精品解析：天津市培杰中学2025-2026学年高二第二学期教学质量检测数学试题

2025~2026学年度第二学期天津市培杰中学教学质量检测 高二数学 一、单选题：本大题9小题，共36分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. 24 B. 26 C. 30 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】利用排列数公式、组合数公式计算可得答案. 【详解】. 故选：B. 2. 3个相同的书签，放入7个不同的书架中，每个书架里至多放一个书签，则不同的放法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知只要从7个不同的书架中选出3个书架即可 【详解】由于书签都相同，书架不同，每个书架至多放一个书签， 所以只要选出3个不同的书架即可． 故共有种不同的放法 故选：D 3. 在的展开式中，的系数为（ ）． A. B. 5 C. D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定的系数即可. 【详解】展开式的通项公式为：， 令可得：，则的系数为：. 故选：C. 【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项． 4. 下列函数中存在极值点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】逐项分析函数的单调性，进而可得是否有极值，即可得出答案． 【详解】对于A：函数在上单调递减，无极值点； 对于B：函数在上单调递增，无极值点： 对于C：函数在上单调递增，无极值点： 对于D：函数对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以是函数的极小值点． 5. 函数在区间上的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 求出导函数，确定函数的单调性，得极值，并求出端点处函数值比较后可得最小值． 【详解】解： 因为，于是函数在上单调递增，在上单调递减， ，，得函数在区间上的最小值是． 故选：B． 6. 若用0，1，2，3，4，5这6个数字组成无重复数字且奇数数字互不相邻的六位数，则这样的六位数共有（ ）个 A. 120 B. 132 C. 144 D. 156 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意，先用插空法分析奇数数字互不相邻的情况，再排除其中0在首位的情况，即可得答案． 【详解】解：先排0，2，4，再让1，3，5插空. 总的排法共， 其中0在排头，将1，3，5插在后三个空的排法共，此时构不成六位数， 故总的六位数的个数为. 故选：B. 【点睛】本题考查排列、组合的应用，注意排除0在首位的情况，属于基础题． 7. 的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 A. -40 B. -20 C. 20 D. 40 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】令x=1得a=1.故原式=． 的通项， 由5-2r=1得r=2,对应的常数项=80，由5-2r=-1得r=3,对应的常数项=-40， 故所求的常数项为40 ， 故选D 8. 2025年春节，国产电影《哪吒之魔童闹海》火遍全球，更是于2月18日登顶全球动画榜．甲、乙、丙、丁、戊五位同学打算去蚌埠固镇、天津陈塘关、南阳西峡县三个哪吒故里旅游打卡，每位同学只去一个地方，每个地方至少去1人，则不同的安排方法有（ ） A. 120种 B. 150种 C. 180种 D. 300种 【答案】B 【解析】 【分析】将五位同学分成三组，各组人数分别为1,1,3或1,2,2，进行求解． 【详解】将五位同学分成三组，各组人数分别为1,1,3或1,2,2． 当各组人数为1,1,3时，共有种安排方法； 当各组人数为1,2,2时，共有种安排方法， 所以不同的安排方法有种． 故选:B. 9. 已知函数，若对任意两个不相等的实数，都有，则a的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，进而根据题意得在上单调递增，再结合恒成立求解即可. 【详解】不妨设，因为， 所以， 令， 则，所以在上单调递增， 所以，恒成立，即恒成立， 令，则， 所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，所以，即a的最大值为1． 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 10. 函数的极值点是________. 【答案】 【解析】 【分析】 求出函数导数，通过导数为0，即可求出函数的极值点. 【详解】解：函数的定义域：，可得， 令，可得，当，函数是减函数，，函数是增函数，当时，函数取得极小值， 故答案：. 【点睛】本题主要考查利用导数求函数的极值，相对简单. 11. 在的展开式中，项的系数为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式定理相关知识直接计算即可. 【详解】展开式的通项公式为， 当时，， 即展开式中的系数为. 故答案为： 12. 从位女生，位男生中选人参加科技比赛，且至少有位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案） 【答案】 【解析】 【分析】方法一：反面考虑，先求出所选的人中没有女生的选法种数，再根据从人中任选人的选法种数减去没有女生的选法种数，即可解出. 【详解】［方法一］：反面考虑 没有女生入选有种选法，从名学生中任意选人有种选法， 故至少有位女生入选，则不同的选法共有种． 故答案为：. ［方法二］：正面考虑 若有1位女生入选，则另2位是男生，于是选法有种； 若有2位女生入选，则另有1位是男生，于是选法有种，则不同的选法共有种． 故答案为：. 【整体点评】方法一：根据“正难则反”，先考虑“至少有位女生入选”的反面种数，再利用没有限制的选法种数减去反面种数即可求出，对于正面分类较多的问题是不错的方法； 方法二：正面分类较少，直接根据女生的人数分类讨论求出． 13. 五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加，甲选到 的概率为 _____；已知乙选了 活动，他再选择 活动的概率为_____. 【答案】 ①. ##0.6 ②. ##0.5 【解析】 【分析】设事件 表示 “选到 ”，事件 表示 “选到 ”，然后结合条件概率公式代入计算，即可得到结果. 【详解】设事件 表示 “选到 ”，事件 表示 “选到 ”， 则甲从中选 3 个. 甲选到 的概率为 ， 乙选了 活动，他再选择 活动的概率为: 故答案为: . 14. 已知函数在定义域上单调递增，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】转化为在上恒成立，分离参数，设新函数，求导得到最值即可. 【详解】因为函数在定义域上单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，即， 所以实数m的取值范围是． 故答案为：. 15. 已知，则________. 【答案】6075 【解析】 【分析】对题干中的式子两边求导，代入得到答案. 【详解】对两边同时求导， 可得， 在该式中，令，可得. 故答案为：6075 三、解答题：本题共34分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 有件产品，其中件是次品，其余都是合格品，现不放回的从中依次抽 件.求：（1）第一次抽到次品的概率； （2）第一次和第二次都抽到次品的概率； （3）在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【详解】（1）因为有5件是次品，第一次抽到次品，有5中可能，产品共有20件，不考虑限制，任意抽一件，有20中可能，所以概率为两者相除． （2）因为是不放回的从中依次抽取2件，所以第一次抽到次品有5种可能，第二次抽到次品有4种可能，第一次和第二次都抽到次品有5×4种可能，总情况是先从20件中任抽一件，再从剩下的19件中任抽一件，所以有20×19种可能，再令两者相除即可． （3）因为第一次抽到次品，所以剩下的19件中有4件次品，所以，抽到次品的概率为 17. 有个男生和个女生，从中选取人担任门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数： （1）有女生但人数必须少于男生； （2）某女生一定要担任语文科代表； （3）某男生必须包括在内，但不担任数学科代表； （4）某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表. 【答案】（1）540；（2）840；（3）3360；（4）360. 【解析】 【分析】 （1）有女生但人数必须少于男生，先取后排即可； （2）某女生一定要担任语文课代表，除去该女生后先取后排即可； （3）先取后排，但先安排该男生； （4）先从除去该男生该女生的6人中选取3人有种，再安排该男生有种，其余3人全排即可. 【详解】（1）先取后排，有种，后排有种，共有种； （2）除去该女生后先取后排：种； （3）先取后排，但先安排该男生：种； （4）先从除去该男生该女生的人中选人有种，再安排该男生有种，其余人全排有种，共种. 18. 已知函数. （1）时，求在点处的切线方程； （2）有3个零点，求a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可. （2）首先利用导数求出函数的单调性及极值，再结合函数图象求解即可. 【小问1详解】 当时，，， 则，则，且， 则切点，且切线的斜率为， 故函数在点处的切线方程为； 【小问2详解】 令，， 得， 设， 则， 由解得或，其中，； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 且当时，； 当时，； 如图作出函数的图象， 要使函数有3个零点， 则方程在内有个根，即直线与函数的图象有个交点. 结合图象可知，. 故的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期天津市培杰中学教学质量检测 高二数学 一、单选题：本大题9小题，共36分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. 24 B. 26 C. 30 D. 32 2. 3个相同的书签，放入7个不同的书架中，每个书架里至多放一个书签，则不同的放法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 3. 在的展开式中，的系数为（ ）． A. B. 5 C. D. 10 4. 下列函数中存在极值点的是（ ） A. B. C. D. 5. 函数在区间上的最小值是（ ） A. B. C. D. 6. 若用0，1，2，3，4，5这6个数字组成无重复数字且奇数数字互不相邻的六位数，则这样的六位数共有（ ）个 A. 120 B. 132 C. 144 D. 156 7. 的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 A. -40 B. -20 C. 20 D. 40 8. 2025年春节，国产电影《哪吒之魔童闹海》火遍全球，更是于2月18日登顶全球动画榜．甲、乙、丙、丁、戊五位同学打算去蚌埠固镇、天津陈塘关、南阳西峡县三个哪吒故里旅游打卡，每位同学只去一个地方，每个地方至少去1人，则不同的安排方法有（ ） A. 120种 B. 150种 C. 180种 D. 300种 9. 已知函数，若对任意两个不相等的实数，都有，则a的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 0 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 10. 函数的极值点是________. 11. 在的展开式中，项的系数为________． 12. 从位女生，位男生中选人参加科技比赛，且至少有位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案） 13. 五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加，甲选到 的概率为 _____；已知乙选了 活动，他再选择 活动的概率为_____. 14. 已知函数在定义域上单调递增，则实数m的取值范围是______． 15. 已知，则________. 三、解答题：本题共34分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 有件产品，其中件是次品，其余都是合格品，现不放回的从中依次抽 件.求：（1）第一次抽到次品的概率； （2）第一次和第二次都抽到次品的概率； （3）在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率. 17. 有个男生和个女生，从中选取人担任门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数： （1）有女生但人数必须少于男生； （2）某女生一定要担任语文科代表； （3）某男生必须包括在内，但不担任数学科代表； （4）某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表. 18. 已知函数. （1）时，求在点处的切线方程； （2）有3个零点，求a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $