精品解析：四川凉山州西昌市2025-2026学年高一下学期期中数学试题

2025—2026学年度下期期中质量监测评估 高一数学 注意事项： 1．本试卷分为选择题和非选择题两部分，试题卷4页，答题卡6页.全卷满分为150分，考试时间120分钟. 2．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上. 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 4．回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 5．考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知（其中是虚数单位），则的共轭复数为（ ） A. 2 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简复数，再求共轭复数. 【详解】，则. 2. 下列各组向量中，能作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】若两个向量、共线，则有， 而基底要求两个不共线的向量构成， 对于A，零向量与任何向量都共线，因此不能作为基底，故A错误； 对于B，，两向量共线，不能作为基底，故B错误； 对于C，，两向量共线，不能作为基底，故C错误； 对于D，，两向量不共线，可以作为基底，故D正确． 3. 在中，已知则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理，通过计算即可得到答案. 【详解】因为在中有，由余弦定理得： 所以 故选：B 【点睛】本题考查余弦定理的简单运用，属基础题. 4. 已知向量，，若与共线，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】， 因为与共线，故，故. 5. 在中，，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据三角形的面积公式计算即可. 【详解】依题意，在中，，，， 则的面积为. 故选：C. 6. 已知平面向量，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量的定义计算即得. 【详解】∵，∴， 所以在上的投影向量为：. 故选：A. 7. 某公司要测量一水塔的高度，测量人员在地面选择了，两个观测点，且，，三点在同一直线上，如图所示，在处测得该水塔顶端的仰角为，在处测得该水塔顶端的仰角为.若，，则水塔的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在中，结合正弦定理可得，进而在中解三角形即可求出结果. 【详解】由题意可知：，在中，结合正弦定理可得，又因为，所以，在中，，则， 故选：B 8. 已知G为的重心，过G的直线与AB，AC边分别交于M，N点，若，，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】结合向量线性运算用表示，再利用共线向量定理的推论及基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由G为的重心，得，则， 整理得，而， 因此，而共线，则， 于是， 当且仅当时取等号，所以的最小值为. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，有错选得0分；若本题正确答案为2项，则选对1个得3分；若本题正确答案为3项，则选对1个得2分，选对2个得4分. 9. 下列各式的值为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意结合三角恒等变换逐项分析运算即可判断. 【详解】对于选项A：，故A正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：，故C错误； 对于选项D：，故D错误； 故选：AB. 10. 在中，（ ） A. 若，则 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则为钝角三角形 D. 若是锐角，，则为锐角三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】由正弦定理求得，得到，可判定A正确；由，得到或，得到为等腰或直角三角形，可判定B错误；由，结合，得到，判定C正确；由，得到，得到，得到，可判定D正确. 【详解】对于A，设的外接圆的半径为， 若，由正弦定理得，则，所以，所以A正确； 对于B中，因为，可得，且， 若，可得或，即或， 所以为等腰或直角三角形，所以B错误； 对于C中，因为，可得， 若，则，可得，即为钝角， 所以为钝角三角形，所以C正确； 对于D中，因为，可得 若，可得， 由函数在上为单调递增函数，所以，即， 又因为，则，所以为锐角三角形，所以D正确. 故选：ACD. 11. 已知复数在复平面上对应的点为，复数满足，则下列结论中正确的是（ ）. A. 点的坐标为 B. C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据复数的几何意义，以及共轭复数的定义，即可判断AB；根据复数减法的几何意义确定复数对应的点的轨迹，再利用数形结合求两点间距离的最值，即可判断CD. 【详解】由在复平面内对应的点为，故A正确； 又，所以，故B正确； 设，，所以， 所以，所以复数在复平面内对应的点，在以圆心为圆心，半径为的圆上， 又， 所以表示的是复数和在复平面内对应的两点之间的距离，即， 又， 所以的最大值为，故C正确； 所以的最小值为，故D错误； 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设为虚数单位，则_________． 【答案】 【解析】 【详解】由题可得：， . 13. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则角A的大小为______． 【答案】## 【解析】 【分析】余弦定理结合已知条件直接求解即可． 【详解】解：因为， 所以， 因此， 又因为，所以. 故答案为: 14. 函数，设为函数的最小正周期，，且函数在上单调递增，则的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用两角和的正弦公式对函数化简，得到，再由求出​，最后根据正弦函数的递增区间列出不等式求解即得的取值范围． 【详解】因 ， 则，于是，即， 因为，所以，因此， 由，得， 又因函数在上单调递增，则，解得， 又，所以． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）已知，，求的值； （2）已知，，求，的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【小问1详解】 由，，得， 所以． 【小问2详解】 ， ． 16. 已知向量，，． （1）若，求； （2）若，求与夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量平行的充要条件，求出，再利用向量数量积的坐标运算求解； （2）根据两向量垂直数量积为求出，再利用向量夹角余弦值的公式求解； 【小问1详解】 因为，所以，即，所以 所以； 【小问2详解】 因为，所以，所以， 所以，而， 所以. 17. 在中，角A，B所对的边长分别为a，b，若． （1）求角A的大小； （2）若为锐角三角形，，求面积S的最大值． 【答案】（1）或； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理求解. （2）利用正弦定理、三角形面积公式，结合和差角的正弦公式、二倍角的余弦公式求出最大值. 【小问1详解】 在中，由和正弦定理，可得， 解得，而， 所以或. 【小问2详解】 由（1）及为锐角三角形，得，， 令，， 由正弦定理得，则， 因此的面积 ， 由，得， 则当时，， 所以面积S的最大值为. 18. 已知函数在一个周期内的图象如图所示，其中点A为图象上的最高点，点B，C为图象与x轴的两个相邻交点，且，． （1）求的解析式； （2）当时，求的值域； （3）将函数的图像向右平移后得到，若恒成立，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接根据图像即可求得的解析式； （2）直接求出的范围，再根据这个范围求解出对应的值域即可； （3）求出的解析式，再求出的解析式及其最大值即可． 【小问1详解】 由图像可得，，解得， 所以，故， 将代入可得，解得：， 结合，得，所以． 【小问2详解】 当时，， 当，即时，，此时， 当，即时，， 此时，因此，值域为． 【小问3详解】 由题意可得， 所以， 易知的最大值为，所以． 19. 设Ox、Oy是平面内相交成的两条射线，、分别是与Ox、Oy同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为仿射坐标系，仿射坐标系中，对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数使得，我们把有序实数对叫做向量的仿射坐标，记作．已知在如图所示的仿射坐标系中，B，C分别在x轴、y轴正半轴上，点D、F分别为OC、BC的中点，且． （1）若仿射坐标系中，，请用与的坐标表示； （2）在仿射坐标系中，若， ①求与的仿射坐标； ②求． （3）在仿射坐标系中，若，，，求的最大值． 【答案】（1） （2）①，；② （3） 【解析】 【分析】（1）利用仿射坐标的定义和向量数量积的运算律进行求解； （2）①根据中点、向量的线性运算分别求出与，写出对应的仿射坐标； ②将①问求出的坐标代入（1）问的公式求解； （3）利用（1）问求出，再利用正弦定理、辅助角公式、三角函数的性质求解. 【小问1详解】 因为，，所以， 所以 ； 【小问2详解】 ①由题可知， 因为F为BC的中点，所以 所以的仿射坐标为， ， 所以的仿射坐标为； ②由（1）可知 【小问3详解】 由（2）知，， 所以，， ， 在中，根据正弦定理得：， 即 设，所以， 所以 ，其中， 所以的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度下期期中质量监测评估 高一数学 注意事项： 1．本试卷分为选择题和非选择题两部分，试题卷4页，答题卡6页.全卷满分为150分，考试时间120分钟. 2．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上. 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 4．回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 5．考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知（其中是虚数单位），则的共轭复数为（ ） A. 2 B. 2 C. D. 2. 下列各组向量中，能作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 在中，已知则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，若与共线，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 在中，，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知平面向量，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 某公司要测量一水塔的高度，测量人员在地面选择了，两个观测点，且，，三点在同一直线上，如图所示，在处测得该水塔顶端的仰角为，在处测得该水塔顶端的仰角为.若，，则水塔的高度为（ ） A. B. C. D. 8. 已知G为的重心，过G的直线与AB，AC边分别交于M，N点，若，，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，有错选得0分；若本题正确答案为2项，则选对1个得3分；若本题正确答案为3项，则选对1个得2分，选对2个得4分. 9. 下列各式的值为的是（ ） A. B. C. D. 10. 在中，（ ） A. 若，则 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则为钝角三角形 D. 若是锐角，，则为锐角三角形 11. 已知复数在复平面上对应的点为，复数满足，则下列结论中正确的是（ ）. A. 点的坐标为 B. C. 的最大值为 D. 的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设为虚数单位，则_________． 13. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则角A的大小为______． 14. 函数，设为函数的最小正周期，，且函数在上单调递增，则的取值范围为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）已知，，求的值； （2）已知，，求，的值． 16. 已知向量，，． （1）若，求； （2）若，求与夹角的余弦值． 17. 在中，角A，B所对的边长分别为a，b，若． （1）求角A的大小； （2）若为锐角三角形，，求面积S的最大值． 18. 已知函数在一个周期内的图象如图所示，其中点A为图象上的最高点，点B，C为图象与x轴的两个相邻交点，且，． （1）求的解析式； （2）当时，求的值域； （3）将函数的图像向右平移后得到，若恒成立，求m的取值范围． 19. 设Ox、Oy是平面内相交成的两条射线，、分别是与Ox、Oy同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为仿射坐标系，仿射坐标系中，对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数使得，我们把有序实数对叫做向量的仿射坐标，记作．已知在如图所示的仿射坐标系中，B，C分别在x轴、y轴正半轴上，点D、F分别为OC、BC的中点，且． （1）若仿射坐标系中，，请用与的坐标表示； （2）在仿射坐标系中，若， ①求与的仿射坐标； ②求． （3）在仿射坐标系中，若，，，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $