第七章《相交线与平行线》复习题---平行线的拐点模型2025-2026学年人教版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦平行线拐点模型，通过基础应用、情境迁移到综合探究的三层设计，强化辅助线构造技能与角关系推理，培养几何直观与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一拐点模型（如“猪蹄模型”“M型”）|单选题1-3结合工程车、台灯等情境，巩固过拐点作平行线的基本方法| |中档|复杂拐点与实际应用|填空题11-15涉及多拐点角计算，解答题16-18探究静态位置下角关系，培养推理能力| |拔高|多拐点综合与动态探究|解答题19-26融入角平分线、动态点位置变化，如“折多次”模型推导，发展空间观念与创新意识|

第七章《相交线与平行线》复习题-一-平行线的拐点模型 一、单选题 1.在一个由工程车搭建的创意展览场景中，小明站在工程车旁边观察，发现从某个角度看， 工作篮底部AB与支撑平台CD平行，若∠1=30°，∠3=150°，则∠2的度数为() 工作篮史8 20 支撑平台 C A.60 B.50° C.40° D.30 2.汽车前灯的反光装置相当于凹面镜，如图，是汽车灯的剖面图，从位于O点的灯泡发出光 照射到凹面镜上反射出的光线BA,CD都是水平线，若∠ABO=40°，∠DCO=45°，则∠BOC的 度数为() -D A.90° B.85 C.70° D.95° 3.某公司研发了一款新型护眼台灯，其侧面结构示意图如下（台灯底座高度忽略不计），如 图所示，AB∥ED,经光学测试发现，当∠ABC=130°，∠BCD=120°时，光线效果最佳，求此 时灯臂CD与底座DE的夹角∠CDE的度数为() A B E D A.110° B.105° C.100 D.115 4.如图，已知AB//CD,则∠，∠B，∠？之间的等量关系为() A B B◇E D A.∠a+∠B-∠y=180° B.∠B+∠y-∠a=180°C.∠u+∠B+∠y=360°D.∠a+∠B+∠y=180° 5.如图所示，AB∥CD,则∠A+∠E+∠F+∠C等于() B E D A.180° B.360° C.540° D.720° 6.如图，将等腰直角三角形纸片ABC的直角顶点C放置在刻度尺的MN边上，点B落在尺子 的中点0刚好在尺子的边吧上，若1=25”，则2的废数是（) 内部，AB PO 平叫TM 12345678B9101112p A.10° B.15 C.20° D.25 7.如图，在△ABC中，∠A=29°，D为AB延长线上一点，过点D作DE∥BC.若∠D=46°，则 ∠C的度数是() A ⊙ E D A.13° B.15° C.17° D.23 8.如图，直线a∥b,则∠A的度数为() 34° - D B 人70° C b A.26° B.36° C.46° D.56° 9.如图，AB∥DC,BC∥DE,∠B=145°，则∠D的度数为() B C D E A.25° B.35° C.45° D.55 10.如图，AB∥EF,∠BCD=90°，那么图中角x,y,z的关系是() C◇ -F A.少=x+z B.x+y+z=180° C.x+y-2=1800 z+90°=y+x D. 二、填空题 11.如图，AB∥DE,∠ABC=80°，∠CDE=140°，则∠BCD的度数为 A- B D E 12.为增强学生体质，感受中国的传统文化，学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入 阳光特色大课间，小聪把它抽象成图2数学问题：已知AB∥CD,∠EAB=70°，∠ECD=100° ,则∠E=一· 图1 图2 13.如图，AB∥CD,已知∠B=66°，∠D=21°，则∠E= A D 14.某街道要修建一条管道，如图，管道从A站沿北偏东60°方向到B站，从B站沿北偏西 20°方向到C站，为了保持水管CE与AB方向-致，则∠BCE为。. E 北 北 B 15.如图，AB∥CD,∠A=25°，∠CDP=140°，则∠P= A D 三、解答题 I6.已知：AB‖CD,，点E在直线AB,CD外，连接AE,CE,探究∠A,∠C,∠AEC之间的 数量关系. -B D 图1 图2 图3 (1)如图1，过点E作EF/IAB,:ABICD,.EF ICD,∠A=∠AEF,∠C=∠CEF,则∠A, ∠C,∠AEC之间的数量关系为； (2)如图2，过点E作EF/IAB,猜想∠A,∠C,∠AEC之间的数量关系，并证明； (3)如图3，过点E作EF∥AB,直接写出∠A,∠C,∠AEC之间的数量关系为 17.如图I,AB∥CD,EOF是直线AB、CD间的一条折线. E B B A 2 M2 3 02 30N 2n-1> 30 54 2n F F 图1 图2 图3 (1)猜想∠1、∠2、∠3的数量关系，并说明理由， (2)如图2，将折-次改为折二次，若∠1=40°，∠2=60°，∠3=70°，则∠4=_。 (3)如图3，若改为折多次，直接写出∠1，∠2，∠3，…，∠2n-1,∠2n之间的数量关系：-· 18.【引入】在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线 来帮助解答，如图是一个“美味”的模型一“猪蹄模型”.如图1所示，AB∥CD，点E在直 线AB与CD之间，连接AE、CE,嘉琪想到了过点E作EF∥AB,证明：∠AEC=∠BAE+∠DCE. A B A E D 图1 图2 图3 图4 【思考】(1)当点E在如图2所示的位置时，其他条件不变.写出∠BAE,∠AEC,∠DCE 三者之间的数量关系并说明理由. 【应用】(2)如图3，延长线段AE交直线CD于点M,已知∠BAE=132°，∠DCE=118°，求 ∠MEC的度数. 【提升】(3)点E、F、G在直线AB与CD之间，连接AE、EF、FG和CG,其他条件不变， 如图4.若∠EFG=m°，则∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG=·（直接写出答案) 19.【问题初探】(1)数学活动课上，李老师给出如下问题：如图①，AB∥CD,点E在 AB,CD之间且点E在点A右侧，求证：∠AEC=∠BAE+∠DCE; 【类比分析】(2)李老师将图①进行了变换并提出了下面问题请你解答：如图②，AB∥CD, AB,CD ∠AEC,∠BAE,∠DCE 点E在之间且点E在点A左侧，猜想 之间的数量关系，并证明； AB∥CD,FD⊥CD 【学以致用】(3)如图③是超市的购物车，图④是其侧面示意图，已知 ∠ABE=70°，∠DFE=125° 通过测量得知 求∠BE的度数. 图① 图② 图③ 图④ 20.如图1所示，AB∥CD,点E是两平行线内部一点，EF交直线CD于点F,且∠E=90°； E A B F D 2入 C h2 F D 图1 图2 图3 (1)求∠1和∠2的数量关系.(2)若其他条件不变，点E在AB上方（如图2），则(1)中的关系 是否还成立？若成立，说明理由，若不成立，请写出正确的数量关系并解释.（③）若其他条件 不变，点E在AB下方（如图3），则(1)中的关系是否还成立？若成立，说明理由，若不成立， 请写出正确的数量关系并解释 21.如图1，AB∥CD,点E是直线AB和直线CD之间内一点，连结BE,DE,求证： ∠E+∠ABE+∠CDE=360° 沐沐同学的证明思路是：如图2，过点E作EF∥AB,这样EF把∠BED分成∠BEF与∠DEF,然 后分别证明∠BEF+∠ABE=180°，∠DEF+∠CDE=180°，因此可以证明 ∠BED+∠ABE+∠CDE=360° D 图1 图2 E 图3 图4 解答下列问题：(I)请选择与沐沐不同的解题思路，证明∠E+∠ABE+∠CDE=360°」 (2)如图3，已知AB∥CD,BE平分∠MBD,CE平分∠BCD,如果∠CBD=2∠E,求∠E的度数. (3)如图4， (以%以，点B是直线上两个定点，点C、D是直线“上两个定点，点 以N分别是直线，上动点，连结4M,MW,C,直接写出∠BM,∠MW,∠MC, ∠NCD四个角之间所有的等量关系. 22.点A,C,E在直线1上，点B不在直线1上，把线段AB沿直线1向右平移得到线段CD. 图1 备用图 图2 (I)如图1，若点E在线段AC上，求证：∠B+∠D=∠BED: (2)若点E不在线段AC上，试猜想并证明∠B,∠D,∠BED之间的等量关系； (3)在(1)的条件下，如图2所示，过点B作PB∥ED,在直线BP,ED之间有点M,使得 ∠ABE=∠EBM,∠CDE=∠EDM,同时点F使得∠ABE=n∠EBF,∠CDE=n∠EDF,其中n≥2L, 设∠BMD=m,直接写出∠BFD的度数（用含m,n的代数式表示)· 23.综合与探究 问题情境：如图l,已知AB∥CD,点P的位置在平行线AB,CD之间，连接PA,PC，,试探 究∠APC与∠A,∠C之间的数量关系， D 图1 图2 图3 探究发现：(1)以下是小宇的探索过程，请你结合图形仔细阅读，并完成填空. 解：如图1，过点P作PE∥AB :ABII CD(已知)，·PECD.∠A=∠APE,∠C=LCPE()· ∴.∠A+∠C= (等量代换)=∠APC, 即∠APC,∠A,∠C之间的数量关系是 (2)如图2，若∠PAB与∠PCD的平分线相交于点F,请直接写出∠AFC与∠APC之间的数量 关系 拓展延伸：(3)如图3，已知AB∥CD,若点P的位置在直线AB的上方，∠PAB与∠PCD的 平分线相交于点F,请问(2)中的结论还成立吗？请说明理由. 24.某学习小组发现一个结论：已知直线a∥b,若直线c∥a,则c∥b.他们发现这个结论运 用很广，请你利用这个结论解决以下问题： 已知直线AB∥CD,点P、Q分别在直线AB、CD上，连接PE、EQ. B B -B 一 图1 图2 图3 (1)如图1，点E在AB、CD之间，运用上述结论，探究∠PEQ、∠APE和∠CQE之间的数量关 系，并说明理由；(2)如图2，点E在AB、CD之间，PF平分∠BPE,QF平分∠DOE,当 ∠PE0=142°时，求出∠PF0的度数；(3)如图3，PF平分∠BPE,QH平分∠DQE,延长H0交 PF于点F,当∠PEQ=74°时，求出∠PFQ的度数. 25.综合与实践 【问题情境】在数学综合与实践课上，同学们以“一副直角三角板和两条平行线”为背景开 展数￥活动.已知直线，在直角三角枚4BC与DEF中，ABC=∠D8F=0,∠ACB=30 ∠EDF=∠EFD=45°， 【操作发现】(1）如图1，直角三角板18C的顶点B在和：之间，在绕点B转动三角板的过 程中，两直角超C分别与，交于点从儿三夹角分别是4系2，经过反发提作，发 现∠I和∠2之间存在固定的数量关系，这个数量关系是 【深入探究】(2)如图2所示，将图1中的三角板18C的直角顶点B放在上，4C与交于 点户，8C与的夹角为5,4C与的夹角为4，试探究和4的数量关系并说明理由。 【拓展延仲】(3)如图3，固定三角板DF,使边DF与直线重合，将三角板4BC固定点 C(点C在DE的延长线上)，且在两条平行线，4之间任意摆放，设4CD的度数为°，试 探究：在摆放的过程中，当x为何值时，三角板ABC的边AB与三角板DEF的一条边平行？直 接写出所有符合条件的x的值. B◇ VA 图1 图2 图3 26.综合与实践 【问题情境】在数学活动课上探索了平行线中的“拐点”问题 归纳模型：若AB∥CD,如图1“M”型和如图2铅笔型.试猜想∠BAE,∠DCE,∠AEC之间 的数量关系. 【独立思考】(1)如图1，∠BAE,∠DCE,∠AEC之间的数量关系是 (2)如图2，∠BAE,∠DCE,∠AEC之间的数量关系是 【问题迁移】(3)如图3，AB∥CD,AN,CN分别是∠BAM,∠DCM的角平分线，探索 ∠AMC,∠ANC之间的数量关系是 。 【联想拓展】如图4，已知直线AB,将一个含30°的直角三角板QCP,使顶点P落在直线AB 上，过点Q作直线MN,且满足 WQC+∠BPC=90° (4)请你探索直线MN与AB具有怎样的位置关系，并说明理由. 参考答案 一、单选题 1.A 解：如图，过∠2的顶点作直线1∥CD,1将∠2分成∠4和∠5， 工作篮四B C 1 D 支撑平台 ,AB∥CD,.1∥AB∥CD,.∠4=∠1=30°，∠5=180°-∠3=30°，∴.∠2=∠4+∠5=60°，故选： A. 2.B 解：过点O作OE∥AB, A --0 一D .AB∥CD,∴.OEI‖CD,∠AB0=40°，∠DC0=45°∴.∠BOE=∠AB0=40,∠EOC=∠OCD=45°， ∴.∠B0C=∠BOE+∠EOC=85°，故选：B. 3.A 解：过C作CK∥AB, A B E D ABI‖ED,.CK∥AB∥ED,∠BCK+∠ABC=180°，∠DCK+∠CDE=180°， .∠ABC=130°，∠BCD=120°，∴.∠BCK=50°，∠DCK=120°-50°=70°， .∠CDE=180°-∠DCK=110°故选：A 4.C 解：过点E作EF∥AB,则EF∥CD,如图， A F------------B-AE y C D .AB∥EF∥CD,∴.∠Y+∠FED=180°， ,∠ABE+∠FEB=180°，∠ABE=∠a,∠FED+∠FEB=∠B, .∠Y+∠FED+∠ABE+∠FEB=360°，∴.∠a+∠B+∠Y=360°，故选：C. 5.C 解：作EMI∥AB,FN∥AB, —B E L---------M --------N D ,AB∥CD,.AB∥EM/∥FN∥CD.∴.∠A+∠AEM=180°，∠MEF+∠EFN=180°，∠NFC+∠C=180° ∴.∠A+∠AEF+∠EFC+∠C=540°.故选：C. 6.C 解：如图，过点B作EF∥MN, 平TM， 0之34 E-- 68B901T12 --F 75 :NM∥QP,，EF∥NM∥QP,∠I=25°，∠EB0=∠BOP=∠1=25°， △ABC为等腰直角三角形，∠CBA=45°，∠2=∠CBE=∠CBA-∠EB0=20°，故选：C. 7.C 解：DE∥BC,∴∠CBD=∠ADE=46°， ∠CBD是△ABC的外角，∠A=29°，∴∠C=∠CBD-∠A=17°.故选：C. 8.B 解：如图，，a∥b,∴.∠ABE=∠C=70°， ∠A+∠ADB=∠ABE,∴.∠A=70°-34°=36°，故选：B. 34° D B Ea K70 C 一b 9.B AB∥DC,.∠B+∠C=180°， ∠B=145°，∴∠C=180°-∠B=35°，BC∥DE,∠D=∠C=35°.故选B. 10.D 解：如图所示，过C作CM∥AB,延长CD交EF于N, 则∠CDE=∠E+∠CNE,即∠CNE=y-z, ,CM∥AB,AB∥EF,∴.CM∥AB∥EF,∴.∠ABC=x=∠I,∠2=∠CNE, :∠BC0=90,1+22=0,x+y-2=0°.2+90=y+x 故选D. 二、填空题 11.40° 解：过C作CF∥AB, AB∥DE,CF∥AB,∴.CF∥DE,.∠B=∠BCF,，∠D+∠DCF=18O°， :∠ABC=80°，∠CDE=140°，.∠BCF=80°，∠DCF=180°-140°=40°， .∠BCD=80°-40°=40°，故答案为：40°； A B D -E 12.30° 解：如图，过点E作EF∥AB, D ∠EAB=70°，EF∥AB,.∠AEF=180°-∠EAB=110° AB∥CD,EFAB,.CDEF,∠CEF+∠ECD=180°， '∠ECD=100°，∴.∠CEF=180°-∠ECD=80°， ·∠AEC=∠AEF-∠CEF=110°-80°=30°，故答案为30°. 13.45 解：过点E作EF∥AB,如图， .EF∥AB,.∠BEF=∠B=66°， .EF∥AB,AB∥CD,.EF∥CD,∴.∠DEF=∠D=2I°， .∠BED=∠BEF-∠DEF=66°-21°=45°，故答案为：45. 14.100 解：如图所示， E C 北 北 为了保持水管CE与AB方向一致，则AD川BF,CE‖AB,由？题可得，∠A=60°，∠CBF=20°， .AD∥BF,∴.∠A+∠ABF=180°，∴.∠ABF=180°-∠A=120°， ∴.∠ABC=∠ABF-∠CBF=120°-20°=100°， 又CE∥AB,∴.∠BCE=∠ABC=100°，故答案为：100. 15.65°/65度 解：过点P作PE∥AB, A B E--- 2>p D .AB∥CD,.PE∥AB∥CD,∴.∠1=∠A=25,∠2=180°-∠CDP=40° ∴.∠APD=∠1+∠2=65°；故答案为：65°. 三、解答题 16.（1)解：ABIICD,EF‖AB,.EFCD .∴∠A=∠AEF,∠C=∠CEF,∴.∠A+∠C=∠AEF+∠CEF=∠AEC; (2)解：∠AEC+∠A+∠C=360°，证明如下： 同理（1)可得∠A=∠AEF,∠C=∠CEF,∴.∠A+∠C=∠AEF+∠CEF, :.∠AEC=360-∠4EF-∠CEF=360-∠4BF+∠CEF)=360-∠4-∠C,∠4BC+∠A+∠C=360； (3)解：ABICD,EF WAB,∴.EFICD,.∠A=∠AEF,∠C=∠CEF, .∠AEF-∠CEF=∠AEC,∴.∠A-∠C=∠AEC. 17.(1)解：猜想：∠2=∠1+∠3.理由：如图，过点0作MN∥AB. E B E B A 1 M32 --3>K M---002 G: J---27m土>L 37 4 丁2n F D CF D .AB∥CD,∴.MN∥AB∥CD,∴.∠I=∠EON,∠3=∠NOF, ∴.∠1+∠3=∠EON+∠NOF=∠EOF,即∠2=∠1+∠3. (2)解：如图，过N作NH∥AB,由(1)得：∠2=∠I+∠MNH, .∠1=40°，∠2=60°，∠3=70°，.∴.∠MNH=∠2-∠1=20°，∠HNF=∠3-∠MNH=70°-20°=50°， NH∥AB,AB∥CD,.NH∥CD,∴.∠4=∠HNF=50°； (3)解：1+∠3++∠2m-)=∠2+∠4+…+2m 理由：如图，过点K作KI∥AB,同理可得：∠I+∠QKI=∠2， 过点L作LJ∥IK,同理可得：∠IKG+∠GLJ=∠KGL, AB∥CD,K∥AB,LJ∥IK,∴.CD∥JL,∴.∠JLF=∠LFD, .∠I+∠QKI+∠IKG+∠GLJ+∠LF+=∠KGL+∠2+∠LFD+…, ∠1+∠3+.+∠(2n-1)=∠2+∠4+…+∠（2n) 18.解：(1)∠BAE+∠AEC+∠DCE=360°，理由如下：如图，过点E作EF∥AB, F D .∠BAE+∠I=180°，ABII CD,.EF CD,.∠DCE+∠2=180°， :∠BAE+∠1+∠2+∠DCE=180°+180°=360°，即∠BAE+∠AEC+∠DCE=360°； (2)由(1)可知：∠BAE+∠AEC+∠DCE=360°，∠BAE=132°，∠DCE=118°， .∠AEC=360°-132°-118°=110°，.∠MEC=180°-∠AEC=180°-110°=70°： (3)如图，过点F作MN∥AB,则MN∥AB∥CD, A F ---.W G D ∠BAE+∠AEF+∠NFE=360° 由(1)的结论得：∠FGC+∠DCG+∠NFG=360°， ∴.∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG+∠NFE+∠NFG=720°， :∠EFG=m°，∴∠NFE+∠NFG=360°-∠EFG=360°-m°， :.∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG=720°-（∠NFE+∠NFG)=720°-(360°-m)=360°+m° 19.(1)证明：如图1，过点E作EF∥AB,则∠BAE=∠AEF, B B B E M E D 图1 图2 图4 .AB∥CD,∴.EF∥CD,∴.∠DCE=∠CEF, ,∠AEC=∠AEF+∠CEF,∴.∠AEC=∠BAE+∠DCE; (2)如图2，过点E作EF∥AB,则∠BAE+∠AEF=180°， AB∥CD,∴.EF∥CD,∴.∠CEF+∠DCE=180°， :.∠BAE+∠AEF+∠CEF+∠DCE=180°+180°，即∠BAE+∠AEC+∠DCE=360°； (3)如图4，过点E作EM∥AB,过点F作FN∥CD, .∠BEM=∠ABE=70°，∠NFD+∠FDC=180°， :FD⊥CD,.∠FDC=90°，.∠NFD=180°-∠FDC=90°， .∠DFE=125°，∴.∠EFV=∠DFE-∠NFD=125-90°=35°， AB∥CD,.EM∥FN,∴.∠FEM=∠EFN=35°，∴.∠BEF=∠BEM+∠FEM=70°+35°=10S°. 20.(1)解：证明：如图，过点E作EM∥AB,∴.∠BEM=∠I, A 19 B --M 2入 C FD 又：AB∥CD,.EM IICD,.∠MEF=∠2，∴.∠I+∠2=∠BEM+∠MEF=∠BEF, .EF⊥BE,∴.∠BEF=90°，∴.∠I+∠2=90°. (2)解：结论不成立，∠2-∠1=90°.证明：如图， ---W A C F D 过点E作EN∥AB,则∠BEN=∠I. 又AB∥CD,∴.EN∥CD,则∠NEF=∠2，∴.∠2-∠I=∠NEF-∠BEN=∠BEF, EF⊥BE,∴.∠BEF=90°，∴.∠2-∠1=90° (3)解：结论不成立，∠1-∠2=90°.证明：如图， A B FD E G 过点E作EG∥CD,则∠GEF=∠2.又.AB∥CD, .EG∥AB,则∠BEG=∠I,∴.∠1-∠2=∠BEG-∠GEF=∠BEF, .EF1BE,∴.∠BEF=90°，.∠1-∠2=90°. 21.(1)证明：过点B,作BV∥E交CD于点N. A B 3 C分 D .AB∥CD,∴.∠1=∠3，.BN∥DE,.∠1+∠D=180°，∠2+∠E=180°， ∴.∠1+∠D+∠2+∠E=360°，.∠3+∠D+∠2+∠E=360°，即∠E+∠ABE+∠CDE=360°. (2)解：过点E作FN∥AB,.∠2=∠5 B M 6 4 GC D AB∥CD,∴.FN∥CD.∠4=∠6， .BE平分∠MBD,CE平分∠BCD∴.∠1=∠2，，∠3=∠4，∴.∠BEC=∠5+∠6=∠2+∠4， AB/CD,.∠ABC=∠3+∠4=2L4, ∠ABC+∠CBD+∠MBD=180°，∴.2∠4+∠CBD+2∠2=180°， :2C80=2∠8C=222+24到，：424+∠2=180,124+22=45，即∠8c=45° (3)解：分下列4种情况：情况1：如图1，根据题意可知：AB∥EF∥GH∥CD, ∴.∠MAM+∠AMF=180°，∠FMN+∠MNH=180°，∠HNC+∠NCD=180°， ∴.∠MAM+∠AMF+∠FMN+∠MNH+∠HNC+∠NCD=540° 即∠BAM+∠AMN+∠MNC+∠NCD=540° 情况2：如图2，根据题意可知：AB∥EF∥GH∥CD, ∴.∠BAM+∠AMF=18O°，∠FMN=∠MNG,∠GNC=∠NCD,∠HWC+∠NCD=180°， ∠BAM+Z4N-∠MN=I80e,∠BM+Z4MN-(∠MNC-∠GNG=180, :∠B1M+∠AMN-(∠MC-ZCD)=180,A∠BAM+∠MN-∠NC+∠NCD=180 情况3：如图3，根据题意可知：AB∥EF∥GH∥CD, .∠BAM=∠AME,∠EMN=∠MNH,∠HNC+∠NCD=l80°， .∠HNC=∠MNC-∠MNH,=∠MNC-∠EMN=∠MNC-(∠AMN-∠AME =∠MNC-(∠AMN-∠BMM=∠MNC-∠AMN+∠BAM,.∠MNC-∠AMN+∠BMM+ZNCD-=I8O 情况4：如图4，根据题意可知：AB∥EF∥GH∥CD, ∴.∠BAM=∠AME,∠EMN+∠MWG=I80°，∠GNC=∠NCD, '.∠EMN=∠AMN-AME=∠AMN-∠BAM,∠MNG=∠MNC-∠GNC=∠MNC-∠NCD, ∴.∠AMW-∠BAM+∠MNC-∠NCD=180° B EM EM G N H 图1 图☒2 E M M 图3 图4 22.(1)证明：如图1中，过点E作ET∥AB.由平移可得AB∥CD, E 图1 图2-1 ,AB∥ET,AB∥CD,∴.ET∥CD∥AB,∴.∠B=∠BET,∠TED=∠D, ∴.∠BED=∠BET+∠TED=∠B+∠D; (2)解：当点E在CA的延长线上时，∠BED=∠D-∠B;当点E在AC的延长线上时， ∠BED=LB-∠D，,理由如下：如图中，当点E在CA的延长线上时，过点E作ET∥AB. .AB∥ET,AB∥CD,∴.ET∥CD∥AB,.∠B=∠BET,∠TED=∠D, ∴.∠BED=∠TED-∠BET=∠D-∠B. 如图中，当点E在AC的延长线上时，过点E作ET∥AB. 图2-2 图2 .AB∥ET,AB∥CD,∴.ET∥CD∥AB,∴.∠B=∠BET,∠TED=∠D, ∴.∠BED=∠BET-∠TED=∠B-∠D, 综上所述：当点E在CA的延长线上时，∠BED=∠D-∠B;当点E在AC的延长线上时， ∠BED=∠B-∠D: (3)解：如图，设∠ABE=∠EBM=x∠CDE=∠EDM=y, AB∥CD,∴.与(1)同理可得：∠BMD=∠ABM+∠CDM, ∴m=2x+2y,K+y2m,:∠ABE=MEBF,∠CDE=n4EDF, :∠ABF="∠ABE="x,∠CDP="∠CDE=", n n n n 又与(1)同理可得：∠BFD=∠ABF+∠CDF, :∠BFD-nx+"y=n-马x+-"=xm=mn- n 2 2n 23.解：(1)解：如图1，过点p作PE∥AB :ABI CD(已知)，PECD.∠A=∠APE,∠C=∠CPE(两直线平行，内错角相等)· ∴∠A+∠C=∠APE∠CPE (等量代换)=∠C 即∠APC,∠A,∠C之间的数量关系是∠A+∠C=∠APC. ∠APE∠CPE∠A+∠C=∠APC 故答案为：两直线平行，内错角相等， (2)如答图，过点P,点F分别作PM∥AB,FN∥AB & M δ AF,CF分别平分∠PAB和∠PCD,∴∠PAF=∠FAB,∠PCF=∠FCD. PM//AB,AB∥CD,.PM∥CD..∠MPA=∠PAB=2∠FAB,∠MPC=∠PCD=2∠FCD. ∴.∠APC=∠MPA+∠MPC=2∠FAB+2∠FCD=2(∠FAB+∠FCD) 'FN∥ABAB∥CD∴.FN∥CD.∠NFA=∠FAB,∠NFC=∠FCD ∠1C=∠FA+∠NC=∠FAB+∠CD.∠AC=2∠iB+∠FC0,∠Ac-c. (3)第(2)问中的结论仍然成立，理由如下：如答图，过点P,点F分别作PM∥AB, FN∥AB. M.P A B D :AF,CF分别平分∠PAB和∠PCD,∴.∠PAF=∠FAB,∠PCF=∠FCD」 :PM//AB,AB∥CD,∴PM∥CD.∠MPA=∠PAB=2∠FAB,∠MPC=∠PCD=2∠FCD. ∴.∠APC=∠MPA-∠MPC=2∠FAB-2∠FCD=2(∠FAB-∠FCD :FN∥ABAB∥CD∴FN∥CD∴.∠NFA=∠FAB,∠NFC=∠FCD ∠AFC=∠NA-∠NFC=∠FaB-∠FCD.∠APC=2∠FAB-∠FCD),∠AC-∠APC】 2 24.(1)解：∠PEQ=∠APE+∠CQE,理由如下： A B --------H —D 过点E作EH∥AB·∠APE=∠PEH, EH∥AB,AB∥CD,.EHCD,.∠CQE=∠QEH ·∠PEQ=∠PEH+∠QEH,∴.∠PEQ=∠APE+∠CQE】 (2)过点E作EM∥AB,过点F作NF∥AB,如图， B 0 -D 由(1)同理可得，∠PEQ=∠APE+∠CQE=142°，∠PFQ=∠BF+∠Dr, :∠BPE=180°-∠APE,∠EQD=180°-∠CQE,.∠BPE+∠EQD=360°-（∠APE+∠CQE)=218°， :m平分/BPE,Qr平分∠EOD∴∠BPF=<BPE,∠D0F-)<E0D 2 ∠BnPF+∠DQF-∠BnE+∠B0D)=109,∠PF0=∠BPr+∠D0r=109. (3)过点E作EM ICD,过点F作NF∥AB,如图， 由(1)同理可得，∠PFQ=∠PF+∠D, P 一B N- Q —D 有∠CQE=∠QEM,设∠CQE=∠QEM=a,∴.∠DQE=180°-a, ∠PEM=∠PEQ+∠QEM=74°+a, :QH平分0E,∴∠D0H=5D0E=900,A∠r0D=180-∠D0n=0°+ :EM∥CD,AB∥CD,AB∥EM,∴.∠BPE=180°-∠PEM=180°-(74°+a)=106°-a pe平分∠EF-aPE=3女， P0-∠BPF+∠D0F=58r-0+w+ 2a=1430 25.解：(1)数量关系为：1+2=0°，过点B作 T∥L B -13 图1 44,44BT,:1=∠3,2=4 .∠1+∠2=∠3+∠4=∠ABC=90°，∴.数量关系为：∠1+∠2=90°； (2)羲量关系为：43=30°，过点C作PQ4, P.---- O B 3 c 2h B 图2 M D 44,kPQ,∠PCB=∠3∠PCA=4 ∠ACB=30°=∠PCA-∠PCB,.∠4-∠3=30°，.数量关系为：∠4-∠3=30°； (3)①当B∥EF时，：∠ABC=∠DEF=90°，即BC L AB,DE LEF ,即 :AB∥EF,CB∥DE,又：点C在DE的延长线上 ∴.点CB,E,D在同-条直线上，.∠ACD=∠ACB=30°，x=30: ②当AB∥DF时，AB∥DF.AB∥MN,又PO∥MN,.AB∥PO∥MN, P C1，P Bh M D .∠DCQ=180°-∠CDF=180°-45°-135°，∠ACQ=∠BAC=60°， .∠ACD=∠DC0-∠4CQ=135-60°=75°，.x=75; ③当AB∥DE时，∴.∠BCD=∠ABC=90°，.∠ACD=∠BCD+∠ACB=90°+30°=120°，∴.x=120; 综上，在摆放的过程中，当x=30或75或120时，三角板ABC的边AB与三角板DEF的一条边平 行 26.解：(1)如图1，过E作EH∥AB, B A B B 1--------B 一D 一D 图1 图2 图3 AB∥CD,∴.EH∥AB∥CD,∴.∠AEH=∠BAE,∠CEH=∠DCE, ∴.∠ACE=∠AEH+∠CEH=∠BAE+∠DCE,故答案为：∠ACE=∠BAE+∠DCE; (2)如图2，过E作EH∥AB, .AB∥CD,∴.EH∥AB∥CD,.∠AEH+∠BAE=180,∠CEH+∠DCE=18O°， ∴.∠ACE=∠AEH+∠CEH=180°-∠BAE+I80°-∠DCE, ∴.∠ACE+∠BAE+∠DCE=360°，故答案为：∠ACE+∠BAE+∠DCE=360°； (3)如图3，.'AN,CN分别是∠BAM,∠DCM的角平分线，∴. ∠BAM=2∠BAN,∠DCM=2∠DCN 由(1)得∠ANC=∠BAN+∠DCN,由(2)得∠AMC+∠BAM+∠DCM=360°， .∠AMC+2∠BAW+2∠DCN=360°，则∠AMC+2∠ANC=360°，故答案为：∠AMC+2∠ANC=360°； (4)MN∥AB,理由：如图4，过C作CK∥AB,则∠BPC=∠PCK, M------ ----.W K.----- C B 图4 .∠PC0=90° ,∠PCK+∠QCK=90° 又∠N0c+BPC=90r,:∠0CK=∠0C,:CK∥MN,:.MN/AB