2026年中考数学专题复习：圆的有关性质和计算

2026中考专题复习：圆的有关性质和计算 一．选择题（共8小题） 1．如图，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，点D，C是的三等分点，∠COD＝34°，则∠AOE的度数是（　　） A．78° B．68° C．58° D．56° 2．如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B＝21°，则∠C的度数是（　　） A．21° B．42° C．48° D．69° 3．如图，已知矩形ABCD的顶点B，C在半径为5的半圆O上，顶点A，D在直径EF上．若ED＝2，则矩形ABCD的面积等于（　　） A．21 B．22 C．23 D．24 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，若AC＝3.3，BC＝4.4，则图中△ABO的面积为（　　） A．5.5 B．2.75 C．6.05 D．3.025 5．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，连结OP，OP长为2，∠APB＝120°，则⊙O的半径为（　　） A．1 B．2 C． D． 6．如图，X，Y，Z是某社区的三栋楼，XY＝40m，YZ＝30m，XZ＝50m．若在XZ中点M处建一个5G网络基站，该基站的覆盖半径为26m，则这三栋楼中在该基站覆盖范围内的是（　　） A．X，Y，Z B．X，Z C．Y，Z D．Y 7．如图，△OAB的边AB与⊙O相切于点C，OB交⊙O于点D，延长AO交⊙O于点E，连结DE．若DE∥OC，OE＝5，DE＝6，则AB的长为（　　） A．15 B． C． D．12 8．如图，⊙O为△ABC的外接圆，AD为边BC上的高线，AE为直径．若AB＝3，AC＝4，AD＝2.5，则⊙O的半径为（　　） A．4.8 B． C．2.4 D． 二．填空题（共6小题） 9．如图，若圆锥的母线长为12，底面半径为4，则其侧面展开图的圆心角为 　 　 ． 10．如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A、B、C，其中，B点坐标为（4，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标为 　 　 ，弧ABC的长为 　 　 （结果保留根号及π） 11．如图，水暖管横截面是圆，当半径r＝5mm的水暖管有积水（阴影部分），水面的宽度AB为8mm，则积水的最大深度CD（CD＜r）是 　 　 mm． 12．如图，切线PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，切线EF与⊙O相切于点C，且分别交PA、PB于点E、F，若△PEF的周长为12，则线段PA的长为　 　 ． 13．如图，△ABC中，AC＝AB，以AB为直径作⊙O，交BC于D，交AC于E．若∠BAD＝25°，则∠EDC＝　 　 °． 14．如图，矩形ABCD内接于⊙O，E是上一点，连接EB，EC分别交AD于点F，G．若AF＝1，EG＝FG＝3，则⊙O的直径为 　 　 ． 三．解答题（共5小题） 15．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F． （1）求证：CF＝BF； （2）若CD＝6，AC＝8，求⊙O的半径及CE的长． 16．综合实践活动：求甲、乙两个圆形薄板的直径（已知甲的直径小于乙的直径）． 工具：自制的矩形直尺ABCD（边AB长2cm，边AD从点A至点D标有刻度）． 小明的做法：如图1，将矩形直尺ABCD放置在圆形薄板甲上，使点A，B都恰好落在薄板的边缘，边AD，BC分别交薄板的边缘于点E，F，从直尺刻度中读出AE＝6cm．小明认为线段BE就是圆形薄板甲的一条直径，接着通过计算求出BE长度． 如图2，将矩形直尺ABCD放置在圆形薄板乙上，点A恰好落在薄板的边缘，边AD与薄板的边缘交于点M，边BC与薄板的边缘相切于点G，从直尺刻度中读出AM＝8cm．接着添加辅助线，通过推理和计算求出圆形薄板乙的直径长度． （1）请你帮助小明说出图1中BE是圆形薄板甲的直径的理由，并求出BE的长度． （2）按照小明的做法，请你在图2中添加辅助线，通过推理和计算求出圆形薄板乙的直径长度． 17．如图，三角形ABC内接于⊙O，AB＝AC，连结BO并延长交AC于点E，交⊙O于点D，连结AO，AD，CD． （1）求证：∠ABC＝∠ADB； （2）猜想OA与CD的位置关系，并说明理由； （3）若，求AE的长． 18．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O交BC于点F，连接OC，过点B作BD∥OC交⊙O于点D．连接AD交OC于点E． （1）求证：BD＝AE． （2）若⊙O的半径为5，求OE的长． （3）连结DF，在（2）的条件下，求DF的值． 19．如图，在△ABC中，点C在以AB为直径的半圆O上，过点C作半圆O的切线交AB延长线于点D，AE垂直DC的延长线于点E，交半圆O于点F，连结CF． （1）求证：∠BAC＝∠ECF． （2）若AE＝3，DE＝4， ①求半圆O的半径； ②若P是AC上一点，连结PO，PB，求PO+PB的最小值． 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．如图，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，点D，C是的三等分点，∠COD＝34°，则∠AOE的度数是（　　） A．78° B．68° C．58° D．56° 【分析】先根据圆心角、弧、弦的关系得到∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝34°，然后利用平角的定义计算∠AOE的度数． 【解答】解：∵点D、C是的三等分点， 即， ∴∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝34°， ∴∠AOE＝180°﹣3×34°＝78°． 故选：A． 2．如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B＝21°，则∠C的度数是（　　） A．21° B．42° C．48° D．69° 【分析】连接OA，由切线的性质得AC⊥OA，则∠OAC＝90°，而∠AOC＝2∠B＝42°，所以∠C＝90°﹣∠AOC＝48°，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接OA， ∵AC是⊙O的切线，A为切点， ∴AC⊥OA， ∴∠OAC＝90°， ∵∠B＝21°， ∴∠AOC＝2∠B＝2×21°＝42°， ∴∠C＝90°﹣∠AOC＝90°﹣42°＝48°， 故选：C． 3．如图，已知矩形ABCD的顶点B，C在半径为5的半圆O上，顶点A，D在直径EF上．若ED＝2，则矩形ABCD的面积等于（　　） A．21 B．22 C．23 D．24 【分析】过O作OH⊥BC于H，连接OC，由垂径定理得到BC＝2CH，求出OD＝OE﹣DE＝3，判定四边形OHCD是矩形，得到CH＝OD＝3，求出BC＝6，由勾股定理求出CD＝4，即可得到矩形ABCD的面积． 【解答】解：过O作OH⊥BC于H，连接OC， ∴BC＝2CH， ∵圆O的半径长是5， ∴OC＝OE＝5， ∵ED＝2， ∴OD＝OE﹣DE＝3， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠CDO＝∠DCH＝90°， ∵∠CHO＝90°， ∴四边形OHCD是矩形， ∴CH＝OD＝3， ∴BC＝2CH＝6， ∵CD4， ∴矩形ABCD的面积＝BC•CD＝6×4＝24． 故选：D． 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，若AC＝3.3，BC＝4.4，则图中△ABO的面积为（　　） A．5.5 B．2.75 C．6.05 D．3.025 【分析】根据勾股定理求出AB的长，再根据等面积法求出圆O的半径即可推出结果． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3.3，BC＝4.4， ∴AB5.5， 如图，连接OC， 设圆O的半径＝r， 则r， 即， ∴r＝1.1， ∴△ABO的面积3.025， 故选：D． 5．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，连结OP，OP长为2，∠APB＝120°，则⊙O的半径为（　　） A．1 B．2 C． D． 【分析】由切线的性质可得PA＝PB，∠OAP＝∠OBP＝90°，进而可证明△OAP≌△OBP（SSS），则，使用三角函数计算出OA的值即可． 【解答】解：∵PA，PB是⊙O的切线， ∴PA＝PB，∠OAP＝∠OBP＝90°， 在△OAP和△OBP中， ， ∴△OAP≌△OBP（SSS）， ∴， 在Rt△OAP中，， 故选：C． 6．如图，X，Y，Z是某社区的三栋楼，XY＝40m，YZ＝30m，XZ＝50m．若在XZ中点M处建一个5G网络基站，该基站的覆盖半径为26m，则这三栋楼中在该基站覆盖范围内的是（　　） A．X，Y，Z B．X，Z C．Y，Z D．Y 【分析】根据勾股定理的逆定理证得△XYZ是直角三角形，可以根据直角三角形斜边中线的性质求得YM的长，然后与26m比较大小，即可解答本题． 【解答】解：∵XY＝40m，YZ＝30m，XZ＝50m． ∴XY2+YZ2＝XZ2， ∴△XYZ是直角三角形， ∴∠XYZ＝90°， ∵点N是斜边XZ的中点， ∴XM＝MZ＝25m， ∵△XYZ是直角三角形，YM是斜边XZ的中线， ∴YMXZ＝25m， ∵26＞25， ∴点X、Y、Z都在圆内， ∴这三栋楼都不该5G基站覆盖范围内． 故选：A． 7．如图，△OAB的边AB与⊙O相切于点C，OB交⊙O于点D，延长AO交⊙O于点E，连结DE．若DE∥OC，OE＝5，DE＝6，则AB的长为（　　） A．15 B． C． D．12 【分析】根据平行线的性质得到∠AOC＝∠E，∠BOC＝∠ODE，根据等腰三角形的性质得到∠E＝∠ODE，得到∠AOC＝∠BOC，根据切线的性质得到OC⊥AB，过O作OH⊥DE于H，根据勾股定理得到OH4，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：∵DE∥OC， ∴∠AOC＝∠E，∠BOC＝∠ODE， ∵OE＝OD， ∴∠E＝∠ODE， ∴∠AOC＝∠BOC， ∵AB与⊙O相切于点C， ∴OC⊥AB， ∴AC＝BC， 过O作OH⊥DE于H， ∴∠EHO＝90°，EH， ∴OH4， ∵∠OHE＝∠ACO＝90°，∠E＝∠AOC， ∴△AOC∽△OEH， ∴， ∴， ∴AC， ∴AB＝2AC． 故选：B． 8．如图，⊙O为△ABC的外接圆，AD为边BC上的高线，AE为直径．若AB＝3，AC＝4，AD＝2.5，则⊙O的半径为（　　） A．4.8 B． C．2.4 D． 【分析】连接CE，根据圆周角定理得到∠ACE＝90°，根据三角形的高的定义得到∠ADB＝90°，得到∠ADB＝∠ACE，证明△ABD∽△AEC，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算得到答案． 【解答】解：如图，连接CE， ∵AE为⊙O的直径， ∴∠ACE＝90°， ∵AD为边BC上的高线， ∴∠ADB＝90°， ∴∠ADB＝∠ACE， 由圆周角定理得：∠B＝∠E， ∴△ABD∽△AEC， ∴，即， 解得：AE＝4.8， ∴⊙O的半径为2.4， 故选：C． 二．填空题（共6小题） 9．如图，若圆锥的母线长为12，底面半径为4，则其侧面展开图的圆心角为 　120°　 ． 【分析】设圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到2π×4，然后解方程即可． 【解答】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角为n°， 根据题意得2π×4， 解得n＝120， 即侧面展开图的圆心角为120°． 故答案为：120°． 10．如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A、B、C，其中，B点坐标为（4，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标为 　（2，0）　 ，弧ABC的长为 　π　 （结果保留根号及π） 【分析】可连接AB、BC，分别作弦AB、BC的垂线，根据垂径定理知，弦的垂直平分线经过圆心；则两条弦的垂直平分线的交点必为圆弧所在圆的圆心，然后再判断其坐标即可．设圆心为M，连接MA，过M作AB的垂线，设垂足为D；根据点M的坐标，可得出MD、AD的长，再由勾股定理即可求出⊙M的半径，再由SAS定理得出Rt△AOM≌Rt△MEC，故可得出∠AMC的长，由弧长公式即可得出结论． 【解答】解：该圆弧所在圆的圆心如图所示，该圆弧所在圆的圆心坐标为（2，0）； 设圆弧所在圆的圆心为M，连接MA；过M作MD⊥AB于D，则MD＝4，AD＝2； Rt△MAD中，根据勾股定理，得： MA2； ∴该圆弧所在圆的半径为2． 在Rt△AOM与Rt△MEC中， ∵， ∴Rt△AOM≌Rt△MEC， ∴∠AOC＝90°， ∴π． 故答案为：（2，0），π． 11．如图，水暖管横截面是圆，当半径r＝5mm的水暖管有积水（阴影部分），水面的宽度AB为8mm，则积水的最大深度CD（CD＜r）是 　2　 mm． 【分析】由垂径定理求出AC的长，根据勾股定理求出OC的长，进而可得出结论． 【解答】解：∵OD⊥AB，AB＝8mm， ∴AC＝BCAB＝4mm， ∴OC3（mm）， ∴水的最大深度CD＝OD﹣OC＝5﹣3＝2（mm）． 故答案为：2． 12．如图，切线PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，切线EF与⊙O相切于点C，且分别交PA、PB于点E、F，若△PEF的周长为12，则线段PA的长为　6　 ． 【分析】可通过切线长定理将相等的线段进行转换，得出三角形PEF的周长等于PA+PB＝12，又因为PA＝PB，所以可求出PA的长． 【解答】解：∵EA，EC都是圆O的切线， ∴EC＝EA， 同理FC＝FB，PA＝PB， ∴△PEF的周长＝PF+PE+EF＝PF+PE+EA+FB＝PA+PB＝2PA＝12， ∴PA＝6； 故答案为：6． 13．如图，△ABC中，AC＝AB，以AB为直径作⊙O，交BC于D，交AC于E．若∠BAD＝25°，则∠EDC＝　50　 °． 【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB＝90°，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得∠BAC＝2∠BAD＝50°，再根据圆内接四边形对角互补以及平角定义可得∠EDC＝∠BAE，即可解答． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵AB＝AC，∠BAD＝25°， ∴∠BAC＝2∠BAD＝50°， ∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形， ∴∠BAE+∠BDE＝180°， ∵∠EDC+∠BDE＝180°， ∴∠EDC＝∠BAE＝50°， 故答案为：50． 14．如图，矩形ABCD内接于⊙O，E是上一点，连接EB，EC分别交AD于点F，G．若AF＝1，EG＝FG＝3，则⊙O的直径为 　2　 ． 【分析】由矩形的性质得∠D＝∠BAD＝90°，由EG＝FG，得∠BEC＝∠GFE＝∠AFB＝∠BAC，推导出∠ALB＝∠BAD＝90°，则∠GAC＝∠ABE＝90°﹣∠BAC，而∠ABE＝∠ACG，AF＝1，EG＝FG＝3，所以∠GAC＝∠ACG，则CG＝AG＝4，可证明△CDG∽△AEG，得1，则DG＝EG＝3，求得AD＝7，CD，则⊙O的直径AC2． 【解答】解：连接AC， ∵四边形ABCD是矩形，且矩形ABCD内接于⊙O， ∴∠D＝∠BAD＝90°， ∴AC是⊙O的直径， ∵AF＝1，EG＝FG＝3， ∴∠BEC＝∠GFE＝∠AFB， ∵∠BEC＝∠BAC， ∴∠AFB＝∠BAC， ∴∠ALB＝∠GAC+∠AFB＝∠GAC+∠BAC＝∠BAD＝90°， ∴∠GAC＝∠ABE＝90°﹣∠BAC， ∵∠ABE＝∠ACG， ∴∠GAC＝∠ACG， ∴CG＝AG＝AF+FG＝1+3＝4， ∵∠CDG＝∠AEG＝90°，∠CGD＝∠AGE， ∴△CDG∽△AEG， ∴1， ∴DG＝EG＝3， ∴AD＝AG+DG＝4+3＝7，CD， ∴AC2， ∴⊙O的直径为2， 故答案为：2． 三．解答题（共5小题） 15．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F． （1）求证：CF＝BF； （2）若CD＝6，AC＝8，求⊙O的半径及CE的长． 【分析】（1）要证明CF＝BF，可以证明∠ECB＝∠DBC；AB是⊙O的直径，则∠ACB＝90°，又知CE⊥AB，则∠CEB＝90°，则∠DBC＝90°﹣∠ACE＝∠A，∠ECB＝∠A，则∠ECB＝∠DBC； （2）在直角三角形ACB中，AB2＝AC2+BC2，又知，BC＝CD，所以可以求得AB的长，即可求得圆的半径；再利用面积法求得CE的长． 【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠A＝90°﹣∠ABC． ∵CE⊥AB， ∴∠CEB＝90°， ∴∠ECB＝90°﹣∠ABC， ∴∠ECB＝∠A． 又∵C是的中点， ∴， ∴∠DBC＝∠A， ∴∠ECB＝∠DBC， ∴CF＝BF； （2）解：∵， ∴BC＝CD＝6， ∵∠ACB＝90°， ∴AB10， ∴⊙O的半径为5， ∵S△ABCAB•CEBC•AC， ∴CE． 16．综合实践活动：求甲、乙两个圆形薄板的直径（已知甲的直径小于乙的直径）． 工具：自制的矩形直尺ABCD（边AB长2cm，边AD从点A至点D标有刻度）． 小明的做法：如图1，将矩形直尺ABCD放置在圆形薄板甲上，使点A，B都恰好落在薄板的边缘，边AD，BC分别交薄板的边缘于点E，F，从直尺刻度中读出AE＝6cm．小明认为线段BE就是圆形薄板甲的一条直径，接着通过计算求出BE长度． 如图2，将矩形直尺ABCD放置在圆形薄板乙上，点A恰好落在薄板的边缘，边AD与薄板的边缘交于点M，边BC与薄板的边缘相切于点G，从直尺刻度中读出AM＝8cm．接着添加辅助线，通过推理和计算求出圆形薄板乙的直径长度． （1）请你帮助小明说出图1中BE是圆形薄板甲的直径的理由，并求出BE的长度． （2）按照小明的做法，请你在图2中添加辅助线，通过推理和计算求出圆形薄板乙的直径长度． 【分析】（1）根据90°的圆周角所对的弦是直径解答；再根据勾股定理求出解即可； （2）设圆心为O，连结OG，OM，圆形薄板半径为rcm，先根据切线的性质得OG⊥BC，进而得出OG⊥AD，再根据垂径定理得AE＝EM＝4，然后根据勾股定理求出半径，即可得出答案． 【解答】解：（1）∵90°的圆周角所对的弦是直径， ∴图1中BE是圆形薄板甲的直径； ∵直尺ABCD是矩形， ∴∠A＝90°， 在直角三角形ABE中，AB＝2，AE＝6， 由勾股定理得：BE2＝AB2+AE2， ∴BE2＝22+62， ∴； （2）如图，BC与⊙O相切于点G，设圆心为O，连结OG，OM，圆形薄板半径为rcm． ∴OG⊥BC． 又∵矩形直尺ABCD对边平行， ∴OG⊥AD， ∴AE＝EM＝4， 由勾股定理得：（r﹣2）2+42＝r2． 解得：r＝5， ∴圆形薄板乙的直径为10cm． 17．如图，三角形ABC内接于⊙O，AB＝AC，连结BO并延长交AC于点E，交⊙O于点D，连结AO，AD，CD． （1）求证：∠ABC＝∠ADB； （2）猜想OA与CD的位置关系，并说明理由； （3）若，求AE的长． 【分析】（1）由题意易得∠ABC＝∠ACB，然后根据圆周角的性质可进行求解； （2）延长AO交BC于点F，由题意易得AF⊥BC，则有∠AFB＝90°，然后问题可求证； （3）由（2）易得，由可设BF＝x，则 AF＝2x，然后根据勾股定理可得 x＝4，进而可得△AOE∽△CDE，最后根据相似三角形的性质可进行求解． 【解答】（1）证明：∵AB＝BC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠ADB＝∠ACB， ∴∠ABC＝∠ADB； （2）解：平行，如图，延长AO交BC于点F， ∵AB＝BC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴，即点A为的中点， ∵AO是半径， ∴AF⊥BC， ∴∠AFB＝90°， ∵BD是直径， ∴∠BCD＝90°， ∴AO∥CD； （3）解：由（2）易得， ∵， ∴设BF＝x，则AF＝2x， ∴OA＝OB＝2x﹣3， ∵BF2+OF2＝OB2， ∴x2+32＝（2x﹣3）2， 解得：x＝4， ∴OA＝5， ∴ABAC， ∵AO∥CD， ∴△AOE∽△CDE， ∴， ∴． 18．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O交BC于点F，连接OC，过点B作BD∥OC交⊙O于点D．连接AD交OC于点E． （1）求证：BD＝AE． （2）若⊙O的半径为5，求OE的长． （3）连结DF，在（2）的条件下，求DF的值． 【分析】（1）根据圆周角定理得出∠ADB＝90°，再由平行线的性质及角等量代换得出∠BAD＝∠ACE，再利用全等三角形的判定和性质证明即可； （2）根据（1）中结论及中位线的判定和性质得出AE＝2OE，再由勾股定理求解即可； （3）根据相似三角形的判定和性质得出AE＝ED，再由全等三角形的性质得出，设AD交BC于K．继续利用相似三角形的判定和性质求解即可． 【解答】（1）证明：∵AB是直径， ∴∠ADB＝90°， ∵BD∥OC， ∴∠AEO＝∠ADB＝90°， ∵∠OAC＝90°， ∴∠OAE+∠AOC＝90°，∠AOC+∠ACO＝90°， ∴∠BAD＝∠ACE， ∵AB＝AC，∠ADB＝∠AEC＝90°， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE＝BD． （2）解：由（1）知，∠AEO＝90°， ∴OE⊥AD， ∴AE＝DE， ∴OE为△ABD的中位线， ∴BD＝2OE，由（1）知，BD＝AE， ∴AE＝2OE， 在Rt△AOE中，OE2+AE2＝OA2，OA＝5， ∴OE2+4OE2＝42， ∴． （3）解：∵OE∥BD，AO＝OB， ∴△AOE∽△ABD ∴， ∴AE＝ED， ∴， ∴， ∵△ADB≌△CEA， ∴， 设AD交BC于K． ∵EC∥BD， ∴， ∴， ∴， ∵∠ABK＝∠FDK，∠AKB＝∠FKD， ∴△AKB∽△FKD， ∵， ∴， ∴． 19．如图，在△ABC中，点C在以AB为直径的半圆O上，过点C作半圆O的切线交AB延长线于点D，AE垂直DC的延长线于点E，交半圆O于点F，连结CF． （1）求证：∠BAC＝∠ECF． （2）若AE＝3，DE＝4， ①求半圆O的半径； ②若P是AC上一点，连结PO，PB，求PO+PB的最小值． 【分析】（1）由AB是直径可得∠ACB＝90°，由圆内接四边形的性质可得∠ABC＝∠CFE，根据等角的余角相等即可证明∠BAC＝∠ECF； （2）①连接OC，由切线的性质可得∠OCD＝90°＝∠E，进而得到△ODC∽△ADE，则，结合AD＝5和OA＝OC，计算出半径OC的值即可； ②作点O关于直线AC的对称点O′，作O′H⊥AB于点H，由OA＝OC和OC∥AE可得∠OAC＝∠ACO＝∠EAC，则点O′在AE上，因此PO+PB＝PO′+PB≥O′B，当O′、P、B三点共线时，PO+PB取到得最小值O'B．使用三角函数计算出，，则，最后用勾股定理计算出O'B． 【解答】（1）证明：∵AB为半圆O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠BAC+∠ABC＝90°， ∵四边形ABCF内接于半圆O， ∴∠ABC+∠AFC＝180°， ∵∠CFE+∠AFC＝180°， ∴∠ABC＝∠CFE， ∵AE⊥DE， ∴∠E＝90°， ∴∠CFE+∠ECF＝90°， ∴∠BAC＝∠ECF； （2）解：①如图，连接OC， 在Rt△ADE中，DE＝4，AE＝3， ∴， ∵CD是半圆O的切线， ∴OC⊥CD， ∴∠OCD＝90°＝∠E， ∵∠D＝∠D， ∴△ODC∽△ADE， ∴，即， ∴， ∵AD＝OA+OD＝5， ∴， ∴，即半圆O的半径为； ②如图，作O′H⊥AB于点H，作点O关于直线AC的对称点O′， ∵∠OCD＝∠E＝90°， ∴OC∥AE， ∴∠EAC＝∠ACO， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠ACO＝∠EAC，即AC是∠BAE的平分线， ∴点O′在AE上， 由对称的性质可得，PO＝PO′， ∴PO+PB＝PO′+PB≥O′B， ∴当O′、P、B三点共线时，PO+PB取得最小值O'B， 在Rt△ADE中，DE＝4，AD＝5，AE＝3， ∴，， ∴在Rt△AHO′中，，， ∴， ∴， ∴若P是AC上一点，连结PO，PB，则PO+PB的最小值是． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/5/5 11:36:17；用户：钟军；邮箱：13870756251；学号：41363517 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $