第4章 大招专题2 全等三角形判定的常考模型-【初中必刷题】2025-2026学年七年级下册数学同步课件(北师大版·新教材)

该初中数学课件聚焦七年级下册全等三角形判定的常考模型，涵盖平移、对称、“手拉手”、一线三等角（K型）、半角等核心模型。通过母题引入衔接前期三角形基础知识，以“模型解读+思路分析+子题变式”搭建学习支架，帮助学生从具体题目抽象出模型结构。 其亮点在于以模型化教学培养数学眼光与思维，如平移模型通过平行线性质发展几何直观，“手拉手”模型借助共顶点等角训练推理能力，半角模型通过旋转构造全等强化模型意识。采用母题引领、变式巩固的教学方法，学生能系统掌握判定思路，教师可高效开展分层教学，提升课堂效率。

数 学 七年级下册 BS 1 2 3 第四章 三角形 4 大招专 题2 全等三角形判定的常考模型 5 刷难关 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 难关 母题学大招6 平移模型 1.［中］如图，点，，，在一条直线上， ， ，，试说明： ． 【解】因为，，所以， . 又因为，所以，所以 ，所以 ,所以 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 7 大招解读 平移模型 把沿着某一条直线平移，所得到的与 全等. 基本模型 常见模型 思路分析 由平行线的性质可得相等的角，结合题目条件利用“”说明 , 得 ,进而利用线段的和差解决问题. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 母题学大招7 对称模型 2.［中］如图（1）是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图（2）所示， ，，， ，求 的大小. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 9 【解】因为，所以 ，即 . 在与中， 所以，所以 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 10 大招解读 对称模型 将两个三角形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角 形称为对称型全等三角形，此类图形中要注意隐含条件，即公共边或公共角相等. 基本模型 常见模型 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 11 母题学大招8 “手拉手”模型 3.【2024江苏淮安调研，中】如图，已知 ， ，，连接， . （1）试说明： . 【解】因为，所以 ，所以 . 又因为， ， 所以 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 12 （2）若 ， ，求 的度数. 【解】因为，所以 . 因为 ， ，所以 ，所以 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 13 大招解读 “手拉手”模型 条件：①共顶点，②等角，③两长两短等线段. 结论： . 思路分析 （1）根据题意由 ，可得 ，再根据“ ”判定三角形全等；（2）由 ，可得，再由三角形内角和为 即可 求解. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 14 子题练变式 4.【2025安徽合肥质检，中】在和中，， ， . （1）当点在上时，如图（1）所示，线段， 有怎样的数量关系和位置关 系？请说明理由. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 15 图（1） 【解】，.理由如下：延长交于点 ，如图 （1）所示. 在和中， 所以，所以，.因为 ， 所以 ，所以 ，所以在 中， ，所以，故， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 16 （2）当点 在如图（2）所示的位置时，（1）中的结论是否还成立？请说明理由. 图（2） 【解】（1）中的结论还成立.理由如下：延长交于点,交 于点，如图（2）所示.因为 ，所以 ，即.在 和 中， 所以，所以，.因为 ， 所以 .因为， ，所以 .在中， ， 所以，故， ，所以（1）中的结论还成立. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 17 母题学大招9 一线三等角模型（K型） 5.【2025四川泸州期中，中】 图（1） 图（2） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 18 （1）如图（1），在中， ，，直线经过点， 直线， 直线，垂足分别为点和点，试说明： ， ； 【解】因为 直线， 直线，所以 ，所以 .因为 ，所以 ，所以 .在和中，所以 ， 所以，，所以 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 19 （2）如图（2），将（1）中的条件改为在中，，，， 三点都 在直线上，且 ，结论 是否仍然成立？ 请说明理由. 【解】仍然成立.理由：因为 ，所以 ，所以.在 和 中， 所以，所以， ，所以 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 20 大招解读 一线三等角模型型 三个相等的角在同一直线上，称为一线三等角模型（角有锐角、钝角，若为直角 则可称为一线三垂直），利用三等角关系可找到全等三角形所需的角相等条件 （如 ）. 锐角一线三等角 钝角一线三等角 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 21 直角一线三等角（一线三垂直） 关键点拨 利用角的和差关系得出,再利用判定 是解题的关键. 续表 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 22 子题练变式 6.【2025浙江宁波期中，较难】已知是经过的顶点 的一条直线， ，，是直线上两点， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 23 （1）若直线经过的内部， . ①如图（1）， ， ，写出，， 之间的数量关系： ______________. 【解析】当 时， ,所以 .因 为 ,所以 ，所以 .又因为 ,所以,所以,.因为 ,所以 ,故答案为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 24 ②如图（2）， 与 之间满足怎样的数量关系时，能使①中的结论仍然成立？ 【解】当 时，①中的结论仍然成立.因为 , , ,所 以.又因为，所以 . 在和中，所以,所以 , ，所以 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 25 （2）如图（3），若直线在的外部， ，①中的结论是否仍然 成立？若成立，请进行说明；若不成立，请写出新结论并进行说明. 【解】不成立，此时 .说明如下： 因为 ,， , ,所以.在和 中, 所以,所以， .因为 ,所以 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 26 思路分析 （2）由三角形内角和定理及平角的定义得出,再根据 得出,得出, ,即可解答. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 27 母题学大招10 半角模型 7.［中］【问题背景】如图（1），在四边形中， ， ， ，，分别是， 上的点，且 ，试探究图中线段，， 之间的数量关系. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 28 （1）小王同学探究此问题的方法如下：延长到点，使，连接 ， 先说明，再说明 ，可得出结论，他的结论应是 ______________. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 29 【解析】在和中， 所以，所以，.因为 ， 所以 ，即 .在和中，所以 ， 所以.因为，所以 .故答案为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 30 【探索延伸】 （2）如图（2），若在四边形中，， ，， 分别 是，上的点，且 ，上述结论是否仍然成立？请说明理由. 【解】结论 仍然成立.理由： 如图（1），延长到点，使，连接 .因为 , ,所以 .在 和中，所以 ，所以 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 31 ，.因为 ，所以 ， 即.在和中， 所以 ，所以.因为 ，所以 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 【学以致用】 （3）如图（3），四边形是边长为5的正方形， ，直接写出 的周长. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 33 【解】的周长是10.如图（2），延长到点，使 ， 连接.因为四边形 是正方形，所以 ，.在与 中， 所以，所以 ， .因为 ， ，所以 ， 所以 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 34 在与中， 所以 ， 所以，所以 的周长为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 大招解读 半角模型 半角模型中的重要元素：（1）半角，（2）邻边相等 .半角模型中经常通过旋转 将分散的条件集中起来，进而通过说明两个三角形全等进行解题.半角模型求解中 一般涉及两次全等，一次旋转型全等，一次对称型全等. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 36 正方形含半角 等腰直角三角形含半角 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 等边三角形含半角 等边三角形含半角 思路分析 （2）延长到点,使,连接，即可判定 ，可得 ，,再判定，可得 ，即可得出结论. 续表 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 38 $