第4章 大招专题3 构造全等三角形的常用方法-【初中必刷题】2025-2026学年七年级下册数学同步课件(北师大版·新教材)

该初中数学课件聚焦构造全等三角形的常用方法，涵盖倍长中线法和截长补短法，通过母题引入核心方法，结合延长中线或截长补短构造全等，再以子题变式巩固，形成从基础到提升的学习支架，衔接三角形全等知识脉络。 其亮点在于采用“母题学大招-子题练变式”模式，以几何直观（数学眼光）呈现构造过程，通过逻辑推理（数学思维）推导全等关系，用规范语言（数学语言）表达证明步骤。如倍长中线法构造“8字型”全等解决线段倍分问题，截长补短法破解线段和差关系，助力学生提升推理能力与解题技巧，教师可高效开展专题教学。

数 学 七年级下册 BS 1 2 3 第四章 三角形 4 大招专 题3 构造全等三角形的常用方法 5 刷难关 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 难关 母题学大招11 倍长中线法 1.［中］如图，是的中线，点在的延长线上， ， ，试说明： . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 7 【解】如图,延长至，使，连接.因为 是 的中线，所以 . 在和 中， 所以，所以，.因为 ，所以 .因为，所以 .因为 ,所以 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 8 在和中， 所以，所以 . 因为，所以 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 大招解读 倍长中线法 “倍长中线法”就是将三角形的边的中点处的线段延长一倍，以便构造出全等三 角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法. 基本模型 常见模型 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 10 刷有所得 倍长中线的目的是构造全等三角形中的“8字型”，从而根据全等三角形的性质将 边或角进行转化. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 11 子题练变式 2.【2025江苏南京质检，较难】 （1）如图（1），在中，，，求边上的中线 的取值范围. 图（1） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 12 图（1） 【解】如图（1），延长到，使得，连接 ,则 .因为是的中点，所以.在 和 中，所以 ，所以 .在中，由三角形的三边关系可得 ，即 .因为， ，所以 ，所以，所以边上的中线 的取值范围为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 13 （2）如图（2），是的中线，， ， ，试探究线段与 的数量和位置关系，并说明理由. 图（2） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 14 图（2） 【解】且.理由如下：如图（2），延长 到 ，使得，连接,延长交于点 .同（1）可证 ，所以， ，所以 ，所以 .因为 ，所以 ，所以 .因为，，所以 .在 和中，所以 ， 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 15 所以，.因为，所以 . 因为 ，所以 .因为 ，所以 ，所以 ,所以.综上所述， 且 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 母题学大招12 截长补短法 3.［中］如图，已知四边形中，，若 的平分线 交于，连接，且恰好平分，判断 的长与 长度的大小关系并说明理由. 【解】.理由如下：补短法:如图（1），延长至点 , 使,连接.因为，所以 .因为 平分，平分，所以, ,所 以 ，所以 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 17 在和中， 所以，所以 ,,所以,, 三 点共线.因为,所以 . 在和中， 所以，所以，所以 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 截长法:如图（2），在上截取，连接.因为 ， 所以 .又因为平分，平分 ， 所以, ,所以 ，所以 ， 即 .在和中， 所以 ，所以.因为 ，所以 ， 所以 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 19 在和中， 所以，所以，所以 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 大招解读 截长补短法 “截长补短法”的具体做法：在某一条线段上截取一条线段与特定线段相等，或 将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用全等三角形的有关性质加以说明. 当题目中出现线段和差关系的时候，一般都可以用“截长补短法”求解. 思路分析 由于与和之间没有什么直接的联系，所以必须通过作辅助线建立 与 ，之间的联系，进而可求解.可以在上截取，连接 ；也可延长 至点，使,连接 ，构造全等三角形，进而得出三条线段之间的关系. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 21 子题练变式 4.【2025浙江台州期中，较难】如图，在中，的平分线交 的 平分线于点 . 图（1） 图（2） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 22 （1）试说明： . 【解】因为平分，平分，所以 ， ，所以 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 23 （2）如图（1），若 ，请直接写出，， 之间的数量关系. 图（1） 【解】.如图（1），在上截取 ，连接 .因为 ,所以 ，所以 .因为平分，所以 . 又因为，所以 ，所以 ，所以 .因为平分 ， 所以.在与 中， 所以 ，所以 ，所以 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 24 （3）如图（2），连接,若 ，是的中点，连接 .试说明： . 图（2） 【解】如图（2），延长至点，使，连接 ， 所以.因为是的中点，所以 .又因为 ，所以 ，所以 .过点作，的垂线，分别交于点， ， 所以 ,所以 .因为 ，所以 .因为 ，所以 ，所以. 又因为, ,所以 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 25 ，同理可得，所以 ， ，， .由（1）可知 ，所以 ，所以 ，所以 .因为，所以 ，所以 ,所以，所以 ， 所以，所以. 因为 ，所以 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 刷有所得 解题时用截长法还是补短法，可以根据题目条件灵活选择. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 27 $