三棱锥外接球的三种常见模型 课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

三棱锥的外接球 三种常用模型 空间几何体的外接球问题是高考考查的重点和热点内容，尤其是三棱锥为载体的外接球问题，解法灵活多变，对空间想象能力要求高，如何巧妙的寻找球心、探索球半径是解决此类问题的关键。主要以选择题、填空题的形式考查。 一、高考考情分析 二、经典考向分析 模型一：墙角模型 A C B P 若三棱锥的三条侧棱两两垂直且棱长均 为 则其外接球的表面积 . 例1： A C B P 解： A C B P A C B P 若三棱锥的三个侧面两两垂直且棱长均 为 则其外接球的表面积 . 变式1： 解： 变式2： 已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为 . 2 1 1 1 2 1 解： 小结： （1）常见类型： （2）方法：补形为 . （3）公式：2R= . 长方体 思考：什么样的三棱锥适用于墙角模型？ 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 模型二：对棱相等模型 在三棱锥A-BCD中，AB=CD=2，AD=BC= ，AC=BD= ，则该三棱锥的外接球的表面积为 . 例2： A D C B A B C D a b c 解： 小结： （2）方法：补形为 . （3）步骤： （1）适用情况： . 第一步 ：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱 第二步 ：设长方体的长宽高分别为a,b,c,列方程组 A B C D a b c 第三步 ：三式相加求出外接球半径 对棱相等的三棱锥 长方体 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 变式1： 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一 球面上，求此正四面体外接球的体积 . A B C D a b c 解： 在三棱锥P-ABC中，PA=PB=BC=AC=5，PC=AB= ，则该三棱锥的外接球的表积为 . 变式2： 解： 模型三：确定球心构造直角三角形 例3： 在三棱锥S-ABC中，侧棱SA=SB=SC=2，底面边长为1，则该三棱锥外接球的半径为 . S A C B 解： 取正三角形的中心 ，连接 由正三棱锥可知 ABC，设外 接球球心为O，则球心在高线 上连接OC 在 中， 思考：如何确定球心位置？ 如何求出半径？ 小结： （1）利用底面三角形的 .确定球心 （2）构造 . 确定半径 外心 直角三角形 S A B C 1 变式1： 在三棱锥S-ABC中，SA 底面ABC SA=2，底面ABC是边长为1的正三角形， 则该三棱锥外接球的表面积 . 解： 小结： 的三棱锥可补为直三 棱柱来寻找球心 思考：什么样的三棱锥可以补 为直三棱柱？ 侧棱垂直于底面 变式2： 在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC= 侧棱PA与底面ABC所成的角为 则该三棱锥外接球的体积 . 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 变式3： 三棱锥S-ABC所有的顶点都在球O的球面 上，三角形ABC是边长为1的正三角形， SC为球O的直径，且SC=2则该三棱锥的体积 . 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 三、自主反思总结 知识： 题型： 方法： 补形、转化 三棱锥的外接球 三种模型： 墙角模型 对棱相等模型 确定球心构造直角三角形 四、当堂变式练习 1、已知某几何体的三视图如图所示，三视图 是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正 方形，则该几何体外接球的体积为 . 3、在三棱锥S-ABC中，SA 底面ABC，SA=2 ，AB=1，AC=2， ，则三棱锥S-ABC外接球的表面积 . 2、在三棱锥A-BCD中，AB=CD=5，AD=BC= ，AC=BD= ，则该三棱锥的外接球的表面积为 . $$