21.3《特殊的平行四边形》复习题--最值模型之逆等线模型 2025-2026学年人教版八年级数学下册

21.3《特殊的平行四边形》复习题--最值模型之逆等线模型 一、单选题 1．如图，在菱形中，，，点E和点F分别在边和边上运动，且满足，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D．6 2．如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别是BC，CD边上的动点，并且满足，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 二、填空题 3．如图，在边长为5的菱形中，，，分别是，上的动点，，连接，，则的最小值为 ． 4．如图，正方形边长为3，点，分别是边，上的动点且，作于点，则的最小值是 ． 5．如图，正方形的边长为6，O为对角线的中点，E，F分别为边，上的动点，且，连接，，则的最小值为 ． 6．如图，在边长为8的菱形中，点为边上的动点，且，连接，若菱形面积为，则的最小值为 ． 7．如图，在平面直角坐标系中，是矩形的顶点，点在边上、点在边上，且，当最小时，点坐标为_______． 8．如图，矩形中，，，点F是矩形内部一个动点，E在上，且，当时，则的最小值为 ． 9．如图，在矩形中，，点、分别是、上的动点，，连接、，则的最小值为 ． 10．在边长为的正方形中，点分别是上的动点，且，则的最小值为 ． 11．菱形中、，，、分别是边和对角线上的动点，且，则的最小值为 ． 12．如图，在矩形中，，，E是边上一动点，F是对角线上一动点，且，则的最小值为 ． 13．如图，已知正方形的边长为6，O为对角线的交点，，分别是边，上的动点，且，连接，． （1）若射线，则 ；（2）的最小值为 ． 三、解答题 14．菱形中，F是对角线上一动点，E为射线上一动点，．(1)如图1，点E在点D右边，当时，与的大小关系为________；________度． (2)如图2，若点B，E，F三点共线，且于E，四边形和∆BCF面积分别记为，，，求． (3)如图3，若，求当________度时，的最小，最小值是________． 15．【问题探究】 (1)如图，在矩形中，点分别在边上，，连接，过点作，交的延长线于点，若，求的长； (2)如图，在菱形中，连接，点分别是边上的动点，连接，点分别是的中点，若，，求的最小值； (3)【问题解决】如图，叔叔家有一个正方形菜地，他计划对其进行改造，为菜地内一动点，且，为的中点，点分别为边上的动点，在改造的过程中始终要满足，为的中点，他计划在三角形区域内种植茄子，在三角形区域内种植西红柿，其余区域内种植辣椒，并分别沿修建灌溉水渠，经测量，米，为了控制成本，要求灌溉水渠的总长度尽可能的短，若不考虑其他因素，求灌溉水渠总长度的最小值． 16．问题提出 （1）如图1，在矩形中，，点P是矩形内一动点，且，则的最小值为______； 问题探究（2）如图2，在菱形中，，E，F分别是边上的两个动点，且，连接，求证：； 问题解决（3）如图3，某小区计划在一片足够大的空地上修建四边形的花园，其中米，，．根据要求，现计划给该花园修建两条笔直的绿色长廊，且绿色长廊的入口定为点D，出口E、F分别设在边和边上，且，为了节省成本，要求绿色长廊之和最短，试求的最小值．（长廊宽度忽略不计） 17.【问题呈现】小明在做一道数学题时遇到了一个问题：如图①，在等腰直角∆ABC中，，，分别是边上的两个动点，，连结，试探究的最小值． 【问题分析】小明通过构造全等三角形，将双动点问题转化为单动点问题，利用三点共线，将上述问题解决． 【问题解决】如图②，过点作，且，连结；在【问题呈现】的条件下，完成下列问题：（1）证明：；（2）的最小值为____________． 【方法运用】如图③，在菱形中，，分别是边上的两个动点，．连结，则的最小值为__________． 【拓展迁移】如图④，在等边∆ABC中，是高，点在线段上，点在边上，，连结，若，则的最小值为__________． 参考答案 一、单选题 1．A 解：连接，作点A关于的对称点H，连接，交于N，连接，如图所示： ∵四边形为菱形，∴，，∴， ∵，∴∴，∴∆ABC是等边三角形， ∵点A，点H关于对称，∴，，∴， 又∵∆ABC是等边三角形，∴，， ∴， ∵，，∴，又∵∴， ∴，∴， ∴当点F，点D，点H三点共线时，的最小值为的长， ∵，∴，∵，∴， ∴，即的最小值为4．故选：A． 2．C 解：连接DE，根据正方形的性质及BE=CF，∴DF=CE，AD=CD， ∴△DCE≌△ADF（SAS），∴DE=AF，∴AE+AF=AE+DE， 作点A关于BC的对称点A′，连接BA′、EA′，则AE=A′E，即AE+AF=AE+DE=A'E+DE， 当D、E、A′在同一直线时，AE+AF最小，AA′=2AB=4， 此时，在Rt△ADA′中，DA′=，故AE+AF的最小值为．故选：C． 二、填空题 3． 解：如图，过点作，使，连接，，则，． ∵菱形的边长为5，∴．∵，∴． ∴．∴．∴． 在和中，，∴．∴． ∴．即．∴的最小值为．故答案为：． 4． 解：如图，延长交的延长线于，连接， ∵正方形，∴，， ∵，∴， ∵，∴，∴，∴， 当三点共线时最短，∵正方形边长为3， ∴，而，∴的最小值为：；故答案为： 5． 解：延长，使得，连接，，，过点O作于点H，如图所示： ∵四边形为正方形，∴，，，∴， ∵O为的中点，∴，∵，，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴垂直平分，∴，∴， ∴当、E、G三点共线时，最小，即最小， ∵，∴，∵，∴为等腰直角三角形， ∴，∴，∴， ∴，∴最小值为．故答案为：． 6． 解：作点C关于的对称点G，连接交于点H，连接，，， 则，，，∵，∴， ∵，，∴，解得：， ∴，， 在和中，∴（），∴， ∴，∴当点E在线段上时，取得最小值．故答案为：． 7． 解：连接，取点关于对称点，连接，，与交于D/， ∵矩形中，∴，， 又∵，∴四边形是平行四边形，∴， ∵点是点关于对称点，∴，，点，∴， ∴当、、三点在同一直线上时，最小，即与重合， ∵，，∴直线解析式为，当时，， 即当最小时，点坐标为．故答案为． 8． 解：如图，在上截取，连接，， 在和中，，∴， ∴，∴，当且仅当C、F、G三点共线时取等号， ∵，，∴，∵，∴， ∵四边形是矩形，，∴，， 在中，，∴的最小值为，故答案为：． 9．17 解：在的延长线上取一点，是，连接，，如图所示： 四边形是矩形，且，， ，，，， 在和中，，， ，，当为最小时，为最小， 根据“两点之间线段最短”得：，的最小值为线段的长， 当点，，共线时，的值为最小，最小值为线段的长， 在中，，， 由勾股定理得：，的最小值是17．故答案为：17． 10． 解：如图，延长至，使得，连接， ∵四边形是正方形，∴，， ∵，∴，∴， ∵，∴当三点共线时，最小，即有最小值为长，如图， ∴，∴最小值为，故答案为：． 11． 解：在的下方作，使，连接，如图所示： ∵四边形是菱形，， ∴， 在和中，，∴， ∴，∴，∵， ∵，∴，∴， ∵，即，∴的最小值为,故答案为：． 12． 解：延长到，使，连接，， 四边形是矩形，∴，，，．． ，，．，， 当点、、共线时，最小，最小值为的长．最小值为． ∵∠BAD=90∘，．在Rt∆GDC中，，， ．最小值为．故答案为：． 13． 解：（1）延长交于点，作于点， ∵正方形，∴，， ∴四边形是矩形，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵正方形，∴，，∴，， ∴，∴，∴，∴； （2）解：延长交于点，延长，使得，连接，，，过点O作于点H，如图所示：由（1）得，∴，， ∵，∴，∵四边形为正方形， ∴，，， ∴，∵O为的中点，∴， ∵，，∴，∵，∴，∴， ∵，，∴垂直平分，∴，∴， ∴当、F、G三点共线时，最小，即最小， ∵，∴，∵，∴为等腰直角三角形， ∴，∴，∴， ∴，∴最小值为．故答案为：． 三、解答题 14．（1）解：∵菱形，∴∆BCF和∆CDF关于对称， ∴，，， ∵，∴，∴， ∵，∴，即． ∴．故答案为：=；116． （2）解：在中，， 如图：连接，由对称性可知：，设，则：， 在中，由勾股定理，得：，解得：，∴， 由（1）可知，．∴． （3）解：如图：过点D作，截取，连接． ∵菱形，∴，∵，∴为等边三角形，即， ∵菱形，∴垂直平分，∴， ∵，∴． 在和中，，∴．∴． 由于B、G两点为定点，E为动点，当点E在线段上时，最小，即最小． ∵，∴， 又∵，∴为等腰直角三角形，∴， 当最小时，．故答案为：75；． 15．（1）解：如图，∵四边形是矩形，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴的长为； （2）解：如图，连接，连接，与交于点， ∵点分别是的中点，∴是中位线，∴， ∴当时，最小，从而最小，如图， ∵四边形是菱形，∴，，， ∴，∴，∴， ∵，∴， ∴，即最小值为，∴的最小值为； （3）解：如图，取的中点，作射线，交延长线于，在的延长线上截取，连接，， ∵四边形是正方形， ∴，，米， ∵，，∴，， ∴，四边形是平行四边形， ∵，∴四边形是矩形，∴，米， ∴，，∴，即， ∵，∴，∴（米）， ∵，，， ∴，∴，∴， ∴三点共线，且时，最小，即长，如图，∴， ∵，∴，∴，由勾股定理得：， ∴，∴， ∵为的中点，米，∴米，∴米，∴米， ∴（米），∴（米）， ∴灌溉水渠总长度的最小值为米． 16．（1）解：连接， ∵四边形是矩形，∴，，∴， ∵，∴点P到的距离相等，∴点P在线段的垂直平分线上， ∴∴，当点共线时取得最小值， 此时，即的最小值为；故答案为： （2）∵四边形是菱形，∴，， ∵，∴∆ABC是等边三角形，∠BCD=180∘-∠B=120∘， ∴，，∴∠ACF=∠B=60∘，又∵，∴，∴； （3）∵，∴四边形是矩形， ∵，∴四边形是正方形，∴，连接，    ∵，∴，∵，∴， ∴，∴，延长到点G，使得，连接，， ∵，∴点D和点G关于成轴对称，∴，∴， ∵，当点C、E、G三点共线时，取得最小值，即是的长， 在中，，∴， 即的最小值为，∴的最小值为． 17.（1）证明：∵过点作，使，连接．∴． ∵，∴． （2）解：连接，过点F作，交延长线于点G．则． ∵，，∴． ∴．∴．∴． ∵，，∴． ∴．∴． ∵，∴．∴． ∴的最小值为．故答案为：． [方法运用]连接，设交于点O． ∵菱形中，，， ∴∆ABC与都是等边三角形．∴．， ∵，∴．∴． ∴．∴的最小值是的长． ∵，∴．∴． ∴．∴的最小值是．故答案为：． [拓展迁移]过点A作，使，连接．则． ∵，∴．∴．∴． ∴的最小值是线段的长．∵，∴．∴． ∵等边∆ABC中，，∴．∴． ∴的最小值是．故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $