10.1.2事件的关系和运算 教学设计-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

高中数学人教A版必修二教学设计 年级：高一 学科：数学 授课人： 10.1.2《事件的关系和运算》教学设计 1、 课标及课标分析 课标要求： 根据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》必修课程“概率”主题，学生应能够：理解事件之间的包含、相等、互斥、对立等关系，掌握事件的并、交运算，能结合具体实例正确表示事件的关系与运算，并能用集合语言描述这些关系与运算. 课标分析： 本节课是概率论的基础内容，在上节课学生认识了样本空间和随机事件之后，需要进一步研究事件之间的关系与运算.课标强调“理解”和“掌握”，教学中应从具体实例（如掷骰子、射击、抽球等）出发，引导学生类比集合的关系与运算，直观认识事件的包含、相等、互斥、对立，以及事件的并（和）、交（积）.重点在于互斥事件与对立事件的区别与联系，难点是正确区分“至少有一个发生”与“同时发生”等语言对应的运算，以及用集合语言准确表示事件.本节课对培养逻辑推理、数学抽象和直观想象素养具有重要作用. 2、 教材分析 “事件的关系和运算”是人教A版必修第二册第十章第1.2节内容.教材在有限样本空间和随机事件的基础上，通过掷骰子、射击等实例，引导学生归纳出事件之间的包含关系、相等关系、互斥关系、对立关系，以及事件的并（A∪B）和交（A∩B）运算.教材通过 Venn 图、表格等直观方式帮助学生理解，并强调互斥与对立的联系与区别.本节内容是学习概率加法公式和概率性质的直接基础. 3、 学情分析 学生已经学习了样本空间和随机事件的概念，能用集合表示随机事件，并对集合的运算（并、交、补）有一定基础，这为类比事件运算提供了有利条件.但是，学生对“互斥”与“对立”容易混淆，对“至少有一个发生”对应的并事件、“同时发生”对应的交事件的理解需要具体实例支撑.此外，用符号语言表示事件关系和运算，需要一定的抽象思维能力.教师应通过大量实例、Venn 图演示、小组讨论等方式，帮助学生建立直观理解，并规范符号使用. 4、 教学目标/核心素养目标 1. 数学抽象素养：从具体实例中抽象出事件之间的包含、相等、互斥、对立关系，以及并事件、交事件的概念，体会集合与事件的类比. 1. 逻辑推理素养：能根据事件的定义判断两个事件是否互斥、是否对立，能正确理解“A⊆B”表示 A 发生则 B 一定发生，能运用事件运算进行推理. 1. 直观想象素养：能借助 Venn 图直观表示事件的关系与运算，能将文字语言表述的事件转化为集合运算表达式. 1. 数学语言素养：能熟练使用集合符号（⊆、=、∩、∪、∅、Ω）表示事件的关系与运算，能区分并事件与交事件的自然语言描述. 1. 数学建模素养：能将实际问题中的多个事件抽象为集合关系，并通过运算表示复合事件. 5、 教学重难点及课时安排 1. 重点：事件之间的互斥关系、对立关系；事件的并（A∪B）与交（A∩B）运算. 1. 难点：区分互斥事件与对立事件（对立事件一定是互斥的，但互斥未必对立）；将自然语言（如“至少有一个”、“恰有一个”）转化为事件的集合运算. 6、 教学过程 环节一：检查预习 1. 展示预习问题： （1）事件的关系： ① 若事件 A 发生，事件 B 一定发生，则称 A ______ B（填“⊆”或“⊇”）. ② 若 A ⊆ B 且 B ⊆ A，则称 A 与 B ______. ③ 若 A ∩ B = ∅，则称 A 与 B ______. ④ 若 A ∩ B = ∅ 且 A ∪ B = Ω，则称 A 与 B ______. 答案：⊆；相等；互斥；对立. （2）事件的运算： 事件 A 与 B 至少有一个发生的事件记为______；事件 A 与 B 同时发生的事件记为______. 答案：A ∪ B；A ∩ B. （3）若事件 A 与 B 互斥，则 A ∩ B = ______. 答案：∅. （4）对立事件一定______（填“是”或“不是”）互斥事件；互斥事件______（填“一定”或“不一定”）是对立事件. 答案：是；不一定. 2. 请学生回答，教师点评并强调符号规范. 环节二：引入课题 1. 教师提问： (1) 什么是样本空间？什么是随机事件？如何用集合表示一个事件？ (2) 学生回答后，教师展示掷一颗骰子的样本空间 Ω={1,2,3,4,5,6}，并举例事件 A={1,3,5}（出现奇数点）. 2.追问：两个事件之间有哪些关系？如何用类似集合的运算表示它们的关系？引入课题. 环节三：合作探究 1. 事件的关系（包含、相等、互斥、对立）（5分钟） 教师以掷骰子试验为例： A={1,3,5}（奇数），B={1,2,3}（点数小于4），则 A ⊆ B（A 发生则 B 一定发生）. C={1,3,5}，D={奇数}，则 C=D. E={2,4,6}（偶数），A 与 E 互斥（不能同时发生），且 A∪E=Ω，所以 A 与 E 互为对立事件. 强调互斥事件与对立事件的区别：对立事件是特殊的互斥事件，必须满足两者并集为整个样本空间. 2. 事件的运算（并、交）（5分钟） 结合掷骰子，事件 F={1,2}，G={2,3}，则： F ∪ G = {1,2,3}（至少发生一个），F ∩ G = {2}（同时发生）. 教师通过 Venn 图（语言描述：两个有重叠的圆）直观展示并、交区域. 补充：并事件对应“或”，交事件对应“且”. 3. 互斥与对立的判定练习（5分钟） 教师给出如下事件对，学生判断是否互斥，是否对立（小组讨论）： （1）抛一枚硬币，“正面朝上”与“反面朝上”. （2）射击两次，“第一次中靶”与“第二次中靶”. （3）从3男2女中选2人，“至少有1名男生”与“全是女生”. 答案：（1）互斥且对立；（2）不互斥；（3）互斥且对立. 环节四：学以致用 1. 基础练习（5分钟） 例1：判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”. （1）若 A ⊆ B，则 A 发生时 B 一定发生.（ ） （2）互斥事件一定是对立事件.（ ） （3）若 A ∩ B = ∅，则 A 与 B 互斥.（ ） （4）若 A 与 B 对立，则 A ∪ B = Ω.（ ） 答案：（1）√；（2）×；（3）√；（4）√. 例2：在掷一颗骰子的试验中，设 A = “点数不大于3”，B = “点数为偶数”，C = “点数为1”. （1）求 A ∪ B，A ∩ B； （2）求 A ∩ C； （3）判断 A 与 B 是否互斥？是否对立？ 解：Ω={1,2,3,4,5,6}，A={1,2,3}，B={2,4,6}，C={1}. （1）A∪B={1,2,3,4,6}；A∩B={2}. （2）A∩C={1}. （3）A∩B={2}≠∅，所以不互斥；不对立. 例3：从装有红、黄、蓝三个球的袋中随机摸一球，设事件 R=“摸到红球”，Y=“摸到黄球”，B=“摸到蓝球”. （1）写出样本空间； （2）事件 R 与 Y 是什么关系？ （3）事件 R 与 Y∪B 是什么关系？ 解： （1）Ω={R,Y,B}. （2）R∩Y=∅，互斥但不对立（因为还有 B）. （3）Y∪B={Y,B}，R 与 Y∪B 互斥且对立（因为 R∪(Y∪B)=Ω）. 2. 综合练习（7分钟） 例4（多选题）：一个射手射击一次，设事件 A=“命中10环”，B=“命中8环或9环”，C=“命中7环及以下”，D=“命中8环以上”.下列说法正确的有（ ） A. A 与 B 互斥 B. B 与 C 互斥 C. D 与 C 对立 D. A 与 D 相等 答案：A、B、C 解析：A与B不可能同时发生；B与C不可能同时发生；D是“命中8环以上”，C是“7环及以下”，两者互斥且并集为Ω，故对立；A⊆D但不相等. 例5：某工厂生产的产品，用事件 A 表示“一等品”，B 表示“二等品”，C 表示“三等品”，D 表示“次品”. （1）事件“产品是一等品或二等品”用符号表示为______； （2）事件“产品不是三等品”用符号表示为______； （3）事件“产品是一等品且不是次品”用符号表示为______； （4）写出事件“产品是合格品”的运算表达式（合格包括一、二、三等）. 答案：（1）A∪B；（2）（或Ω\C）；（3）A∩(Ω\D)；（4）A∪B∪C. 例6：在掷两颗骰子的试验中，设事件 A=“第一颗骰子点数为1”，B=“两颗骰子点数之和为5”. （1）写出 A 与 B 的样本点（即 A∩B）； （2）判断 A 与 B 是否互斥. 解： （1）A 包含 (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)；B 包含 (1,4),(2,3),(3,2),(4,1).所以 A∩B={(1,4)}. （2）A∩B≠∅，故不互斥. 例7：袋中有3个白球、2个黑球，从中不放回地取两次，每次取一球.记事件 A=“第一次取到白球”，B=“第二次取到黑球”. （1）用文字描述事件 A∪B 的含义； （2）事件 A 与 B 是否互斥？说明理由. 解： （1）A∪B 表示“第一次取到白球或第二次取到黑球（或两者都发生）”. （2）可以同时发生，例如第一次白球，第二次黑球，所以 A∩B≠∅，不互斥. 例8：在掷两枚硬币的试验中，设事件 M=“至少一枚正面”，N=“两枚均为反面”. （1）写出 M 与 N 的关系； （2）写出 M 与 N 的并事件和交事件. 解：样本空间 Ω={正正,正反,反正,反反}. M={正正,正反,反正}，N={反反}. （1）M 与 N 互斥且 M∪N=Ω，故 N 是 M 的对立事件. （2）M∪N=Ω，M∩N=∅. 环节五：课堂小结 1. 请学生回顾： (1) 事件关系：包含（⊆）、相等、互斥（A∩B=∅）、对立（A∩B=∅且A∪B=Ω）. (2) 事件运算：并（A∪B，至少一个发生）、交（A∩B，同时发生）. (3) 互斥与对立的区别：对立必互斥，互斥未必对立. (4) 类比集合的运算和关系是理解事件关系的重要方法. 1. 教师强调： 自然语言转化为符号语言时，要仔细分析“且” “或” “至少” “至多”的含义. 3.借助 Venn 图可直观判断事件关系. 环节六：布置作业 1. 书面作业： (1) 完成课本第232页练习第1、2、3题. (2) 配套课时达标检测《事件的关系和运算》. 1. 拓展作业： 从1,2,3,4中不放回取两个数，写出样本空间，并定义事件 A=“两数之和为偶数”，B=“两数之积为奇数”，判断 A 与 B 的关系，并求 A∩B. 1. 预习引导： 预习下一节“古典概型”，思考如何计算等可能事件的概率. 授课人个案修改记录： 本节课通过掷骰子、射击、抽球等实例，学生较好地理解了事件之间的包含、互斥、对立等关系，以及并、交运算.类比集合的思维帮助学生快速迁移.在练习中，设计了概念辨析、符号表示、互斥判断、实际应用等题型，学生能正确使用集合语言.不足之处：部分学生在判断互斥时，忽略了事件是否可能同时发生，需要更多反例训练；另外，对“至少有一个发生”与“并事件”的对应关系还需巩固.整体上，本节课为后续概率加法公式的学习打下了坚实基础. 学科网（北京）股份有限公司 $