精品解析：四川省凉山州西昌市2024-2025学年高一下学期期中检测数学试题

西昌市2024—2025学年度下期期中检测 高一数学 本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，试题卷4页，答题卡2页.全卷满分为150分，考试时间120分钟. 答题前考生务必将自己的姓名､准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置；选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，其他试题用0.5毫米签字笔书写在答题卡对应题框内，不得超越题框区域.考试结束后将答题卡收回. 第I卷选择题（共58分） 一､单项选择题：本题有8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由两角和的正弦公式即可求解. 【详解】, 故选：C 2. 复数（为虚数单位）在复平面内所对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的除法运算得到代数形式，即可判断. 【详解】， 其实部为，虚部为， 所以在复平面内所对应的点在第一象限， 故选：A 3. 在△中，为边上的中线，为的中点，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果. 【详解】根据向量的运算法则，可得 ， 所以，故选A. 【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算. 4. ，则中哪三点共线（ ） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量共线定理逐一判断各个选项中的两个向量是否共线，即可得解. 【详解】对于A，设，则存在唯一实数，使得， 所以，无解， 所以不共线，所以三点不共线，故A不符题意； 对于B，因为， 所以， 又因为为公共点，所以三点共线，故B符合题意； 对于C，， 设，则存在唯一实数，使得， 所以，无解， 所以不共线，所以三点不共线，故C不符题意； 对于D，设，则存在唯一实数，使得， 所以，无解， 所以不共线，所以三点不共线，故D不符题意. 故选：B. 5. 已知，那么 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】依题意有，故 6. 在中，内角的对边分别是，若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得的值，最后利用三角形内角和定理可得的值. 【详解】由题意结合正弦定理可得， 即， 整理可得，由于，故， 据此可得， 则. 故选：C. 7. 如图，摩天轮上一点距离地面的高度关于时间的函数表达式为，，已知摩天轮的半径为，其中心点距地面，摩天轮以每分钟转一圈的方式做匀速转动，而点的起始位置在摩天轮的最低点处.在摩天轮转动一圈内，点距离地面超过有多长时间（ ） A. 分钟 B. 分钟 C. 分钟 D. 分钟 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，求得或，再根据条件得或，利用的性质，即可求解. 【详解】因为中心点距地面60m，则，摩天轮的半径为50m，即， 又，由，得到， 因为最低点到地面距离为，所以，得到， 又，则， 若，则， 由，得到， 所以，解得 令得到，又， 所以在摩天轮转动一圈内，点有分钟的时间距离地面超过， 若，则， 由，得到，即， 所以，解得 令得到，又， 所以在摩天轮转动一圈内，点有分钟的时间距离地面超过， 故选：B. 8. 如图，在中，点D在线段BC上，且满足，过点D的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N若，，则（ ） A. 是定值，定值为2 B. 是定值，定值为3 C. 是定值，定值为2 D. 是定值，定值为3 【答案】D 【解析】 【分析】过点C作CE平行于MN交AB于点E，结合题设条件和三角形相似可得出，再根据可得，整理可得，最后选出正确答案即可. 【详解】如图，过点C作CE平行于MN交AB于点E，由可得，所以，由可得，所以，因为，所以， 整理可得. 故选：D. 【点睛】本题考查向量共线的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于向量说法正确的是（ ） A. 向量的长度和向量的长度相等 B. 若向量与向量，满足，且与同向，则 C. 已知平面上四点，且，则三点共线 D. 向量与向量是共线向量，则点必在同一条直线上 【答案】AC 【解析】 【分析】根据向量的概念可以判断A、B、D，由得，进而判断C. 【详解】对于A，向量与向量是互为相反向量，所以A选项正确； 对于B，向量不能比较大小，故B错误； 对于C，若，即，所以， 即，且有公共点，所以三点共线，故C正确； 对于D，若向量与向量是共线向量，则直线AB与直线CD有可能平行，故D错误. 故选：AC. 10. 函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A. 的表达式可以写成 B. 的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是奇函数 C. 的对称中心， D. 若方程在上有且只有6个根，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用特殊点求得函数的解析式即可判断A，根据相位变换求得新函数解析式即可判断奇偶性，即可判断B，先求出的解析式，然后代入正弦函数对称中心结论求解判断C，把问题转化为根的问题，找到第7个根，即可求解范围判断D. 【详解】对A，由，得，即， 又，所以，又的图象过点， 则，即， 所以，即得，，又，所以， 所以，故A正确； 对B，向右平移个单位后得，为奇函数，故B正确； 对于C，， 令得， 所以对称中心，，故C正确； 对于D，由， 得， 因为，所以， 令，解得. 又在上有6个根，则根从小到大为， 再令，解得，则第7个根为，，故D错误． 故选：ABC. 11. 在中，内角所对的边分别为，则（ ） A. 若，则 B. 若，则是等腰三角形 C. 若，则满足条件的三角形有两个 D. 若，且，则为等边三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】A利用正弦定理判断；B由方程在三角形内有两个解判断；C由正弦定理及大边对大角即可判断；D根据向量线性关系及数量积的几何意义易知的平分线垂直于且，即可判断. 【详解】对于，因为，可得，由正弦定理，得， 所以，故正确； 对于，中，，又，， 所以或，即或， 可得的形状为等腰三角形或直角三角形，故B错误； 对于，若， 由正弦定理，有，又， 所以可以是锐角也可以是钝角，所以满足条件的三角形有两个，故C正确； 对于，表示角平分线的单位向量， 因为，所以的角平分线与直线垂直， 所以为等腰三角形， 而，所以， 又，所以，所以为等边三角形，故D正确. 故选：. 第II卷非选择题（共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设m∈R，m2+m﹣2+（m2﹣1）i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m=___． 【答案】﹣2 【解析】 【详解】． 【考点定位】考查复数的定义及运算，属容易题． 13. 已知向量，则向量在向量方向上的投影向量坐标为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用投影向量的定义，即可求解. 【详解】因为， 向量在向量方向上的投影向量坐标为， 故答案为：. 14. 在中，已知别为边上的中点，且交于点，若的余弦值为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，，利用基底表示向量，再通过即可得出. 【详解】设，， 因别为边上的中点，则， 则，， 因，则 则， ， 因的余弦值为， 则 得，又，则. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，满足的夹角. （1）求的值； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用数量积的定义及数量积的运算律，即可求解； （2）利用数量积的运算律及模长的计算公式，即可求解. 【小问1详解】 因为， 则 . 【小问2详解】 . 16. 在中，角所对的边分别是，且 （1）求的值； （2）若的面积，求的值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由三角形的内角和定理及降幂公式，结合二倍角公式，即可求得的值． （2）由三角函数的基本关系式求得的值，结合三角形的面积公式求得的值，再利用余弦定理，即可求得边的值． 【详解】（1）因为， 可得 . （2）因为且，所以， 又由，可得，即，解得， 由余弦定理得，可得. 17. 已知函数， （1）求函数的最小正周期； （2）当时，求函数的值域； （3）求使成立的的取值集合. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由两角和差的正弦公式及辅助角公式化简，再由周期公式即可求解； （2）时，得，再结合正弦函数性质即可求解； （3）由（1）得到，进而可求解. 【小问1详解】 的最小正周期 【小问2详解】 由时，得， 当，即时，有最小值 当，即时，有最大值3 故的值域为 【小问3详解】 ， 即， 即 ， 解得 成立的的取值集合为. 18. 边长为1的正方形分别为边上的点，若. （1）求出的长度（用表示）； （2）的周长是否为定值？若是，请证明；若不是，请说明理由； （3）求四边形面积的最大值. 【答案】（1）， （2）是定值，证明如下： 在中， 解得 又由（1）可知，， 则的周长为 即的周长为定值. （3） 【解析】 【分析】（1）在，中，由正切的定义即可求解； （2）在中，求得，再结合（1）即可求证； （3）由三角形面积公式及，得到面积，再由基本不等式即可求解. 【小问1详解】 在中，因，则 故 在中，因，则，故. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 . 则 因，， 则，当且仅当时，即时等号成立， 则， 即四边形面积的最大值为. 19. 已知. （1）求函数的单调增区间； （2）若，求的值； （3）在锐角中，内角的对边分别为，若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据三角恒等变换化简，再根据正弦函数的单调性即可得解； （2）可得，再根据两角差的余弦公式及辅助角公式即可得解； （3）根据题意求出，再由结合正弦定理化边为角，再根据三角形内角和定理化简，进而可得出答案，注意三角形为锐角三角形. 【小问1详解】 ， 令，则， 故函数的单调增区间为； 【小问2详解】 ，则， ， ； 【小问3详解】 ，则， 又，则， 故，即， ， 在锐角中，，则， 令， 则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西昌市2024—2025学年度下期期中检测 高一数学 本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，试题卷4页，答题卡2页.全卷满分为150分，考试时间120分钟. 答题前考生务必将自己的姓名､准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置；选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，其他试题用0.5毫米签字笔书写在答题卡对应题框内，不得超越题框区域.考试结束后将答题卡收回. 第I卷选择题（共58分） 一､单项选择题：本题有8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 2. 复数（为虚数单位）在复平面内所对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 在△中，为边上的中线，为的中点，则 A. B. C. D. 4. ，则中哪三点共线（ ） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 5. 已知，那么 A. B. C. D. 6. 在中，内角的对边分别是，若，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，摩天轮上一点距离地面的高度关于时间的函数表达式为，，已知摩天轮的半径为，其中心点距地面，摩天轮以每分钟转一圈的方式做匀速转动，而点的起始位置在摩天轮的最低点处.在摩天轮转动一圈内，点距离地面超过有多长时间（ ） A. 分钟 B. 分钟 C. 分钟 D. 分钟 8. 如图，在中，点D在线段BC上，且满足，过点D的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N若，，则（ ） A. 是定值，定值为2 B. 是定值，定值为3 C. 是定值，定值为2 D. 是定值，定值为3 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于向量说法正确的是（ ） A. 向量的长度和向量的长度相等 B. 若向量与向量，满足，且与同向，则 C. 已知平面上四点，且，则三点共线 D. 向量与向量是共线向量，则点必在同一条直线上 10. 函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A. 的表达式可以写成 B. 的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是奇函数 C. 的对称中心， D. 若方程在上有且只有6个根，则 11. 在中，内角所对的边分别为，则（ ） A. 若，则 B. 若，则是等腰三角形 C. 若，则满足条件的三角形有两个 D. 若，且，则为等边三角形 第II卷非选择题（共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设m∈R，m2+m﹣2+（m2﹣1）i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m=___． 13. 已知向量，则向量在向量方向上的投影向量坐标为__________. 14. 在中，已知别为边上的中点，且交于点，若的余弦值为，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，满足的夹角. （1）求的值； （2）求. 16. 在中，角所对的边分别是，且 （1）求的值； （2）若的面积，求的值． 17. 已知函数， （1）求函数的最小正周期； （2）当时，求函数的值域； （3）求使成立的的取值集合. 18. 边长为1的正方形分别为边上的点，若. （1）求出的长度（用表示）； （2）的周长是否为定值？若是，请证明；若不是，请说明理由； （3）求四边形面积的最大值. 19. 已知. （1）求函数的单调增区间； （2）若，求的值； （3）在锐角中，内角的对边分别为，若，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $