江苏淮安市高中校协作体2025-2026学年度第二学期高二年级期中联考数学试卷

**基本信息** 淮安市高二期中数学联考卷注重知识综合应用与现实情境融合，如接力赛排列（第15题）、超市购物统计（第17题）等题，体现用数学思维解决实际问题，培养空间观念与数据意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|空间向量（第4题）、概率（第2题）|基础巩固，如第8题星期推算考查周期性思维| |多选|3/18|空间向量基底（第9题）、排列组合（第10题）|概念辨析，如第9题基底判定强化逻辑推理| |填空|3/15|二项式系数（第13题）、向量投影（第14题）|细节考查，第14题分空设置区分投影数量与向量| |解答|5/77|立体几何（第16、19题）、统计（第17题）|分层设计，第15题接力赛四问逐步提升难度，第19题结合几何证明与夹角计算，发展空间观念与运算能力|

淮安市高中校协作体2025～2026学年度第二学期高二年级期中联考 数学 试卷参考答案 一、单项选择题（本大题共有8小题，每题5分，共40分） 1．已知向量，，若，则（ B ） A．5 B．2 C．1 D． 2．甲、乙、丙、丁四人排成一列，甲不在排头，且乙或丙在排尾的概率是( C ) A. B. C. D. 3．已知的展开式中的系数为-5，则（ B ） A．4 B． C． D． 4．已知向量，，若A，B，C三点共线，则( A ) A. -2 B. 2 C. D. 5．若，则 （ B ） A．5 B．4 C．3 D．2 6．如图所示，四面体所有棱长均为4，则（ A ） A． B． C． D． 7.已知空间四点，，，构成梯形，则实数的值为( C ) A. 2 B. 1 C. 4 D.3 8．今天是星期三，再过天是星期几（ D ） A．星期三 B．星期五 C．星期六 D．星期日 二、多项选择题（本大题共有3小题，每题6分，共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.） 9．关于空间向量，以下说法正确的是（ ABD ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 C．若，则是钝角 D．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 10．下列说法正确的是（ ACD ） A．将3封信投入5个邮筒，不同的投法共有种 B．6本不同的书，分给甲、乙每人各2本，分给丙、丁每人各1本，有270种分法 C．从6男4女中选4人参加比赛，若4人中必须有男有女，则共有194种选法 D．将4个不同的小球放入4个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为84 11．设样本空间，且每个样本点是等可能的，已知事件，，，则（ ABD ） A．与不互斥 B．与相互独立 C． D． 三、填空题（本大题共有3小题，每题5分，共15分） 12．已知,则角∠BAC的大小为 答案： 13.已知的展开式中，二项式系数的和为128，则展开式的各项系数和为 (结果用数字作答)答案：2187 14．已知,则在方向上的投影数量为 ，在方向上的投影向量为 .(第一空3分，第二空2分) 答案： ， 四、解答题（本大题共有5小题，第15题13分，第16题、第17题每题15分，第18题、第19题每题17分，共77分） 15．（本题13分）.从包含甲、乙2人的6人中选4人参加米接力赛，求在下列条件下，各有多少种不同的排法？（结果用数字作答） (1)甲、乙2人都被选中且必须跑中间两棒； (2)甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒； (3)甲、乙2人都被选中且不能相邻两棒； (4)甲、乙2人都被选中且甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒. 解:（1）甲乙两人在中间两棒，则有种排法 从剩下4人选出2人排列到两边，有种排法 则共有种排法 ………………………………………3分 （2）将甲乙绑定到一起，内部有2种排法 从剩下4人选出2人，有种选法 全排列3个元素有种排法 所以共有种排法 ………………………………………6分 （3）先从剩下4人选出2人先排列，有种排法 将甲乙插入到已排列的两个元素邻近的3个空位中，以保证甲乙不相邻，有种排法 所以共有种排法. ………………………………………9分 （4）若甲在第四棒，则从剩下4人选出2人，有种选法 3人全排列，共有种排法 此时共有种排法 若甲不在第四棒，也不在第一棒，所以甲有2种排列方法 乙不在第四棒，也不能与甲同棒，所以乙有2种排列方法 再从剩下4人选出2人排列到剩下的两个位置，有种排法 此时共有种排法 综上，共有种排法. …………………………………………………………13分 16．（本题15分）如图，在边长为2的正方体中，E是棱上的点，平面交棱于点F． (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度及此时点到平面的距离． 解：（1）连接，由正方体可知， 四边形为平行四边形， 平面，平面 平面 ………………………………………3分 平面，平面平面 ………………………………………6分 （2）如图，以D为原点，建立空间直角坐标系， 设的长为a，则，，，，………………………………8分 ，， 设平面的一个法向量为 则，故可得 设直线与平面所成角为 则，解得 ， 故的长度为1 ………………………………………13分 点到平面的距离 ………………………………………………15分 17.（本题15分）某超市为了调查顾客单次购物金额与年龄的关系，从年龄在内的顾客中，随机抽取了100人，调查结果如表： 年龄段类型 单次购物金额满188元 8 15 23 15 9 单次购物金额不满188元 2 3 5 9 11 (1)为了回馈顾客，超市准备开展对单次购物金额满188元的每位顾客赠送1个环保购物袋的活动.若活动当日该超市预计有4000人购物，由频率估计概率，预计活动当日该超市应准备多少个环保购物袋？ (2)在上面抽取的100人中，随机依次抽取2人，已知第1次抽到的顾客单次购物金额不满188元，求第2次抽到的顾客单次购物金额满188元的概率. 解:（1）由表可知，单次购物金额满188元的有：8+15+23+15+9=70人 所以单次购物金额满188元频率为： ………………………………………3分 所以4000人中，单次购物金额满188元大约人 故需准备2800个环保购物袋 ………………………………………6分 （2）记事件为“第1次抽到的顾客单次购物金额不满188元” 记事件为“第2次抽到的顾客单次购物金额满188元” 所以， ………………………………………10分 所以 故第2次抽到的顾客单次购物金额满188元的概率为 ……………………………15分 18.(本题17分)已知(n∈N*) (1)若展开式中只有第7项的二项式系数最大，求n的值； (2)当n=9时，二项式的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若B=4A，求a的值； (3)当n=6，a=-2时，求二项式的展开式中系数最大的项. 解　(1）若展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式共13项，故n=12 ……………………3分 (2)当n=9时，二项式为 展开式的通项Tk+1==(-a)k(k=0，1，…，9) 令9-=3，得k=4，所以A= 令9-=0，得k=6，所以B= 又B=4A，解得a=0(舍去)或a=或a=- 所以a=或a=- ………………………………………9分 (3)当n=6，a=-2时，二项式为 展开式的通项Tk+1=x6-k=2k(k=0，1，…，6) 设第k+1项系数最大，则 ………………………………………12分 即故k=4 所以二项式的展开式中系数最大的项为T4+1=24=240 ………………………………………17分 19.（本题17分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，． (1)证明：平面PAC； (2)已知，点满足平面PEC． （i）求； （ii）求平面PBD与平面PEC的夹角． 解：（1）因为ABCD为菱形，所以 设AC，BD交于点，则 又因为，所以 因为，AC，平面PAC 所以BD平面PAC …………………………………………………4分 （2）（i）取PC中点，则且，由知 所以，即四点共面 因为平面PEC，平面OBEF，平面平面 所以 因此OFEB是平行四边形，故，即 …………………9分 （ii）由（1）可知，BD平面PAC，因为平面ABCD，所以平面平面PAC， 因为平面平面，所以在平面PAC内作Oz垂直于AC，如图， 以为原点，建立空间直角坐标系， 由题意可知，，， …………………………………11分 因为，且，所以， 因此，， ， 由此可知，设平面PBD的一个法向量 则，也即 令，得 ………………………………………………………13分 设平面PEC的一个法向量 则，也即 令，得 ………………………………………………………15分 所以 所以平面PBD与平面PEC的夹角为 ………………………………………………………17分 第4页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 淮安市高中校协作体2025～2026学年度第二学期高二年级期中联考 数学 试卷 一、单项选择题（本大题共有8小题，每题5分，共40分） 1．已知向量，，若，则（ ） A．5 B．2 C．1 D． 2．甲、乙、丙、丁四人排成一列，甲不在排头，且乙或丙在排尾的概率是( ) A. B. C. D. 3．已知的展开式中的系数为-5，则（ ） A．4 B． C． D． 4．已知向量，，若A，B，C三点共线，则( ) A. -2 B. 2 C. D. 5．若，则 （ ） A．5 B．4 C．3 D．2 6．如右图所示，四面体所有棱长均为4，则（ ） A． B． C． D． 7.已知空间四点，，，构成梯形，则实数的值为( ) A. 2 B. 1 C. 4 D.3 8．今天是星期三，再过天是星期几（ ） A．星期三 B．星期五 C．星期六 D．星期日 二、多项选择题（本大题共有3小题，每题6分，共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.） 9．关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 C．若，则是钝角 D．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 10．下列说法正确的是（ ） A．将3封信投入5个邮筒，不同的投法共有种 B．6本不同的书，分给甲、乙每人各2本，分给丙、丁每人各1本，有270种分法 C．从6男4女中选4人参加比赛，若4人中必须有男有女，则共有194种选法 D．将4个不同的小球放入4个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为84 11．设样本空间，且每个样本点是等可能的，已知事件，，，则（  ） A．与不互斥 B．与相互独立 C． D． 三、填空题（本大题共有3小题，每题5分，共15分） 12．已知,则角∠BAC的大小为 13.已知的展开式中，二项式系数的和为128，则展开式的各项系数和为 (结果用数字作答) 14．已知,则在方向上的投影数量为 ，在方向上的投影向量为 .(第一空3分，第二空2分) 四、解答题（本大题共有5小题，第15题13分，第16题、第17题每题15分，第18题、第19题每题17分，共77分） 15．（本题13分）.从包含甲、乙2人的6人中选4人参加米接力赛，求在下列条件下，各有多少种不同的排法？（结果用数字作答） (1)甲、乙2人都被选中且必须跑中间两棒； (2)甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒； (3)甲、乙2人都被选中且不能相邻两棒； (4)甲、乙2人都被选中且甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒. 16．（本题15分）如图，在边长为2的正方体中，E是棱上的点，平面交棱于点F． (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度及此时点到平面的距离． 17.（本题15分）某超市为了调查顾客单次购物金额与年龄的关系，从年龄在内的顾客中，随机抽取了100人，调查结果如表： 年龄段类型 单次购物金额满188元 8 15 23 15 9 单次购物金额不满188元 2 3 5 9 11 (1)为了回馈顾客，超市准备开展对单次购物金额满188元的每位顾客赠送1个环保购物袋的活动.若活动当日该超市预计有4000人购物，由频率估计概率，预计活动当日该超市应准备多少个环保购物袋？ (2)在上面抽取的100人中，随机依次抽取2人，已知第1次抽到的顾客单次购物金额不满188元，求第2次抽到的顾客单次购物金额满188元的概率. 18.(本题17分)已知(n∈N*) (1)若展开式中只有第7项的二项式系数最大，求n的值； (2)当n=9时，二项式的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若B=4A，求a的值； (3)当n=6，a=-2时，求二项式的展开式中系数最大的项. 19.（本题17分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，． (1)证明：平面PAC； (2)已知，点满足平面PEC． （i）求； （ii）求平面PBD与平面PEC的夹角． 第4页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $