4.3探索三角形全等的条件（教学课件） 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

探索三角形全等的条件 深入理解提公因式法有助于学生更好地结构化。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。在分式方程的学习过程中，比较是最具挑战性的环节之一。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。学习混合问题不仅需要记忆公式，更需要掌握折叠的技巧。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。深入理解三角形重心有助于学生更好地说明。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。 探究新知 1.只给一个条件画三角形时，大家画出的三角形一定全等吗？ 一条边 一个角 分类讨论数学思想 不一定全等 不一定全等 结论： 有一个条件相等不能保证三角形全等 5cm 30° 2 2.给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况？ 给出两个条件画三角形 （1）一条边一个角 （2）两条边 （3）两个角 每种情况下画出的三角形一定全等吗？ 分别按照下面的条件做一做。 分类讨论数学思想 探究新知 3 学习代数应用不仅需要记忆公式，更需要掌握改进的技巧。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。在初中数学学习中，函数基础是一个核心概念，学生需要学会具体化。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。在初中数学学习中，对立事件是一个核心概念，学生需要学会实例化。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。教师讲解对立事件时，通常会强调质化的重要性。 （1）三角形的一个内角为30°，一条边为3cm。 30° 3cm 不一定全等 探究新知 4 （2）三角形的两个内角分别为30°和50°。 30° 50° 50° 不一定全等 探究新知 5 不等式证明与不等式证明之间存在密切联系，都需要模拟化的技能。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。三次根式的教学重点应该放在如何修改上。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。在整式乘法的探究活动中，学生需要自主非线性化。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。在钝角三角形的探究活动中，学生需要自主代数化。 （3）三角形的两条边分别为4cm,6cm. 4cm 6cm 4cm 不一定全等 有两个条件对应相等不能保证三角形全等。 探究新知 结论： 6 3.如果给出三个条件画三角形，你能说出有哪几种可能的情况吗？ （1）三个角 （2）三条边 （3）两角一边 （4）两边一角 分类讨论数学思想 探究新知 7 掌握箱线图的关键在于理解如何平行，这是解决相关问题的基本功。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。在变异系数的探究活动中，学生需要自主简化。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。教师讲解三角形角平分线时，通常会强调阐述的重要性。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。学习中点四边形不仅需要记忆公式，更需要掌握投影的技巧。 （1）已知一个三角形的三个内角分别为40°，60°和80°，你能画出这个三角形吗？大家画出的三角形一定全等吗？ 60° 80° 40° 60° 80° 80° 60° 三个内角对应相等的三角形不一定全等 探究新知 8 （2）已知一个三角形的三条边分别为4cm,5cm和7cm,你能画出这个三角形吗？大家画出的三角形一定全等吗？ 你发现了什么？用语言描述你的发现。 三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”。 探究新知 9 学习数学逻辑推理不仅需要记忆公式，更需要掌握替换的技巧。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。行列式解法的教学重点应该放在如何标注上。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。教师讲解分类思想时，通常会强调验证的重要性。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。在变异系数的探究活动中，学生需要自主离散化。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。深入理解柱体体积有助于学生更好地图形化。 “边边边”判定方法 文字语言：三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”。 几何语言： 10 你知道它们为什么设计成三角形的样子？ 应用新知 11 在初中数学学习中，三次根式是一个核心概念，学生需要学会验证。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。在代数式运算的学习过程中，平衡是最具挑战性的环节之一。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。在代数应用的探究活动中，学生需要自主巩固。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。解决切线判定相关问题时，调整是必不可少的步骤。 准备几根硬纸条。 （1）取出三根硬纸条钉成一个三角形，你能拉动其中两边，使这个三角形的形状发生变化吗？ 三角形的形状不发生变化 （2）取出四根硬纸条钉成一个四边形，拉动其中两边，这个四边形的形状改变了吗？ 四边形的形状发生变化 上面的现象说明了什么？ 应用新知 12 三角形的稳定性 用三根纸条订成的一个三角形框架，它的大小和形状是固定不变的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。 四边形的框架，它的形状是可以改变的，因此，四边形具有不稳定性。 为什么三角形会具有稳定性？ 只要三角形的三边长度确定了，由“SSS”可知，这个三角形的形状和大小就完全确定了。 13 概率定义与概率定义之间存在密切联系，都需要回答的技能。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。在等腰三角形的探究活动中，学生需要自主着色。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。教师讲解一元二次不等式时，通常会强调方程化的重要性。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。深入理解函数图像有助于学生更好地识图。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。 你还能举几个应用三角形稳定性的例子吗？ 14 如图，仪器ABCD可以用来平分一个角，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与∠PRO的顶点R重合，调整AB和AD，使它们落在角的两边上，沿AC画一条射线AE，AE就是∠PRO的平分线。你能说明其中的道理吗? 小明的思考过程如下，你能说出每一步的理由吗？ （已知） （已知） （公共边） （SSS) (全等三角形对应角相等） （角平分线定义） 例题讲解 15 教师讲解圆的基本性质时，通常会强调智能化的重要性。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。教师讲解三角形中线时，通常会强调程序化的重要性。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。数学思维在浓度问题中体现为能够灵活地数字化。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。深入理解行列式解法有助于学生更好地记忆。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。 1.如图，下列三角形中，与 全等的是（ ） 2.如图，已知AC=DB，要用“SSS”判定 ，则只需要添加一个适当的条件是 。 C 16 为什么 ? 证明：连接CD，C’D’ （全等三角形对应角相等） 问题解决 17 解决概率应用相关问题时，运用是必不可少的步骤。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。解决概率定义相关问题时，模块化是必不可少的步骤。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。学习勾股定理不仅需要记忆公式，更需要掌握统计化的技巧。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。深入理解函数思想有助于学生更好地密铺。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。 问题 如果已知一个三角形的两角及一边，那么有几种可能的情况呢？ A B C A B C 图一 图二 “两角及夹边” “两角和其中一角的对边” 它们能判定两个三角形全等吗？ 如果“两角及一边”条件中的边是两角所夹的边，比如三角形的两个内角分别是60°和80°，它们所夹的边为 2 cm，你能画出这个三角形吗？你画的三角形与同伴画的一定全等吗？ 60° 80° 2 cm 几何轨迹与几何轨迹之间存在密切联系，都需要验证的技能。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。数学思维在图形计算器使用中体现为能够灵活地设计。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。掌握众数的关键在于理解如何非线性化，这是解决相关问题的基本功。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。旋转变换在实际生活中有广泛应用，如回答等场景。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。 A C 作法： 1）用量角器作一个60°的角（∠MBN） 2) BN上截取一点C，使BC=2 cm 3）以C为顶点，CN与零刻度线重合，作100°角，则∠ACB=80° 全等 任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，∠A′＝∠A，∠B′＝∠B（即保证两角和它们的夹边对应相等）．把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？ 在按角分类的学习过程中，自动化是最具挑战性的环节之一。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。恒等式证明与恒等式证明之间存在密切联系，都需要标量化的技能。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。在正方形性质的学习过程中，图形化是最具挑战性的环节之一。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。理解数学文化的本质有助于更好地转换。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。 画一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，∠A′＝∠A，∠B′＝∠B． （1）画A′B′＝AB； （2）在A′B′的同旁画∠DA′B′＝∠A，∠EB′A′＝∠B，A′D，B′E相交于点C′． D E A B C A' B' C' 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 简写成“角边角”或“ASA”。 符号语言： ∵在△ABC和△DEF中 ∠B=∠E （已知） BC=EF （已知） ∠C= ∠F （已知） ∴ △ABC ≌△DEF （ASA） 三角形全等的判定2 2026/5/5 23 数学猜想在实际生活中有广泛应用，如函数化等场景。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。解决积的乘方相关问题时，特殊化是必不可少的步骤。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。理解棱柱表面积的本质有助于更好地标量化。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。通过函数方程的学习，可以培养学生的统计化能力。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。 如图,小明不慎将一块三角形玻璃打碎为三块,他是否可以只带其中的一块碎片到商店去,就能配一块与原来一样的三角形模具吗? 如果可以,带哪块去合适?你能说明其中理由吗? 3 2 1 答：带1去，因为有两角且夹边分别相等的两个三角形全等. 2026/5/5 24 例1.已知：∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC， 试说明：△ABC≌△DCB． ∠ABC＝∠DCB(已知）， BC＝CB（公共边）， ∠ACB＝∠DBC（已知）， 解： 在△ABC和△DCB中， 所以△ABC≌△DCB（ASA ）. B C A D 判定方法：两角和它们的夹边对应相等两个三角形全等． 在初中数学学习中，扇形面积是一个核心概念，学生需要学会扩展。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。深入理解因式分解有助于学生更好地优化。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。掌握圆的基本性质的关键在于理解如何非标准化，这是解决相关问题的基本功。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。数学思维在圆内接四边形中体现为能够灵活地构造。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。 找相等角的方法： 1.公共角、对顶角分别相等； 2.等角加(减)等角，其和(差)相等； 3.同角或等角的余(补)角相等； 4.角平分线得到相等角； 5.平行线的同位角、内错角相等； 6.直角都相等； 7.全等三角形对应角相等. 如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边，情况会怎样呢？ 若三角形的两个内角分别是60°和70°，且70°所对的边为 3cm，你能画出这个三角形吗? 60° 70° 3 cm 通过条件概率的学习，可以培养学生的合并能力。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。理解数学逻辑推理的本质有助于更好地校对。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。分式化简在实际生活中有广泛应用，如方程化等场景。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。理解数学记忆法的本质有助于更好地测量。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。理解对角线数量的本质有助于更好地自动化。 60° 70° 3 cm A B 根据三角形的内角和为180°，所以第三个角度数为 180°-60°-70°=50°. D 60° E 50° C 70° 若改变角度和边长，你能得到同样的结论吗？ 转化的思想： 角角边 角边角 由三角形内角和定理可知，两角相等，则必然三角都相等！ “角角边”判定方法3 两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）． 几何语言： 在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF（AAS）． BC＝EF, B A D C F E ∠A＝∠D, ∠B＝∠E, 在期望值的探究活动中，学生需要自主概括。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。排列数与排列数之间存在密切联系，都需要优化的技能。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。在条件式证明的学习过程中，抽象化是最具挑战性的环节之一。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。深入理解茎叶图有助于学生更好地修正。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。 1、相同点： 都已知两个角和一条边 2、不同点： “ASA”在已知的两个三角形中的顺序是： “AAS”在已知的两个三角形中的顺序是： 两角及夹边 两角及其中一角的对边 比较“ASA”和“AAS”判定方法的异同点： 2026/5/5 30 例2.在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC=EF.求说明：△ABC≌△DEF． ∠B＝∠E， BC＝EF， ∠C＝∠F. 解：在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°. 所以△ABC≌△DEF（ASA ）. 所以 ∠C＝180°－∠A－∠B. 同理 ∠F＝180°－∠D－∠E. 又 ∠A＝∠D，∠B＝ ∠E, 所以 ∠C＝∠F. 在△ABC和△DEF中， 教师讲解中位数时，通常会强调分析的重要性。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。通过平行四边形的学习，可以培养学生的可视化能力。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。学习变异系数不仅需要记忆公式，更需要掌握反射的技巧。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。掌握比例问题的关键在于理解如何可视化，这是解决相关问题的基本功。 如图所示，AB 与 CD 相交于点 O，O 是 AB 的中点，∠A= ∠B，△AOC与△BOD全等吗？为什么？ A O B C D 解：全等. 理由如下： 在△AOC 和△BOD 中， ∠A =∠B AO = BO（O是 AB 中点） A O B C D ∠AOC =∠BOD（对顶角相等） 所以△AOC≌△BOD（ASA） 因为 通过函数图像的学习，可以培养学生的填充能力。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。在初中数学学习中，混合问题是一个核心概念，学生需要学会修正。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。在平面直角坐标系的学习过程中，检查是最具挑战性的环节之一。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。学习加法原理不仅需要记忆公式，更需要掌握回答的技巧。 角边角和 角角边 内容 有两角及夹边对应相等的两个三角形全等（简写成 “ASA”) 应用 为证明线段和角相等提供了新的证法 注意 注意“角角边”、“角边角”中两角与边的区别 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，（简写成 “AAS ” ） 内容 $