5.2 课时1 等腰三角形的对称性及性质-【初中必刷题】2025-2026学年七年级下册数学同步课件(北师大版·新教材)

该初中数学课件聚焦等腰三角形（对称轴、底角相等、三线合一）及等边三角形性质，通过实际问题（如都梁阁建筑、三等分角仪）导入，从基础定义到综合应用再到素养探究，构建递进式学习支架。 其亮点是分层设计（刷基础、提升、素养），融入生活实例（如平行线中的等边三角形），通过分类讨论（等腰三角形内角）和几何分割（45°等腰三角形分三个小等腰）培养几何直观、推理意识与创新意识。帮助学生巩固基础提升思维，为教师提供分层教学资源，提高教学效率。

数 学 七年级下册 BS 1 2 3 第五章 图形的轴对称 4 2 简单的轴对称图形 课时1 等腰三角形的对称性及性质 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 等腰三角形的对称轴 1.【2025山东淄博质检】等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是( ) D A.过顶点的直线 B.腰上的中线所在的直线 C.腰上的高所在的直线 D.顶角的平分线所在的直线 【解析】等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线.故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 知识点2 等腰三角形的两个底角相等 2.【2025福建厦门质检】在中，， ，则 的度数是 ( ) C A. B. C. D. 【解析】在中，，所以.因为 ，所以 ， 故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 3.若等腰三角形的一个角是 ，则它的底角度数是( ) C A. B. C. 或 D. 或 【解析】分两种情况：底角为 和顶角为 .当等腰三角形的顶角为 时，它 的底角度数为 ，所以它的底角度数是 或 ．故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 关键点拨 已知等腰三角形的一个内角，在未指明是顶角还是底角的情况下，求其余两角度 数需分两种情况进行讨论. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4.【2024湖北随州曾都区期末】“三等分角”是古希腊三大几何 问题之一.如图是一个“三等分角仪”，这个“三等分角仪”由两 根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动， 点 24 【解析】因为 ，所以 .因为 ，所以，.设 ，则 ，易得，所以，所以 ，解 得 ，即 .故答案为24. 固定，，点，可在槽中滑动，若 ，则____ . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 知识点3 等腰三角形的“三线合一” 5.【2024江苏淮安调研】盱眙都梁阁设计理念先进，建筑造型美观，鲜明地秉承 了明清南派建筑风格．自下而上108级台阶，与杨大山山体108米海拔相呼应，楼 高46.9米，寓意事事如意、长长久久.如图，“都梁阁”的顶端可看成等腰三角形 ，，是边上的一点．下列条件不能说明是 的角平分线 的是( ) C A. B. C. D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 【解析】因为， ，所以 ，所以是的高线.又因为，所以 是 的角平分线，故A选项不符合题意.因为,，所以 是 的角平分线，故B选项不符合题意.根据，不能说明是 的 角平分线，故C选项符合题意.因为，所以，所以 是 的角平分线，故D选项不符合题意.故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 13 6.【2024安徽合肥期末】如图，是的中线，是 的角平分线.若 ， ，则 ____. 【解析】因为是的中线，，所以， . 因为 ，所以 ，所以 .因为是 的角平分线，所以 .故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 14 思路分析 先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，求出 ， ，再利用角平分线的定义即可得出 ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15 知识点4 等边三角形的性质 （第7题图） 7.如图，在等边中，为边上的中点，以为圆心， 长 为半径画弧，与边交于点，连接,则 的度数为( ) C A. B. C. D. 【解析】在等边中， ,为 边上的中点，所以 .在中， ，所以 .因为 ，所以 ，故选C． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 16 （第8题图） 8.【2025湖南郴州质检】如图，，等边顶点, 分别 在，上， ，则 的度数为____. 【解析】如图,记的边与的交点为.因为 ，所以 .因为 是等边三角形，所以 ，所以 ，故 答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 17 9.如图，等边，在，边上各取一点，分别为， ，使 ，连接，相交于点，求 的度数. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 18 【解】因为是等边三角形，所以， . 在和中， 所以,所以 ,所以 , 所以 , 所以 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 提升 （第1题图） 1.【2025湖北武汉中考】如图，在中，，是边 上的点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边 上. 若 ，则 的大小是( ) C A. B. C. D. 【解析】因为，所以.因为 ，且 ，所以 ，所以 .因为将 沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上，所以 ，所以 ，所以 ，故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 20 （第2题图） 2.【2025江西抚州期末，中】如图，点，， 在一条直线上， 和是等边三角形，连接和交于点，则 的 度数为( ) B A. B. C. D. 【解析】因为,为等边三角形，所以 ， ，，所以.在和 中， 所以，所以 .因为 ，所以 ，所以 .故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 21 3.【2024浙江杭州校级期中，中】如图， 是等边三角形， 是线段上一动点（不与点，重合），连接，点， 分 别在线段，的延长线上，且，点从 运动 到的过程中， 周长的变化规律是( ) D A.不变 B.一直变小 C.先变大后变小 D.先变小后变大 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 22 【解析】因为是等边三角形，所以 ，所以 .因为，所以 .又因为 ， ，所以 .因为，所以，所以.在 和 中，所以，所以 ，所以 的周长为.因为在点从 运动 到的过程中，长不变，的长先变小后变大，其中当点运动到 的中点位 置时，最小，所以在点从运动到的过程中， 周长的变化规律是先变 小后变大，故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 23 4.［中］定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值 称为这个等腰三角 形的“特征值”.若在等腰三角形中， ，则它的特征值 _____. 或 【解析】①当为顶角时，等腰三角形两底角的度数为 ，所以特 征值；②当为底角时，顶角的度数为 ，所以 特征值.综上所述，特征值为或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 24 关键点拨 本题中已知的度数，要分 是顶角和底角两种情况进行讨论，以免造成答案的 遗漏. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 25 5.【2024吉林省吉林市期末，中】问题背景：如图，在中， ．在 的延长线上取点，，作，使 ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 26 （1）探究一：当 时． ①若 ，求 的度数； 【解】因为，所以.因为 ，所以 .因为 ， ，所以 ， .易得 ，所以 ，所以 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 27 ②若 ，则的度数用含 的式子表示为_ ________， 的度数为____． 【解析】因为，所以.因为 ， ，所以 .易得 ，所以 因为，所以 .因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 .故答案为 ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 28 （2）探究二：若 ，直接写出 的度数． 【解】 .设 ，则 ， ，所以 .因为 ，所以,易得 ,所以 ，所以 ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 29 关键点拨 （2）设 ，根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质即可得到结论. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 30 刷素养 走向重高 6.核心素养 几何直观［较难］如图（1），用两条线段（虚线），将一个顶角为 的等腰三角形分成了三个小等腰三角形，并标出了三个小等腰三角形顶角的度数. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 31 （1）请你仿照图（1）的方法，在图（2）中，用两种不同的分割方法将顶角为 的等腰三角形分成三个小等腰三角形. 【解】如图（1）所示.（作法不唯一） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 32 （2）在中， ，请用线段和（点在边上，点在 边上） 将分成三个小等腰三角形，且, . ①试仿照图（1），在备用图中，画出示意图； 【解】如图（2）和图（3）. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 33 ②求出 的所有可能度数. 【解】当 时，如图（2）. 因为，，,所以， , , 所以 , 同理得 , 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 34 所以 , 所以 . 当 时，如图（3）. 因为，,,所以， , , 所以 , 同理得 . 因为 ， 即 ，所以 . 综上所述，的度数为 或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 思路分析 （1）看到 自然想到等腰直角三角形，过底角一顶点作对边的高，发现形成一 个等腰直角三角形和直角三角形.第一种情形,作直角三角形斜边上的中线可形成 两个等腰三角形.第二种情形可以考虑题中给出的方法，将右侧底角分为 和 ，即可得到另外两个等腰三角形. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 36 $