，则（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 5. 已知正方体的体积为，若球与该正方体的所有棱都相切，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知互不相等的正数满足，则下列关系式可能成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列的前项和，若，使得成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 小明在某超市购物后参加抽奖活动，活动如下：一个盒子中放有红、绿、蓝色的小球各一个，红球上标有数字5，蓝球和绿球上标有数字1，参与者必须有放回地抽取小球两次，每次可以抽取1个、2个或3个小球，若两次抽到的小球上的数字之和为7，则可以获得奖品，假设每种符合要求的小球组合被抽到都是等可能的，则小明获得奖品的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数中，最小正周期为，且在上单调递增的为（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的图象关于原点对称，则（ ） A. B. C. 函数存在两个零点 D. 的解集为 11. 已知抛物线的焦点为，准线，过点的直线与抛物线交于两点，过作抛物线的切线，点在上，过点作，垂足为，则（ ） A. B. 若的斜率为3，则 C. 线段互相垂直平分 D. 四边形的面积的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若双曲线过点且与双曲线有相同的渐近线，则的焦距为___________． 13. 某地区为了提升养老保障机制，组织相关的保险公司在该地区推广养老保险的相关产品，现在该地区随机抽取1名老人，其购买的养老保险产品的数量的所有可能取值为0，1，2，且，则___________． 14. 如图，在四边形中，，现沿进行翻折，使得点到达的位置，连接，得到三棱锥，记平面与平面所成的角为，平面与平面所成的角为，则的最大值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）若，求的极值； （2）若，且，使得，求实数的取值范围． 16. 某新能源汽车公司为研究电池容量对续航里程的影响，随机选取了10辆不同配置的车进行测试，测量每辆车的电池容量（单位：）和续航里程（单位：），得到如下数据： 样本号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 电池容量 35 40 45 50 55 65 70 75 80 85 600 续航里程 330 350 390 410 480 520 560 620 640 700 5000 并计算得． （1）估计这10辆车的平均电池容量与平均续航里程； （2）求电池容量与续航里程的样本相关系数；（精确到0.001） （3）现该公司计划推出新款车型，电池容量为，已知续航里程与电池容量近似成正比，利用以上数据给出新款车型续航里程的估计值．（精确到1） 附：相关系数． 17. 的内角的对边分别是，已知． （1）求； （2）若点在边上，为的平分线且长度为1，求； （3）若是边上的一点，且，求的面积的最大值． 18. 已知椭圆的离心率为，且经过点． （1）求的方程． （2）已知是的左、右顶点，是的短轴上的动点（与短轴端点和原点均不重合），点满足，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为（与不重合）． （i）证明：直线与轴相交于定点； （ii）当的面积最大时，求的值． 19. 已知四面体如图所示，其中两两互相垂直，，点满足，点在线段上． （1）求的面积． （2）已知直线与平面所成角的正弦值为． （i）求的值； （ii）过点的动平面分别交射线于点（均与点不重合），球与四面体的每个面都相切，则当球的体积最大时，求球的半径． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简两个集合，结合集合的补集和并集运算可得答案. 【详解】由，解得或，所以， 又，所以 2. 已知，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】依题意有 ， ，所以． 3. 已知是夹角为的两个单位向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意知， 所以 . 4. 已知等差数列共有10项，其所有奇数项和为60，所有偶数项和为80，则（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的偶数项的和与奇数项的和的性质可求答案. 【详解】设的公差为．依题意，，解得， 又，解得，则． 5. 已知正方体的体积为，若球与该正方体的所有棱都相切，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】已知正方体的体积为，则，则， 球为正方体的棱切球， 故其半径， 球的表面积为． 6. 已知互不相等的正数满足，则下列关系式可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简等式得到，作出函数图象，结合图象可比大小. 【详解】因为所以，整理可得． 令， 在同一直角坐标系中分别作出的图象， 因为互不相等，观察可知，当时，，当时，． 7. 已知数列的前项和，若，使得成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据与的关系，求得，，结合题意，将问题转化为求解的最大值，令，得，结合二次函数性质计算求解. 【详解】因为①， 所以当时，，解得， 当时，②， 由①-②可得，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，则， 故由，可得，其中③． 令，则， 由二次函数性质可知在上单调递增，在上单调递减， 当时，，当时，， 当时，，故③式最大值为120，则， 则实数的取值范围为. 8. 小明在某超市购物后参加抽奖活动，活动如下：一个盒子中放有红、绿、蓝色的小球各一个，红球上标有数字5，蓝球和绿球上标有数字1，参与者必须有放回地抽取小球两次，每次可以抽取1个、2个或3个小球，若两次抽到的小球上的数字之和为7，则可以获得奖品，假设每种符合要求的小球组合被抽到都是等可能的，则小明获得奖品的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】每次抽取小球的情况有种，先后两次共有种情况， 两次抽到的数字之和为7，第一次和第二次分别为 或时，共有 种； 分别为或 时，共有种，故所求概率． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数中，最小正周期为，且在上单调递增的为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】选项A：的最小正周期为， 单调递增区间为 ，满足在上单调递增，故A正确； 选项B： ，定义域为 且 ， 没有意义，最小正周期不是，故B错误； 选项C：的最小正周期为，在单调递减， 则在单调递减，故在单调递增，故C正确； 选项D：，最小正周期为， 在时，，函数在区间内先增后减，故D错误． 10. 已知函数的图象关于原点对称，则（ ） A. B. C. 函数存在两个零点 D. 的解集为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，利用奇函数性质恒成立求出参数和，对于B，利用函数的单调性确定在上单调递增，由此判断即可，对于C，令，通过函数零点的图象求法即可求解，对于D，由题意确定和在图象的右支上，列不等式组即可求解. 【详解】对于A，由题意知是奇函数．则， 即 ， 即 ， 整理得 ， 要使这个等式对定义域内所有都成立，则有 ，即，即，因为，所以， ，即，所以， 所以，故A错误； 对于B，由上知 ， 因为在上分别单调递增和单调递减， 故在上单调递增，故在和上单调递增， 故，故B正确； 对于C，令，得， 在同一直角坐标系中分别作出 的大致图象如图所示，观察可知，C正确； 对于D，或， 故D错误． 11. 已知抛物线的焦点为，准线，过点的直线与抛物线交于两点，过作抛物线的切线，点在上，过点作，垂足为，则（ ） A. B. 若的斜率为3，则 C. 线段互相垂直平分 D. 四边形的面积的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，运用坐标代数计算向量数量积，并结合抛物线定义将其转化为焦半径求解即可，对于B，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理与焦点弦公式计算即可，对于C，求出各点坐标，通过计算线段向量相等，即可求证四边形为菱形，其对角线互相垂直平分，对于D，将四边形分割为两个三角形并推导出关于动点横坐标的面积函数，结合导数即可求出最小值. 【详解】设，则，依题意，，则． 对于A，因为，点在上，故， 所以， 故A错误； 对于B，若的斜率为3，又，则直线的方程为， 联立，得，则， 故 ，故B正确； 对于C，由题可知，因为， 故在处的切线方程为，得，又， 所以，得，又， 所以四边形为菱形，其对角线互相垂直平分，故C正确； 对于，不妨设，由可知，与全等， 又，则， 所以 ， 设，则， 令，得，故在上单调递减，在上单调递增， 故当时，有最小值，为，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若双曲线过点且与双曲线有相同的渐近线，则的焦距为___________． 【答案】 【解析】 【详解】设，将代入可得， 则，焦距为． 13. 某地区为了提升养老保障机制，组织相关的保险公司在该地区推广养老保险的相关产品，现在该地区随机抽取1名老人，其购买的养老保险产品的数量的所有可能取值为0，1，2，且，则___________． 【答案】0.44## 【解析】 【分析】由题意结合均值的计算公式得关于的概率的方程组，再使用方差的计算公式即可求解. 【详解】设， 由题意得，解得， 故 14. 如图，在四边形中，，现沿进行翻折，使得点到达的位置，连接，得到三棱锥，记平面与平面所成的角为，平面与平面所成的角为，则的最大值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】作辅助线找出二面角的平面角，结合长度关系得到，根据和角公式和基本不等式可求答案. 【详解】如图，过点作，垂足为，连接，易知平面， 所以平面平面，则点在平面内的射影在直线上． 过点分别向引垂线，垂足分别为，连接，则四边形是矩形． 由于，且两直线在平面内， 所以平面，从而，因此，同理． 因此，从而， 则，由题易知， 故 ，当且仅当时等号成立，故的最大值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）若，求的极值； （2）若，且，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1）极小值为2，极大值为． （2） 【解析】 【分析】（1）求导得到导数零点，判断单调性，确定极值点并计算极值; （2）求导得出是函数在上的最大值点，将问题转化为最大值不小于并解不等式即可. 【小问1详解】 依题意，． 令，解得或． 故当时，单调递减； 当时，单调递增； 当时，单调递减． 所以的极小值为，极大值为． 【小问2详解】 依题意，．因为， 令，解得，当时，，单调递增， 当时，单调递减． 故当时，取得极大值，也是最大值， 则，即，整理得，解得， 故实数的取值范围为． 16. 某新能源汽车公司为研究电池容量对续航里程的影响，随机选取了10辆不同配置的车进行测试，测量每辆车的电池容量（单位：）和续航里程（单位：），得到如下数据： 样本号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 电池容量 35 40 45 50 55 65 70 75 80 85 600 续航里程 330 350 390 410 480 520 560 620 640 700 5000 并计算得． （1）估计这10辆车的平均电池容量与平均续航里程； （2）求电池容量与续航里程的样本相关系数；（精确到0.001） （3）现该公司计划推出新款车型，电池容量为，已知续航里程与电池容量近似成正比，利用以上数据给出新款车型续航里程的估计值．（精确到1） 附：相关系数． 【答案】（1）平均电池容量，平均续航里程． （2）0.995 （3） 【解析】 【小问1详解】 平均电池容量， 平均续航里程． 【小问2详解】 【小问3详解】 由样本数据，可知续航里程与电池容量的比值约为， 故新款车型续航里程的估计值为． 17. 的内角的对边分别是，已知． （1）求； （2）若点在边上，为的平分线且长度为1，求； （3）若是边上的一点，且，求的面积的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理对已知条件进行转换得到 ，从而得到； （2）利用为及三角形的面积公式即可得到的关系式，变形得； （3）根据已知条件得到，再利用数量积的运算律得到的关系式，最后运用基本不等式得到的最大值，从而得到的面积的最大值． 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理可得， 整理可得，由余弦定理可得 ，所以， 因为，故． 【小问2详解】 因为为的平分线，所以， 因为，即， 又因为，所以，故． 【小问3详解】 因为，所以，即， 所以， 即， 即，当且仅当即当时等号成立， 所以， 即面积的最大值为． 18. 已知椭圆的离心率为，且经过点． （1）求的方程． （2）已知是的左、右顶点，是的短轴上的动点（与短轴端点和原点均不重合），点满足，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为（与不重合）． （i）证明：直线与轴相交于定点； （ii）当的面积最大时，求的值． 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）． 【解析】 【分析】（1）根据离心率和所过点可求方程； （2）（i）根据直线和椭圆的方程求出的坐标，结合斜率关系可得定点； （ii）求出的面积表达式，利用导数可求答案. 【小问1详解】 设的半焦距为． 由离心率为，可得， 又经过点，所以，得． 故的方程为． 【小问2详解】 （i）由题意知． 因为，所以． 直线，与椭圆方程联立得， 则，又，所以， 从而，所以． 直线，与椭圆方程联立，得， 则，又，所以， 从而，所以． 若直线与轴相交于点， 则有，得， 因为，上式化简可得， 因此，直线与轴相交于定点． （ii）由题意知的面积为． 由对称性，不妨取，又因为，所以，所以． 令，则，解得（负值舍去）． 当时，， 当时，， 故当取最大值时，． 19. 已知四面体如图所示，其中两两互相垂直，，点满足，点在线段上． （1）求的面积． （2）已知直线与平面所成角的正弦值为． （i）求的值； （ii）过点的动平面分别交射线于点（均与点不重合），球与四面体的每个面都相切，则当球的体积最大时，求球的半径． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）． 【解析】 【分析】（1）使用余弦定理求出的余弦值，进而得到其正弦值，直接代入三角形面积公式即可求解； （2）（i）建立空间直角坐标系求出相关向量的模长与夹角正弦值，直接代入三角形面积公式即可求解；（ii）设球的半径为由共面关系结合内切球半径公式得到参数约束关系，最后借助基本不等式与导数求出半径的最值. 【小问1详解】 因两两互相垂直，， 则可得， 由余弦定理，，则， 故． 【小问2详解】 （i）以为坐标原点，，，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则,,则 ， 于是，． 设，则． 设为平面即平面的法向量， 则，令，则， 则直线与平面所成角的正弦值为， 解得，( 舍去)，即． （ii）球的体积最大时，球的半径最大． 设球的半径为． 由（i）可知，所以， 由于四点共面，故． ，四面体的表面积， 由勾股定理，可得， 由余弦定理，可得， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以（设）． 设，则， 当时，， 当时，令，即，解得， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以， 所以（当时取等号）， 故当球的体积最大时，球的半径为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $