专题05 二项式系数的性质8种常见考法归类讲义（85题）-2025-2026学年高二下学期人教A版选择性必修第三册数学题型归纳与解题策略

【考点通关】2025-2026学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第三册) 专题05 二项式系数的性质8种常见考法归类（85题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 二项式系数和问题 考点二 求二项展开式各项系数和 考点三 奇次项与偶次项的系数和 考点四 由二项展开式各项系数和求参数 考点五 二项式系数的增减性与最值 考点六 求二项展开式中系数最大的项 考点七 杨辉三角 考点八 二项式定理与数列求和 知识点1 二项式系数的性质 对称性 在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C （注：，直线 将函数 的图象分成对称的两部分， 它是图象的对称轴.） 增减性 与最 大值 增减性：当k<时，二项式系数是逐渐增大的；当k>时，二项式系数是逐渐减小的．最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数，相等，且同时取得最大值 各二项 式系数 的和 (1)C＋C＋C＋…＋C＝2n； (2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1 奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和： 在二项式定理中，令，则， 从而得到： 知识点2 赋值法在求各项系数和中的应用 (1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可． (2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． (3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)， 奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝， 偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝. 知识点3 二项式系数或系数的最值 1、二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数是偶数时，则中间一项的二项式系数取得最大值。如果二项式的幂指数是奇数时，则中间两项的二项式系数,同时取得最大值。 2、系数的最大项：求展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项 系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来。 3、求解二项式系数或系数的最值问题的一般步骤： 第一步，要弄清所求问题是“展开式系数最大”、“二项式系数最大”两者中的哪一个． 第二步，若是求二项式系数的最大值，则依据(a＋b)n中n的奇偶及二次项系数的性质求解．若是求系数的最大值，有两个思路，思路一：由于二项展开式中的系数是关于正整数n的式子，可以看作关于n的数列，通过判断数列单调性的方法从而判断系数的增减性，并根据系数的单调性求出系数的最值；思路二：由于展开式系数是离散型变量，因此在系数均为正值的前提下，求最大值只需解不等式组即可求得答案． 策略方法 1.二项式系数与项的系数的核心区分 （1）二项式系数：仅指，只与有关，恒为正，满足对称性、增减性、求和公式。 （2）项的系数：该项中除字母外全部数字与符号，可正可负，与系数相关，二者不一定相等。 （3）判断口诀：二项式系数看“组合数”，项的系数看“整体数字”。 2.赋值法求各类系数和（最常用、最核心） 设 （1）求所有项系数和 令，得： （2）求常数项（项系数） 令，得： （3）求奇数项系数和 令和，两式相加再除以2： （4）求偶数项系数和 令和，两式相减再除以2： （5）含双变量式子系数和 令，得所有项系数和： 3.二项式系数的三大性质（必考） （1）对称性 与首末两端“等距离”的二项式系数相等： 作用：简化计算，如。 （2）增减性与最值 当时，二项式系数递增； 当时，二项式系数递减； 图象关于对称。 最大值判断： 若为偶数：中间一项系数最大，即第项； 若为奇数：中间两项系数相等且最大，即第、项。 （3）所有二项式系数和 总和： 奇数项二项式系数和=偶数项二项式系数和= 4.二项式系数最大项的求法（固定步骤） (1)看指数是奇数还是偶数； (2)偶→中间1项最大； (3)奇→中间2项最大且相等； (4)写出对应项数与系数。 5.展开式“系数最大项”的求法（高频难点） 适用：求系数最大项（，系数全正） (1)设第项系数最大； (2)列不等式组（同时大于左右相邻两项）： (3)代入通项化简，解出整数； (4)代入得到最大项。 注意： 若系数有正有负，先分离正系数项再比较； 若求最小项，同理列不等式组。 6.杨辉三角与二项式系数的对应 (1)第行对应的二项式系数； (2)每行数字左右对称，满足； (3)每行数字之和为； (4)中间数字最大，向两侧递减； (5)递推：每个数字=肩上两数之和，即。 7.由系数和反求参数（高频考法） (1)令，写出系数和表达式； (2)代入题目给出的系数和； (3)解方程求出参数或； (4)检验参数是否满足。 8.二项式定理与数列求和综合 (1)观察组合数结构，逆用二项式定理化为； (2)常见模型： (3)可结合等差、等比、裂项、倒序相加求和； (4)赋值等得到特殊和。 9.高频易错点（必记） (1)混淆二项式系数与项的系数； (2)求系数和时，符号出错； (3)二项式系数最大项：奇是两项，不是一项； (4)系数最大项漏列“大于左右两项”； (5)杨辉三角行数与指数对应错误； (6)忘记奇数项、偶数项二项式系数和均为。 考点一 二项式系数和问题 1．（2026高二·江苏·月考）在的展开式中，若各二项式系数的和等于64，则__________． 【答案】6 【分析】根据二项式的各二项式系数的和为，建立关于的方程求解. 【详解】由于的展开式中，各二项式系数的和等于，解得：． 2．（2026·安徽安庆·模拟预测）若的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中第3项的系数为（   ） A．112 B．224 C．56 D．28 【答案】A 【详解】由得，∴， ∴第3项系数为. 3．（2026·山东德州·模拟预测）已知的展开式中各项的二项式系数之和为64，则其展开式中的常数项为__________. 【答案】240 【分析】先通过得到，再写出的展开式的通项，令的次数为即可得到常数项. 【详解】由的展开式中，二项式系数之和为64得，， 则的展开式的通项为， 令，得，所以展开式中常数项为. 4．（2026高二·重庆綦江·月考）已知展开式所有二项式系数和为256，则第4项系数为________________. 【答案】 【分析】根据题意，令，求得，结合展开式的通项，即可求解. 【详解】因为展开式所有二项式系数和为256，可得，可得， 则二项式展开式的第4项为， 所以第4项的系数为. 5．（2026高二·贵州贵阳·期中）已知的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为________. 【答案】 【详解】由题意可得，解得， 则展开式的通项， 令，得，则. 6．（2026·北京石景山·模拟预测）若的展开式的二项式系数和为32，则__________，的系数为__________. 【答案】 5 【分析】已知二项式系数和，可求出，再利用通项公式即可求得的系数. 【详解】由题意知，展开式的二项式系数和为32，即，所以， 故展开式的通项公式， 令，可得， 所以展开式中的系数是. 7．（2026高三·四川成都·期末）若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中的系数为__________. 【答案】 【分析】根据二项式系数之和得出，再利用二项展开式的通项公式运算求解. 【详解】二项式系数之和为，所以， 因为的展开式的通项公式为： ， 当时，所以， 则展开式中的系数为. 故答案为：40. 8．（2026高二·北京·期中）已知且该多项式展开式的二项式系数和为64，则（   ） A．21 B．64 C．78 D．156 【答案】A 【分析】根据已知条件求出，结合二项式展开式的通项公式求出值，求和即可. 【详解】由该多项式展开式的二项式系数和为64，得，解得， 则展开式通项公式为， 所以，. 当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，；当时，； 所以. 9．（2026高三·浙江湖州·期中）已知二项式的展开式中，第二项的系数是，则_______，含的奇次项的二项式系数和的值是__________ 【答案】 7 64 【分析】根据二项式展开式的通项公式列方程，解方程求得的值.利用二项式系数公式，结合组合数的计算公式，计算出奇次项的二项式系数和. 【详解】依题意二项式的展开式中，第二项的系数是，即，解得.含的奇次项的二项式系数和为. 故答案为（1）；（2）. 【点睛】本小题主要考查根据二项式展开式项的系数求的值，考查求二项式展开式中指定项的二项式系数和，属于基础题. 考点二 求二项展开式各项系数和 10．（2026高二·江苏盐城·期中）设，则（    ） A．16 B．31 C．32 D．64 【答案】B 【分析】先代入特值求出系数和，再求出，二者作差即为所求. 【详解】当时，， 当时，， 两式相减得. 11．（重庆市2026届高考模拟调研卷（五）数学试题）已知，则（   ） A．16 B．30 C．32 D．60 【答案】B 【分析】对式子两边求两次导数后令得，两边同时除以2即可求出答案. 【详解】因为， 对两边求导得， 对两边再次求导得， 令得， 两边除以2得. 12．（2026高二·江苏镇江·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由二项展开式得到，进而可得，再代入求和即可． 【详解】解：， 则， 所以， 所以 ． 13．（2026高二·河北衡水·月考）若（），则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A：因为，所以多项式最高次项的次数为6， 所以，所以，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：在中， 令，得，所以， 令，得， 所以，故C正确； 对于D：对两边同时求导， 得， 令，得，故D错误. 14．【多选】（2026高二·山东枣庄·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，，所以，A正确； 对于B，令，则， 所以，正确； 对于C，，所以，错误； 对于D，，所以，正确. 15．【多选】（2026高二·江苏无锡·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】通过换元可得，特殊值代入可得A；时结合通项求解即可；令，代入原式求解即可；由通项构造函数，求导代入特殊值即可. 【详解】令，原式可化为， 选项A，令，得，A正确； 选项B，的通项为，求， 即取：，B错误； 选项C，令，得， 因此：，C正确； 选项D，由，得， 即. 求导得： 代入：，D正确. 16．【多选】（2026高二·重庆渝北·期中）已知，且满足，则下列说法正确的是（    ） A．展开式的二项式系数和为 B． C．展开式的各项系数和为 D． 【答案】BD 【详解】由得，， 展开式的二项式系数和为，故A错误； 令得，故B正确； 令得展开式的各项系数和为，故C错误； 令得， 所以，故D正确. 17．【多选】（2026高二·黑龙江大庆·月考）已知，且展开式中所有的二项式系数和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据二项式系数和的性质求出的值，再通过对已知等式进行赋值，结合二项式展开式的性质求解各项系数的值. 【详解】对于A，因为所有的二项式系数和为，则， 所以，故A错误； 对于B，令，则， 即，故B正确， 对于C，令，则， 即，其中， 则，故C正确， 对于D，，， 即，其中， 则，故D正确. 18．【多选】（2026高二·江苏淮安·月考）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据二项式展开式的通项，令，可求得，判断A；令，求得，利用赋值法令，得，从而求得，判断B；利用赋值法，令，，可判断C；对展开式两边求导，再令，可判断D. 【详解】的展开式的通项为. 令，得展开式中的常数项，所以A错误； 令，得展开式中的系数， 令，得， 所以，所以B正确； 当为奇数时，的系数为负数；当为偶数时，的系数为正数. 令，得， 即， 所以，所以C正确； 对两边求导， 得， 令，得，所以D正确. 19．【多选】（2026高二·安徽芜湖·月考）已知，且第4项与第7项的二项式系数相等，则下列说法正确的是（    ） A． B．展开式中的系数和等于二项式系数和 C． D． 【答案】ABC 【详解】由题意可得，则，故A正确； 因为，所以展开式的二项式系数和为，当时，展开式中的系数和为，故B正确； 令，得，令，得， 两式相减可得，故C正确； 令，则， 令，则，所以，故D不正确. 20．（2026·河南濮阳·模拟预测）若，则___________． 【答案】 【分析】利用赋值法，令，和，即可求解. 【详解】由题意得： 令，得， 令，得， 令，得， 所以， 所以. 21．（2026高二·江苏镇江·期中）已知多项式，则的值为__________. 【答案】 【分析】令求出,令，化简即可求解. 【详解】令，可得：， 令，可得：， 即. 考点三 奇次项与偶次项的系数和 22．【多选】（2026高二·河北承德·月考）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】令通过换元得，通过通项公式可得A选项的正确，通过赋值可判断BC选项，通过对二项式展开式求导并赋值可判断D选项. 【详解】令，则，所以， 所以展开式的通项公式为，其中． 所以，故A正确； 令，则，故B错误； 令，则，故C正确； 两边对求导得 ， 令得，故D正确． 23．【多选】（2026高三·湖南长沙·月考）若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】对于ABC，利用赋值法分别判断即可；对于D，对等式两边同时求导，再赋值即可求解判断. 【详解】对于A，令，则，故A正确； 对于BC，令，则， 令，则， 则，，故B错误，C正确； 对于D，由两边同时求导可得： ， 令，则， 所以，故D错误. 故选：AC 24．【多选】（2026高二·江西吉安·期末）若，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】对于A，令，即可判断，对于BC，由，由系数计算公式和令进行判断，对于D，分别令和，得到和，进而可判断. 【详解】对于A，取，得，A错； 对于B,展开式中项的系数为，B对； 对于C，令， 可得二项式， 展开式中各项系数均为正， 即， 又 ，C错； 对于D，取，得， 取，得， 联立解得， 因此，D对. 故选：BD 25．【多选】（2026高二·辽宁锦州·期末）已知，各项系数中若只有最大，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据二项式定理的相关性质及赋值法运算即可. 【详解】由题中只有最大可知，是唯一的最大的二项式系数，因此展开式的中间项为第六项，可得，故A正确； 令，代入等式中可得，故B正确； 由，故C正确； 令，代入可得， 移项可得， 两边同乘，故，故D错误. 故选：ABC. 26．【多选】（2026高二·山东潍坊·月考）已知，则下列选项中正确的是（    ） A． B．展开式中二项式系数的最大值为84 C． D． 【答案】AD 【分析】根据二项式的展开式可判断A；根据二项式系数的性质可判断B，通过赋值可判断CD. 【详解】展开式的通项公式为， ，故A正确； 根据二项式系数的性质，二项式系数的最大值为和，即最大值为，故B错误； 当时，， 当时，， 所以，故C错误； 当时，， 当时，， 所以， 又，则，故D正确. 故选：AD. 27．【多选】（2026高二·浙江杭州·期中）已知，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用二项式定理，结合赋值逐项进行判断即可. 【详解】对于A，由， 可知的展开式中最高次项为6次项，即，故A正确； 对于B，为的系数，则，故B正确； 对于C，令，则， 即，① 令，则，② ①②得：，故C错误； 对于D，令，则， 即，③ ①③得：， 即，故D正确. 28．【多选】（2026高二·辽宁丹东·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据乘法的运算法则，结合赋值法、二项式系数公式逐一判断即可. 【详解】A：二项式展开式中最高次项的指数为， 所以展开式中最高次项的指数为， 所以，因此本选项说法正确； B：展开式中最高次项的指数为，系数为， 所以， 含项的系数为， 中，含项的系数， 所以，因此本选项说法正确； C：在中， 令，得， 令，得， 两式相减，得， 所以本选项说法不正确； D：由上可知，所以本选项说法正确. 故选：ABD 29．【多选】（2026高二·广东中山·期末）设，则下列结论正确的是（    ） A．常数项为2 B．第4项系数为 C．奇数次系数和为32 D．当时，该式的值为2916 【答案】CD 【分析】根据二项展开式的通项公式，结合赋值法，依次判断各个选项即可. 【详解】的展开式的通项为， 对于A：常数项为，故A错误； 对于B：第4项系数即的系数，， 故的系数，故B错误； 对于C：令，得； 令，得， 将两式相减，得，故，故C正确； 对于D：令，得，故D正确. 故选：CD. 30．（2026高二·河北保定·期中）已知，则___________． 【答案】 【详解】令，则， 令，则， 所以，则. 31．（2026高三·北京海淀·开学考试）已知，则的值为________．（用数字作答） 【答案】121 【分析】由二项式展开式的通项公式得出系数的代数计算公式即可求出得解. 【详解】二项式展开式的通项公式为，所以， 故，，， 所以. 32．（2026·山东济南·模拟预测）若，则的值为__________. 【答案】0 【分析】通过赋值，代入即可求解. 【详解】由，令， 则有， 即. 故答案为：0 33．（2026高三·海南·期末）的展开式中所有奇数项的系数和为________． 【答案】121 【详解】展开式的通项为，， 当，2，4时,，，， 其系数和为． 34．（2026高三·贵州遵义·开学考试）若的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a的值为______． 【答案】 【详解】， 令，得①， 令，得②， ①②相减得，则， 因为的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32， 则，解得. 35．（2026高三·山东东营·期末）已知的展开式中的奇数次幂项的系数之和为64，则实数______. 【答案】 【分析】利用赋值法结合条件求解即得. 【详解】设， 令，得①， 令，得②， ①－②得，，由， 所以，解得. 故答案为：. 36．（2026高二·江苏宿迁·期末）在的展开式中，x的奇次项的系数和为______． 【答案】511 【分析】利用赋值法，分别令，作差即可得解. 【详解】设， 令，则， 令，则， 两式相减可得，， 解得. 故答案为：511 考点四 由二项展开式各项系数和求参数 37．【多选】（2026·甘肃武威·模拟预测）已知的展开式中各项的系数之和为0，则（   ） A． B．二项式系数的和为1314 C．展开式中每一项的指数都是偶数 D．展开式中不存在常数项 【答案】AC 【分析】令可判断A；由二项式的系数和可判断B；利用展开式的通项可判断C；在通项中令可判断D. 【详解】对于，令，得，解得，故A正确； 二项式系数的和为，故B错误； 展开式的通项为，因为1314为偶数，所以展开式中每一项的指数都是偶数，故C正确； 令，得，所以展开式中存在常数项，故D错误. 故选：AC. 38．【多选】（2026高二·吉林·开学考试）已知的展开式中各项系数的和为1，则下列结论正确的有（    ） A． B．展开式中不含常数项 C．展开式中项系数为80 D．展开式中各项系数绝对值的和为243 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，利用赋值法求出，再结合二项式定理逐项求解判断. 【详解】对于A，由的展开式中各项系数的和为1，取，得，解得，A正确； 二项式展开式的通项为， 对于B，无整数解，因此展开式中不含常数项，B正确； 对于C，由，得，因此展开式中项系数为，C错误； 对于D，展开式中各项系数绝对值的和，D正确. 故选：ABD 39．【多选】（2026高二·安徽·月考）已知(，a为正常数)的展开式中各项系数的和为729，二项式系数的和为64，则（   ） A． B．展开式中无理项有3项 C．展开式中系数最大的项是第4项 D．展开式中常数项为第5项 【答案】BD 【分析】根据题意得，求出，再由各项系数的和为729，利用赋值法可求出，然后结合二项式的性质逐个分析判断即可. 【详解】依题意得，所以， 因为展开式中各项系数的和为729，令，得， 所以（负值舍去）， 对于A，，故A错误; 对于B，展开式的通项，当时，展开式的对应项为无理项，故B正确; 对于C，展开式中每一项的系数，由，得， 所以，即展开式中第5项的系数最大，故C错误; 对于D，令，得，所以展开式中常数项为第5项，故D正确． 故选：BD 40．【多选】（2026高二·重庆巴南·期中）已知的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（    ） A． B．展开式中奇数项的二项式系数和为256 C．展开式中第6项的系数最大 D．展开式中第8项为常数项 【答案】AC 【分析】根据已知结合组合数的性质，得，令，即可判断A；根据二项式的性质，即可判断B；写出展开式的通项，即可判断C、D． 【详解】对于A，由已知得，，故， 令，，解得，故A正确； 对于B，由二项式定理可知，展开式中奇数项的二项式系数和为，故B错误； 对于C，根据二项式定理可知，展开式的通项为， 显然，系数最大为，即展开式中第6项的系数最大，故C正确； 对于D，当时，即时，， 所以展开式的第9项为常数项，故D错误； 故选：AC． 41．【多选】（2026高三·河北·月考）已知的展开式中所有项的系数之和为1，则（    ） A．展开式的常数项为 B． C．展开式中系数最大的项的系数为80 D．所有幂指数为非负数的项的系数和为 【答案】ACD 【分析】令，根据系数可得，根据二项式定理展开，进而逐项分析判断. 【详解】令，得，解得，B错误； 因为的展开式的通项公式为， 可得， 则，则有： 展开式的常数项为，A正确； 展开式中系数最大的项的系数为80，C正确； 所有幂指数为非负数的项的系数和为，D正确． 故选：ACD. 42．【多选】（2026高三·贵州贵阳·开学考试）已知二项式的展开式中各项的系数的和为128，则下列结论中正确的有（    ） A．展开式共有7项 B．所有二项式系数的和为128 C．只有第4项的二项式系数最大 D．展开式的常数项为 【答案】BD 【分析】首先根据系数和公式求，再根据二项式定理和二项式系数的性质，判断选项. 【详解】由题意可知，当时，，所以， 二项式的展开式共有8项，所有的二项式系数的和为， 其中最大的二项式系数为和，为第4项和第5项，展开式的常数项为， 其中只有BD正确. 故选：BD 考点五 二项式系数的增减性与最值 43．（2026高二·江苏南京·期中）在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则正整数的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【详解】只有第5项的二项式系数最大，则中间项就是第5项， 即，解得. 44．（2026高二·河北保定·期中）已知二项式的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则n的值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】根据二项展开式中二项式系数的特点得到总项数为11. 【详解】根据题意，二项式展开式中只有第6项的二项式系数最大，故只有第6项为二项展开式的中间项，所以二项展开式的总项数为11， 故的值为10. 45．（2026高二·广东东莞·月考）已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据二项展开式的二项式系数的性质，即可求解. 【详解】因为二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，根据二项展开式的性质， 可得中间项的二项式系数最大，所以展开式一共有7项，所以为偶数且，可得. 46．（2026·陕西·模拟预测）若的展开式中第7项的二项式系数最大，则的值不可能是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】A 【分析】分为偶数和为奇数两种情况，分析二项式系数最大的项，结合题意求出的可能值. 【详解】当为偶数时，的展开式中二项式系数最大的项为第项， 令，得； 当为奇数时，的展开式中二项式系数最大的项为第项和第项， 令，得； 令，得. 所以结合选项可知的值不可能是. 47．（2026高二·云南·期中）已知二项式的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为（   ） A．84 B． C．56 D． 【答案】D 【详解】因为二项式的展开式中仅有第5项的二项式系数最大， 所以，所以的展开式的通项为， 令，即，故， 故展开式中的系数为. 48．（2026高三·湖南长沙·月考）若的二项展开式中，有且仅有第5项是二项式系数最大的项，则（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】根据二项式系数的性质确定二项展开式的项数即可求得答案. 【详解】由题意知，二项式系数中只有第5个最大，即最大， 由二项式系数的性质可知，展开式共有9项，故. 故选：A. 49．（2026高二·广东广州·期中）已知的二项式系数的最大值分别为，则正整数（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】根据二项式展开式的系数求出的表达式，然后根据即可求解. 【详解】根据二项式的展开式，的二项式系数的最大值为，即， 的二项式系数的最大值为或且，即， 已知，即，得， 化简得，解得. 考点六 求二项展开式中系数最大的项 50．（2026高二·江苏徐州·月考）的展开式中，系数最大的项是第（    ）项. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出通项公式，可得第项的系数，设第项的系数最大，列不等式解出的范围，从而可得答案 【详解】的展开式通项公式为， 设第项为系数最大的项，则有， 解得，即， 所以的展开式中，系数最大的项是第项. 51．（2026高二·山东泰安·期中）二项式的展开式中，系数最大的项为（    ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 【答案】D 【详解】二项式的展开式的通项公式为， 当为偶数时，，系数为正数，当为奇数时，，系数为负数， 因此只有为偶数时，能取到系数的最大值， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 因此当时，系数为是所有项中最大的系数， ，因此系数最大的项是第7项. 52．（2026高二·重庆·月考）在的展开式中，系数最大的项是（     ） A．第项 B．第项 C．第项 D．第项 【答案】B 【分析】将问题转化为二项式系数最大项的求解，根据二项式系数的单调性可得到结果. 【详解】展开式通项为：， 若系数最大，则最大，即展开式的二项式系数最大， 当时，取得最大值，系数最大的项为第项. 53．（2026高二·全国·课后作业）的展开式中，系数最大的项是（   ） A．第6项 B．第3项 C．第3项和第6项 D．第5项和第7项 【答案】D 【分析】结合通项公式写出展开式各项的系数，根据系数的正负性和二项式系数的性质即可得解. 【详解】因为的展开式的通项公式为， 所以的展开式的各项系数分别为， 第6项系数为，第5项和第7项系数分别为，且， 所以系数最大的项是第5项和第7项. 故选：D 54．（2026高二·全国·课堂例题）已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，其中，则展开式中系数为实数且最大的项为（   ） A．第三项 B．第四项 C．第五项 D．第五项或第六项 【答案】C 【分析】先根据系数比列式计算得出，再应用系数为实数及系数最大得出即可求解. 【详解】． 由，得， 所以， 又， 据此可知当时系数为实数， 实数系数分别为， ，， ， ，， 经比较可知最大值为210，此时，对应第五项. 故选：C． 55．（2026高二·甘肃武威·期末）已知为满足能被9整除的正整数的最小值，则的展开式中，系数最小的项为（    ） A．第6项 B．第7项 C．第11项 D．第6项和第7项 【答案】A 【分析】根据二项式系数和的特征得到，写出的展开式，即可得到能被整除，从而求出的取值，即可确定的值，再根据二项式系数的特征及展开式的通项分析可得. 【详解】， ， ， 所以 ， 显然为正整数， 能被9整除， 又且能被9整除，能被9整除，，则， 因为是满足条件的正整数的最小值，而满足条件的， 故取时，有最小值，所以，所以， 的展开式中，二项式系数最大的项为第6项和第7项， 又的展开式的通项公式为 ， 展开式系数为，要使系数最小，则系数须为负值（即为奇数），且其绝对值最大. 当为奇数时，在时取得最大值，故系数最小的项为第项. 故选：A 56．（2026高三·全国·专题练习）二项式的展开式中系数最大的项是（    ）. A．第项 B．第项 C．第项 D．第项 【答案】B 【分析】根据已知写出二项式展开式通项，结合组合数的性质确定参数，即可得. 【详解】由题设，二项式展开式通项为，， 显然系数最大项对应为偶数，而对于其最大值为或时取得， 综上，系数最大项对应，即第项. 故选：B 57．（2026·甘肃白银·模拟预测）已知展开式的所有二项式系数之和为32，则展开式的各项中系数的最大值为（    ） A．252 B．210 C．120 D．10 【答案】B 【分析】根据二项式系数之和公式求出m， 结合通项公式进行求解即可. 【详解】因为展开式的所有二项式系数之和为32， 所以， 所以的通项公式为 ， 当或6时，展开式的系数最大，其系数最大值为， 故选：B 58．（2026高二·天津河东·期中）已知 的展开式中x的系数为19，求 的展开式中x²的系数的最小值为（   ） A．81 B． C．10 D．9 【答案】A 【分析】根据题意结合二项展开式可得，展开式中的系数为，代入结合二次函数分析最值即可. 【详解】的展开式通项为， 则展开式中x的系数为，即 展开式中的系数为， 且，根据二次函数的知识知，当或10时，上式有最小值， 所以当，或时，项的系数取得最小值81. 故选：A. 59．（2026高三·全国·月考）已知的展开式中唯有第5项的系数最大，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二项式定理展开公式，结合系数最大列出不等式即可求解. 【详解】的展开式的通项为， 由题可知，解得． 故选：A 60．（2026高二·江苏淮安·期中）已知在的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是，则展开式中系数的绝对值最大的是第（    ）项 A．6 B．8 C．9 D．11 【答案】B 【分析】写出展开式的通项公式，由已知可得出，解得.进而写出展开式中系数的绝对值的表达式，列出不等式组，求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，展开式的通项公式为，. 所以，第5项的系数为，第3项的系数为， 由题意知，，整理可得，， 解得或（舍去）， 所以，. 设第项，系数的绝对值最大，该项系数的绝对值为， 则有，即， 整理可得，所以. 又，所以，所以展开式中系数的绝对值最大的是第8项. 故选：B. 61．（2026·浙江·模拟预测）若二项式的展开式中只有第7项的二项式系数最大，若展开式的有理项中第项的系数最大，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】根据条件可得.写出展开式的通项，则当是偶数时，该项为有理项，求得所有的有理项的系数，可解出的值. 【详解】由已知可得，.根据二项式定理，知展开式的通项为 ，显然当是偶数时，该项为有理项， 时，；时，； 时，；时，； 时，；时，； 时，. 经比较可得，，即时系数最大，即展开式的有理项中第5项的系数最大． 故选：A. 62．（2026高二·江苏常州·期中）在的展开式中，系数绝对值最大项是（    ） A．第10项 B．第9项 C．第11项 D．第8项 【答案】B 【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可. 【详解】二项式的通项公式为：， 设第项的系数绝对值最大， 所以有， 因为，所以，所以系数绝对值最大项是第9项， 故选：B 63．（2026高三·江苏常州·期末）已知，则系数中最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二项式定理得到通项公式，结合的奇偶性得到系数的正负，排除AB选项，CD选项进行比较得到结果. 【详解】展开式第项， 为奇数时，；为偶数时，．AB排除 ，． 故选：C 64．（2026高三·河北石家庄·月考）若的展开式中各项的二项式系数之和为512，且第6项的系数最大，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二项式系数之和求得，根据第项的系数最大求得的取值范围. 【详解】由于二项式的展开式中各项的二项式系数之和为512， 所以，即， 展开式的通项公式为， 依题意可知， . 故选：C 65．（2026高二·江苏苏州·月考）在的展开式中，第3项与第8项的二项式系数相等，则展开式中系数最大的项是（    ） A．第6项 B．第5项 C．第5，6项 D．第4，5项 【答案】B 【分析】先求出n=9,再利用项的系数和二项式系数的关系求解 【详解】由题知 ，则n=9, 的展开式中，二项式系数最大为第5项和第6项，即 ，但第6项系数为，故展开式中系数最大的项是第5项 故选：B 考点七 杨辉三角 66．（2026高二·重庆渝北·期中）“杨辉三角”最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，它揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律.如图，由“杨辉三角”下列叙述正确的是（    ） A．第10行中第5个数最大 B．第2025行中从左往右第1012个数与第1013个数相等 C． D．第12行中相邻两个数比值的最大值为12 【答案】D 【分析】根据条件及组合数的运算性质，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】由杨辉三角性质得在第10行里，有11个数，所以第10行中正中间即第6个数最大，故A错误； 第2025行中，第1012个数为，第1013个数为， 由组合数性质得，故B错误； ，故C错误； 根据对称性，只考虑后一项与前一项之比即可， 当且时，， 可得当时，相邻两个数的比值最大，最大值为12，故D正确； 67．（2026高二·湖北·期中）习近平总书记在“十九大”报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（   ） A．第12行中第6个数最大 B．第2026行中从左往右第1013个数与第1014个数相等 C． D．第19行中第8个数与第9个数之比为2:3 【答案】D 【分析】根据条件及组合数的运算性质，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】选项A：由题意得，第12行共有13个数，根据对称性可得，只有第7个数最大，故A错误； 选项B：第2026行共有2027个数，根据对称性可得，只有第1014个数最大， 即第1013个数与第1014个数不相等，故B错误； 选项C： ，故C错误； 选项D：第19行中第8个数为，第9个数为， 则，故D正确. 68．（2026高二·重庆·月考）在探究的展开式的二项式系数性质时，我们把系数列成一张表，借助它发现了一些规律．在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中，出现了这个表，我们称这个表为杨辉三角，如图，第3行到第10行的各行的第4个数的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得到第3行到第10行的各行的第4个数的和为，结合组合数的性质，即可求解. 【详解】由二项式， 可得第3行到第10行的各行的第4个数的和为， 又由组合数的性质知：且 所以，即第3行到第10行的各行的第4个数的和为. 69．（2026高二·北京海淀·期中）蜜蜂是“天才的数学家兼设计师”，下图是一个蜂巢的部分截面，图中竖直线段表示通道，同一高度的若干通道构成层，斜线与竖线的连接处叫交点．第层有条通道，从左至右依次为第条通道．蜜蜂从入口开始自上向下运动，在每个交点处经由左侧斜线和右侧斜线进入通道的可能性相同．蜜蜂到达第层第通道的不同路径数为．例如：，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意知，，，且，可推得，利用组合数求解即可. 【详解】由题意知，，，且. 结合杨辉三角的性质和及递推关系可得， ，所以，即. 因为，，，，， 所以可能取到0,1,2,7,8,9，所以解集为. 70．（2026高二·天津·月考）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的，以下关于杨辉三角的猜想中错误的是（    ） A．由“第行所有数之和为”猜想： B．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数和”猜想： C． D．第29行中从左到右第14与第15个数相等 【答案】D 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，由组合数的性质可得，B正确； 对于C， ，C正确； 对于D，第29行中从左到右第14个数为，第15个数为，两者不相等，D错误. 71．（2026高二·福建福州·期中）在探究的展开式的二项式系数性质时，我们把系数列成一张表，借助它发现了一些规律．在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中，出现了这个表，我们称这个表为杨辉三角，杨辉三角是中国古代数学中十分精彩的篇章．如图1所示，杨辉三角第6行的7个数依次为，．将杨辉三角中第行的第个数乘以，第0行的一个数为0，得到一个新的三角数阵如图2，则在这个新的三角数阵中，第100行的所有数的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据杨辉三角的特性、二项展开公式结合函数的导数分析求解即可. 【详解】由题可得杨辉三角中第行的第个数为，则新的三角数阵中第行的第个数为， 第行的和为：， 设， 两边求导得：， 令得，， 所以第行的和为，第100行的所有数的和为． 72．（2026高二·黑龙江·期末）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中，记载了如图所示的数表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，已知第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前35项和为（    ） A．996 B．995 C．1014 D．1024 【答案】B 【分析】明确杨辉三角每行数字个数及规律以及去掉1后每行数字个数规律，然后确定所求数列前35项在杨辉三角中的位置，利用等比数列求和公式求杨辉三角前行和，再去掉1的个数及第10行对应部分和，从而得到所求数列前35项和. 【详解】杨辉三角第行有个数，且数字之和为，去除两端的1后，第行剩余个数. 第2行去掉1后无数字，第3行去掉1后剩余1个数字，第4行去掉1后剩余2个数字，， 第行去掉1后剩余个数字； 那么， 当时，，即前9行去掉1后有28个数. 所以此数列的前35项应包含第10行前7个数字. 杨辉三角前行和为， 前9行和为，而前9行中两端的1共有（第1行1个，后面8行各2个）. 第10行数字为1，9，36，84，126，126，84，36，9，1， 去除首尾的1后为9，36，84，126，126，84，36，9， 前7个数字和为. 所以此数列的前35项和为. 故选：B. 73．（2026高二·山东·月考）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ） A．在第10行中第5个数最大 B．第2023行中第1011个数和第1012个数相等 C． D．第6行的第7个数､第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 【答案】D 【分析】根据杨辉三角每一行的数字与组合数的对应关系，结合组合数的运算性质，依次判断选项. 【详解】对于A，因“杨辉三角”的第10行中第5个数是，又，故A错误； 对于B，因“杨辉三角”的第2023行中第1011个数和第1012个数分别为和， 因，故，故B错误； 对于C，因， ……… 则，故C错误； 对于D，因，而，故D正确. 故选：D 74．（2026高二·广东中山·月考）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论错误的是（   ） 第0行                  1 第1行                1  1 第2行              1  2  1 第3行            1  3  3  1 第4行          1  4  6  4  1 第5行        1  5  10  10  5  1 第6行      1  6  15  20  15  6  1 第7行     1  7  21  35  35  21  7  1 第8行    1  8  28  56  70  56  28  8  1           …… A．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 B．第2023行中第1012个数和第1013个数相等 C．记“杨辉三角”第n行的第i个数为，则 D．第34行中第15个数与第16个数之比为 【答案】D 【分析】A选项，分别得到第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数，第9行的第8个数，得到A正确；B选项，第2023行中第1012个数为，第1013个数为，结合组合知识得到B正确；C选项，先得到，得到；D选项，第15个数与第16个数之比为. 【详解】A选项，第6行的第7个数为1，第7行的第7个数为7，第8行的第7个数为28， 它们之和等于36，第9行的第8个数是，A正确； B选项，第2023行是二项式的展开式的系数， 故第2023行中第1012个数为，第1013个数为，又，B正确； C选项，“杨辉三角”第n行是二项式的展开式的系数，所以， ，C正确； D选项，第34行是二项式的展开式的系数， 所以第15个数与第16个数之比为，D错误． 故选：D． 考点八 二项式定理与数列求和 75．（2026高三·全国·专题练习）若，且，则自然数n的值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】利用二项式定理中的赋值法求解即可. 【详解】令，则 ， 所以，，所以． 故选：B. 76．（2026·江西·模拟预测）设，则（    ） A．21 B．64 C．78 D．156 【答案】A 【分析】首先写出展开式的通项，再根据等差数列前项和公式计算可得； 【详解】解：的展开式的通项为，， 所以. 故选：A. 77．（2026高三·全国·专题练习）已知，则（    ） A．-2 B．-1 C．0 D．2 【答案】B 【分析】根据题意，分别令和，代入计算即可求解. 【详解】根据题意，令，得， 令，得， 因此. 故选：B. 78．（2026高三·重庆江北·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件结合组合数计算公式变形和式的通项，再借助二项式性质即可得解. 【详解】依题意，， 当时，， 于是得 . 故选：B 79．（2026高二·全国·课后作业）已知，展开式中的系数为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题知，进而整理化简，并根据裂项求和法计算即可得答案. 【详解】∵，展开式中的系数为， ∴则 ， 故选：B． 【点睛】本题考查二项式定理的应用，裂项求和法求和，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据已知条件求得，进而将问题转化为裂项求和问题求解即可. 80．（2026高二·重庆·月考）若，则 A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】在所给的等式中，分别令，，可得要求式子的值． 【详解】，令，可得． 再令，可得， 则. 故选：D. 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，是给变量赋值问题，属于基础题． 81．（2026高二·浙江温州·月考）已知二项式（其中）的展开式中，所有项的系数和为． (1)求的值，并指出展开式中的常数项是展开式中的第几项； (2)设该二项式展开式的各项系数依次为，数列满足，，求数列的前项和． 【答案】(1)，第1014项； (2) 【分析】（1）将代入即可求出，写出二项式展开项的通项公式，令，即可求出答案； （2）由（1）知，，根据可得，列出，结合的展开式即可求出答案. 【详解】（1）由题意知， 又，所以，即， 二项式展开项的通项公式为， 令，解得， 所以展开式中的常数项是展开式中的第项. （2）由（1）知，， 则， 因为， 所以， 所以 . 82．（2026高二·陕西西安·月考）已知，令. (1)求数列的通项公式； (2)求的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由二项式定理，将展开式逆用，可得答案； （2）利用裂项相消，可得答案. 【详解】（1）由，则. （2）， . 83．（2026高三·浙江温州·期末）已知等差数列的前项和为，，，数列满足． (1)求数列、的通项公式； (2)将数列、的公共项从小到大排列组成新的数列，求的前项和． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据已知条件可得关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得数列的通项公式；当时，由得出，两式作差可得在时的表达式，然后验证即可得数列的通项公式； （2）分为奇数、偶数两种情况讨论，利用二项式定理化简的表达式，可得出数列的通项公式，再利用分组求和法可求得的表达式. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，得，得，， 所以， 当时，由①， 得②，          ①②得，所以， 当时，，可得，也满足，所以. （2）因为， ， 当为偶数时，， 此时被除余，为数列中的项； 当为奇数时，， 此时被整除，不为数列中的项， 所以， . 84．（2026高三·全国·专题练习）设数列的前项和为，已知． (1)若，求的值； (2)若，设．证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）解法一：根据已知等式构造新数列求得，结合求得，根据等比数列求和公式计算参数；解法二：由①，当时，解得．当时，得②，①－②知数列是首项为2，公比为2的等比数列，根据等比数列求和公式计算参数； （2）提取，利用等比求和得表达式，进而由二项式展开式的特征化简，即可得证 【详解】（1）解法一：因为，即， 所以，且， 故是首项为4，公比为2的等比数列，则，故． 当时，． 则，且满足该通项公式， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，故． 则，即，解得． 解法二：因为①， 当时，，又，解得． 当时，②，①－②得，即． 又，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，故． 则，即，解得． （2）由（1）可知， ． 由二项式定理得 ， 即． 85．（2026高三·天津·月考）已知数列满足，，数列满足， (1)求、、的值，并证明数列是等比数列； (2)证明：； (3)表示不超过的最大整数，如，，设，求数列的前项和． 【答案】(1)，，，证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据递推公式可求出、、的值，结合等比数列的定义可证得结论成立； （2）化简得出，利用裂项相消法可证得结论成立； （3）利用二项式定理化简得出，再利用分组求和法可求得数列的前项和． 【详解】（1）因为数列满足，， 则，，，， 又因为，所以，，， 所以，且， 所以数列是首项和公比均为的等比数列. （2）由（1）可得， 所以 ， 因此， . （3）当时，， 此时， 显然， 所以， ， 所以，显然，， 所以， 所以，， 又因为也满足， 故对任意的，， 所以，数列的前项和为 . $【考点通关】2025-2026学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第三册) 专题05 二项式系数的性质8种常见考法归类（85题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 二项式系数和问题 考点二 求二项展开式各项系数和 考点三 奇次项与偶次项的系数和 考点四 由二项展开式各项系数和求参数 考点五 二项式系数的增减性与最值 考点六 求二项展开式中系数最大的项 考点七 杨辉三角 考点八 二项式定理与数列求和 知识点1 二项式系数的性质 对称性 在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C （注：，直线 将函数 的图象分成对称的两部分， 它是图象的对称轴.） 增减性 与最 大值 增减性：当k<时，二项式系数是逐渐增大的；当k>时，二项式系数是逐渐减小的．最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数，相等，且同时取得最大值 各二项 式系数 的和 (1)C＋C＋C＋…＋C＝2n； (2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1 奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和： 在二项式定理中，令，则， 从而得到： 知识点2 赋值法在求各项系数和中的应用 (1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可． (2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． (3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)， 奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝， 偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝. 知识点3 二项式系数或系数的最值 1、二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数是偶数时，则中间一项的二项式系数取得最大值。如果二项式的幂指数是奇数时，则中间两项的二项式系数,同时取得最大值。 2、系数的最大项：求展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项 系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来。 3、求解二项式系数或系数的最值问题的一般步骤： 第一步，要弄清所求问题是“展开式系数最大”、“二项式系数最大”两者中的哪一个． 第二步，若是求二项式系数的最大值，则依据(a＋b)n中n的奇偶及二次项系数的性质求解．若是求系数的最大值，有两个思路，思路一：由于二项展开式中的系数是关于正整数n的式子，可以看作关于n的数列，通过判断数列单调性的方法从而判断系数的增减性，并根据系数的单调性求出系数的最值；思路二：由于展开式系数是离散型变量，因此在系数均为正值的前提下，求最大值只需解不等式组即可求得答案． 策略方法 1.二项式系数与项的系数的核心区分 （1）二项式系数：仅指，只与有关，恒为正，满足对称性、增减性、求和公式。 （2）项的系数：该项中除字母外全部数字与符号，可正可负，与系数相关，二者不一定相等。 （3）判断口诀：二项式系数看“组合数”，项的系数看“整体数字”。 2.赋值法求各类系数和（最常用、最核心） 设 （1）求所有项系数和 令，得： （2）求常数项（项系数） 令，得： （3）求奇数项系数和 令和，两式相加再除以2： （4）求偶数项系数和 令和，两式相减再除以2： （5）含双变量式子系数和 令，得所有项系数和： 3.二项式系数的三大性质（必考） （1）对称性 与首末两端“等距离”的二项式系数相等： 作用：简化计算，如。 （2）增减性与最值 当时，二项式系数递增； 当时，二项式系数递减； 图象关于对称。 最大值判断： 若为偶数：中间一项系数最大，即第项； 若为奇数：中间两项系数相等且最大，即第、项。 （3）所有二项式系数和 总和： 奇数项二项式系数和=偶数项二项式系数和= 4.二项式系数最大项的求法（固定步骤） (1)看指数是奇数还是偶数； (2)偶→中间1项最大； (3)奇→中间2项最大且相等； (4)写出对应项数与系数。 5.展开式“系数最大项”的求法（高频难点） 适用：求系数最大项（，系数全正） (1)设第项系数最大； (2)列不等式组（同时大于左右相邻两项）： (3)代入通项化简，解出整数； (4)代入得到最大项。 注意： 若系数有正有负，先分离正系数项再比较； 若求最小项，同理列不等式组。 6.杨辉三角与二项式系数的对应 (1)第行对应的二项式系数； (2)每行数字左右对称，满足； (3)每行数字之和为； (4)中间数字最大，向两侧递减； (5)递推：每个数字=肩上两数之和，即。 7.由系数和反求参数（高频考法） (1)令，写出系数和表达式； (2)代入题目给出的系数和； (3)解方程求出参数或； (4)检验参数是否满足。 8.二项式定理与数列求和综合 (1)观察组合数结构，逆用二项式定理化为； (2)常见模型： (3)可结合等差、等比、裂项、倒序相加求和； (4)赋值等得到特殊和。 9.高频易错点（必记） (1)混淆二项式系数与项的系数； (2)求系数和时，符号出错； (3)二项式系数最大项：奇是两项，不是一项； (4)系数最大项漏列“大于左右两项”； (5)杨辉三角行数与指数对应错误； (6)忘记奇数项、偶数项二项式系数和均为。 考点一 二项式系数和问题 1．（2026高二·江苏·月考）在的展开式中，若各二项式系数的和等于64，则__________． 2．（2026·安徽安庆·模拟预测）若的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中第3项的系数为（   ） A．112 B．224 C．56 D．28 3．（2026·山东德州·模拟预测）已知的展开式中各项的二项式系数之和为64，则其展开式中的常数项为__________. 4．（2026高二·重庆綦江·月考）已知展开式所有二项式系数和为256，则第4项系数为________________. 5．（2026高二·贵州贵阳·期中）已知的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为________. 6．（2026·北京石景山·模拟预测）若的展开式的二项式系数和为32，则__________，的系数为__________. 7．（2026高三·四川成都·期末）若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中的系数为__________. 8．（2026高二·北京·期中）已知且该多项式展开式的二项式系数和为64，则（   ） A．21 B．64 C．78 D．156 9．（2026高三·浙江湖州·期中）已知二项式的展开式中，第二项的系数是，则_______，含的奇次项的二项式系数和的值是__________ 考点二 求二项展开式各项系数和 10．（2026高二·江苏盐城·期中）设，则（    ） A．16 B．31 C．32 D．64 11．（重庆市2026届高考模拟调研卷（五）数学试题）已知，则（   ） A．16 B．30 C．32 D．60 12．（2026高二·江苏镇江·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 13．（2026高二·河北衡水·月考）若（），则（ ） A． B． C． D． 14．【多选】（2026高二·山东枣庄·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 15．【多选】（2026高二·江苏无锡·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 16．【多选】（2026高二·重庆渝北·期中）已知，且满足，则下列说法正确的是（    ） A．展开式的二项式系数和为 B． C．展开式的各项系数和为 D． 17．【多选】（2026高二·黑龙江大庆·月考）已知，且展开式中所有的二项式系数和为，则（    ） A． B． C． D． 18．【多选】（2026高二·江苏淮安·月考）若，则（   ） A． B． C． D． 19．【多选】（2026高二·安徽芜湖·月考）已知，且第4项与第7项的二项式系数相等，则下列说法正确的是（    ） A． B．展开式中的系数和等于二项式系数和 C． D． 20．（2026·河南濮阳·模拟预测）若，则___________． 21．（2026高二·江苏镇江·期中）已知多项式，则的值为__________. 考点三 奇次项与偶次项的系数和 22．【多选】（2026高二·河北承德·月考）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 23．【多选】（2026高三·湖南长沙·月考）若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 24．【多选】（2026高二·江西吉安·期末）若，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 25．【多选】（2026高二·辽宁锦州·期末）已知，各项系数中若只有最大，则（   ） A． B． C． D． 26．【多选】（2026高二·山东潍坊·月考）已知，则下列选项中正确的是（    ） A． B．展开式中二项式系数的最大值为84 C． D． 27．【多选】（2026高二·浙江杭州·期中）已知，，则（    ）． A． B． C． D． 28．【多选】（2026高二·辽宁丹东·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 29．【多选】（2026高二·广东中山·期末）设，则下列结论正确的是（    ） A．常数项为2 B．第4项系数为 C．奇数次系数和为32 D．当时，该式的值为2916 30．（2026高二·河北保定·期中）已知，则___________． 31．（2026高三·北京海淀·开学考试）已知，则的值为________．（用数字作答） 32．（2026·山东济南·模拟预测）若，则的值为__________. 33．（2026高三·海南·期末）的展开式中所有奇数项的系数和为________． 34．（2026高三·贵州遵义·开学考试）若的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a的值为______． 35．（2026高三·山东东营·期末）已知的展开式中的奇数次幂项的系数之和为64，则实数______. 36．（2026高二·江苏宿迁·期末）在的展开式中，x的奇次项的系数和为______． 考点四 由二项展开式各项系数和求参数 37．【多选】（2026·甘肃武威·模拟预测）已知的展开式中各项的系数之和为0，则（   ） A． B．二项式系数的和为1314 C．展开式中每一项的指数都是偶数 D．展开式中不存在常数项 38．【多选】（2026高二·吉林·开学考试）已知的展开式中各项系数的和为1，则下列结论正确的有（    ） A． B．展开式中不含常数项 C．展开式中项系数为80 D．展开式中各项系数绝对值的和为243 39．【多选】（2026高二·安徽·月考）已知(，a为正常数)的展开式中各项系数的和为729，二项式系数的和为64，则（   ） A． B．展开式中无理项有3项 C．展开式中系数最大的项是第4项 D．展开式中常数项为第5项 40．【多选】（2026高二·重庆巴南·期中）已知的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（    ） A． B．展开式中奇数项的二项式系数和为256 C．展开式中第6项的系数最大 D．展开式中第8项为常数项 41．【多选】（2026高三·河北·月考）已知的展开式中所有项的系数之和为1，则（    ） A．展开式的常数项为 B． C．展开式中系数最大的项的系数为80 D．所有幂指数为非负数的项的系数和为 42．【多选】（2026高三·贵州贵阳·开学考试）已知二项式的展开式中各项的系数的和为128，则下列结论中正确的有（    ） A．展开式共有7项 B．所有二项式系数的和为128 C．只有第4项的二项式系数最大 D．展开式的常数项为 考点五 二项式系数的增减性与最值 43．（2026高二·江苏南京·期中）在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则正整数的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 44．（2026高二·河北保定·期中）已知二项式的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则n的值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 45．（2026高二·广东东莞·月考）已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 46．（2026·陕西·模拟预测）若的展开式中第7项的二项式系数最大，则的值不可能是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 47．（2026高二·云南·期中）已知二项式的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为（   ） A．84 B． C．56 D． 48．（2026高三·湖南长沙·月考）若的二项展开式中，有且仅有第5项是二项式系数最大的项，则（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 49．（2026高二·广东广州·期中）已知的二项式系数的最大值分别为，则正整数（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 考点六 求二项展开式中系数最大的项 50．（2026高二·江苏徐州·月考）的展开式中，系数最大的项是第（    ）项. A． B． C． D． 51．（2026高二·山东泰安·期中）二项式的展开式中，系数最大的项为（    ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 52．（2026高二·重庆·月考）在的展开式中，系数最大的项是（     ） A．第项 B．第项 C．第项 D．第项 53．（2026高二·全国·课后作业）的展开式中，系数最大的项是（   ） A．第6项 B．第3项 C．第3项和第6项 D．第5项和第7项 54．（2026高二·全国·课堂例题）已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，其中，则展开式中系数为实数且最大的项为（   ） A．第三项 B．第四项 C．第五项 D．第五项或第六项 55．（2026高二·甘肃武威·期末）已知为满足能被9整除的正整数的最小值，则的展开式中，系数最小的项为（    ） A．第6项 B．第7项 C．第11项 D．第6项和第7项 56．（2026高三·全国·专题练习）二项式的展开式中系数最大的项是（    ）. A．第项 B．第项 C．第项 D．第项 57．（2026·甘肃白银·模拟预测）已知展开式的所有二项式系数之和为32，则展开式的各项中系数的最大值为（    ） A．252 B．210 C．120 D．10 58．（2026高二·天津河东·期中）已知 的展开式中x的系数为19，求 的展开式中x²的系数的最小值为（   ） A．81 B． C．10 D．9 59．（2026高三·全国·月考）已知的展开式中唯有第5项的系数最大，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 60．（2026高二·江苏淮安·期中）已知在的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是，则展开式中系数的绝对值最大的是第（    ）项 A．6 B．8 C．9 D．11 61．（2026·浙江·模拟预测）若二项式的展开式中只有第7项的二项式系数最大，若展开式的有理项中第项的系数最大，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 62．（2026高二·江苏常州·期中）在的展开式中，系数绝对值最大项是（    ） A．第10项 B．第9项 C．第11项 D．第8项 63．（2026高三·江苏常州·期末）已知，则系数中最小的是（    ） A． B． C． D． 64．（2026高三·河北石家庄·月考）若的展开式中各项的二项式系数之和为512，且第6项的系数最大，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 65．（2026高二·江苏苏州·月考）在的展开式中，第3项与第8项的二项式系数相等，则展开式中系数最大的项是（    ） A．第6项 B．第5项 C．第5，6项 D．第4，5项 考点七 杨辉三角 66．（2026高二·重庆渝北·期中）“杨辉三角”最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，它揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律.如图，由“杨辉三角”下列叙述正确的是（    ） A．第10行中第5个数最大 B．第2025行中从左往右第1012个数与第1013个数相等 C． D．第12行中相邻两个数比值的最大值为12 67．（2026高二·湖北·期中）习近平总书记在“十九大”报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（   ） A．第12行中第6个数最大 B．第2026行中从左往右第1013个数与第1014个数相等 C． D．第19行中第8个数与第9个数之比为2:3 68．（2026高二·重庆·月考）在探究的展开式的二项式系数性质时，我们把系数列成一张表，借助它发现了一些规律．在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中，出现了这个表，我们称这个表为杨辉三角，如图，第3行到第10行的各行的第4个数的和为（   ） A． B． C． D． 69．（2026高二·北京海淀·期中）蜜蜂是“天才的数学家兼设计师”，下图是一个蜂巢的部分截面，图中竖直线段表示通道，同一高度的若干通道构成层，斜线与竖线的连接处叫交点．第层有条通道，从左至右依次为第条通道．蜜蜂从入口开始自上向下运动，在每个交点处经由左侧斜线和右侧斜线进入通道的可能性相同．蜜蜂到达第层第通道的不同路径数为．例如：，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 70．（2026高二·天津·月考）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的，以下关于杨辉三角的猜想中错误的是（    ） A．由“第行所有数之和为”猜想： B．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数和”猜想： C． D．第29行中从左到右第14与第15个数相等 71．（2026高二·福建福州·期中）在探究的展开式的二项式系数性质时，我们把系数列成一张表，借助它发现了一些规律．在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中，出现了这个表，我们称这个表为杨辉三角，杨辉三角是中国古代数学中十分精彩的篇章．如图1所示，杨辉三角第6行的7个数依次为，．将杨辉三角中第行的第个数乘以，第0行的一个数为0，得到一个新的三角数阵如图2，则在这个新的三角数阵中，第100行的所有数的和为（   ） A． B． C． D． 72．（2026高二·黑龙江·期末）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中，记载了如图所示的数表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，已知第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前35项和为（    ） A．996 B．995 C．1014 D．1024 73．（2026高二·山东·月考）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ） A．在第10行中第5个数最大 B．第2023行中第1011个数和第1012个数相等 C． D．第6行的第7个数､第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 74．（2026高二·广东中山·月考）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论错误的是（   ） 第0行                  1 第1行                1  1 第2行              1  2  1 第3行            1  3  3  1 第4行          1  4  6  4  1 第5行        1  5  10  10  5  1 第6行      1  6  15  20  15  6  1 第7行     1  7  21  35  35  21  7  1 第8行    1  8  28  56  70  56  28  8  1           …… A．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 B．第2023行中第1012个数和第1013个数相等 C．记“杨辉三角”第n行的第i个数为，则 D．第34行中第15个数与第16个数之比为 考点八 二项式定理与数列求和 75．（2026高三·全国·专题练习）若，且，则自然数n的值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 76．（2026·江西·模拟预测）设，则（    ） A．21 B．64 C．78 D．156 77．（2026高三·全国·专题练习）已知，则（    ） A．-2 B．-1 C．0 D．2 78．（2026高三·重庆江北·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 79．（2026高二·全国·课后作业）已知，展开式中的系数为，则等于（    ） A． B． C． D． 80．（2026高二·重庆·月考）若，则 A．2 B．1 C． D． 81．（2026高二·浙江温州·月考）已知二项式（其中）的展开式中，所有项的系数和为． (1)求的值，并指出展开式中的常数项是展开式中的第几项； (2)设该二项式展开式的各项系数依次为，数列满足，，求数列的前项和． 82．（2026高二·陕西西安·月考）已知，令. (1)求数列的通项公式； (2)求的前项和. 83．（2026高三·浙江温州·期末）已知等差数列的前项和为，，，数列满足． (1)求数列、的通项公式； (2)将数列、的公共项从小到大排列组成新的数列，求的前项和． 84．（2026高三·全国·专题练习）设数列的前项和为，已知． (1)若，求的值； (2)若，设．证明：． 85．（2026高三·天津·月考）已知数列满足，，数列满足， (1)求、、的值，并证明数列是等比数列； (2)证明：； (3)表示不超过的最大整数，如，，设，求数列的前项和． $