第4章《因式分解》单元卷 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

北师大版八年级下册第4章《因式分解》单元卷 一．选择题（共10小题） 1．多项式5m2n﹣10mn2中各项的公因式是（　　） A．mn B．5mn C．m2n2 D．5m2n2 2．下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 B．x2+2x+1＝（x+1）2 C．x2+2x﹣1＝x（x+2）﹣1 D．x（x﹣1）＝x2﹣x 3．（﹣2）2025+（﹣2）2026计算后的结果是（　　） A．22025 B．﹣2 C．﹣22025 D．﹣1 4．如图，边长为a，b的长方形周长为12，面积为7，则a2b+ab2的值为（　　） A．84 B．64 C．42 D．32 5．下列多项式，能用平方差公式分解因式的是（　　） A．x2+xy+y2 B．x2﹣1 C．x2﹣2x D．x2+1 6．下列多项式中，能运用完全平方公式因式分解的是（　　） A．x2﹣1 B．x2+1 C．x2+x+1 D．x2+2x+1 7．给出下面四个多项式：①x2﹣xy；②x2﹣y2；③x2+2xy﹣y2；④x2+y2，其中含因式（x﹣y）的多项式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．小明利用完全平方公式进行因式分解“x2+4y2＝（x+2y）2”时，墨迹将“x2+4y2”中的一项及其符号染黑了，则墨迹覆盖的这一项是（　　） A．4xy B．2xy C．﹣4xy D．﹣2xy 9．下列因式分解正确的是（　　） A．x2﹣4＝（x﹣2）2 B．x2+4x+4＝（x+2）2 C．x2﹣2x＝x（x﹣2）+1 D．x2+2x+1＝x（x+2）+1 10．多项式a3﹣4a因式分解的结果是（　　） A．a（a3﹣4） B．a（a﹣4）（a+4） C．a（a﹣2）（a+2） D．（a﹣4）（a+4） 二．填空题（共5小题） 11．下列各式中，是整式乘法的是 　 　 ，是因式分解的是 　 　 .（填序号） ①（5a﹣1）2＝25a2﹣10a+1； ②（a﹣6）（a+6）＝a2﹣36； ③m2﹣4＝（m+2）（m﹣2）； ④2xy﹣2xz＝2x（y﹣z）． 12．分解因式：a2﹣a＝　 　 ． 13．分解因式3x（m+n）﹣6y（m+n）＝　 　 ． 14．因式分解：a2﹣36＝　 　 ． 15．因式分解：4a2﹣4a+1＝　 　 ． 三．解答题（共8小题） 16．因式分解： （1）3m2﹣6m； （2）2a（b﹣c）﹣3（c﹣b）． 17．把下列各式因式分解： （1）3m4﹣12； （2）2x2y﹣8xy+8y． 18．若长方形的长为a，宽为b，周长为16，面积为15，求a2b+ab2的值． 19．（1）计算：20262﹣2025×2026； （2）分解因式：（x+2）（x﹣4）+9． 20．如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为mcm的大正方形，两块是边长都为ncm的小正方形，五块是长为mcm，宽为ncm的小长方形，且m＞n． （1）观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为　 　 ． （2）若每块小长方形的面积为10cm2，两个大正方形和两个小正方形的面积和为58cm2． ①试求m+n的值． ②图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为　 　 cm．（直接写出结果） 21．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： 1+x+x（1+x）+x（1+x）2 ＝（1+x）[1+x+x（1+x）] ＝（1+x）2（1+x） ＝（1+x）3． （1）上述因式分解的方法是　 　 ． （2）因式分解：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）2025＝　 　 ． （3）化简：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n（n为正整数）． 22．阅读材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：将“x+y”看成整体，设x+y＝m，则原式＝m2+2m+1＝（m+1）2．再将x+y＝m代入，得原式＝（x+y+1）2．上述解题用到的是“整体思想”，请你写出下列因式分解的结果： （1）分解因式：4+4（x﹣y）+（x﹣y）2； （2）分解因式：（y2+4y）（y2+4y+8）+16． 23．阅读材料：我们知道 a2+2ab+b2＝（a+b）2，a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2，所以形如 a2+2ab+b2，a2﹣2ab+b2的式子可以用完全平方公式因式分解． 类似地，对于x2+4x+3，我们可以通过配方实现因式分解： x2+4x+3 ＝x2+4x+4﹣1 ＝（x+2）2﹣1 ＝（x+2+1）（x+2﹣1） ＝（x+3）（x+1） 请根据材料，解决下列问题： （1）因式分解：x2﹣6x+5； （2）因式分解：x2+2x﹣3． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．多项式5m2n﹣10mn2中各项的公因式是（　　） A．mn B．5mn C．m2n2 D．5m2n2 【分析】根据公因式的确定方法解答即可． 【解答】解：多项式5m2n﹣10mn2中各项的公因式是5mn， 故选：B． 2．下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 B．x2+2x+1＝（x+1）2 C．x2+2x﹣1＝x（x+2）﹣1 D．x（x﹣1）＝x2﹣x 【分析】将多项式分解为几个整式的乘积形式成为多项式的因式分解． 【解答】解：根据因式分解的定义：B正确 故选：B． 3．（﹣2）2025+（﹣2）2026计算后的结果是（　　） A．22025 B．﹣2 C．﹣22025 D．﹣1 【分析】根据乘方的意义进行拆解，然后利用提公因式法进行因式分解，再进行求解即可． 【解答】解：原式＝（﹣2）2025+（﹣2）×（﹣2）2025 ＝（﹣2）2025×（1﹣2） ＝22025， 故选：A． 4．如图，边长为a，b的长方形周长为12，面积为7，则a2b+ab2的值为（　　） A．84 B．64 C．42 D．32 【分析】由题意可知a+b＝6，ab＝7，把a2b+ab2因式分解即可代入求解． 【解答】解：∵边长为a，b的长方形的周长为12，面积为7， ∴（a+b）×2＝12，ab＝7， ∴a+b＝6，ab＝7， ∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝7×6＝42． 故选：C． 5．下列多项式，能用平方差公式分解因式的是（　　） A．x2+xy+y2 B．x2﹣1 C．x2﹣2x D．x2+1 【分析】根据平方差公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）分解因式即可． 【解答】解：A、x2+xy+y2，三项，不能用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意； B、x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），能用平方差公式分解因式，故此选项符合题意； C、x2﹣2x＝x（x﹣2），不能用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意； D、x2+1不能用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意； 故选：B． 6．下列多项式中，能运用完全平方公式因式分解的是（　　） A．x2﹣1 B．x2+1 C．x2+x+1 D．x2+2x+1 【分析】根据完全平方公式的结构特征判断即可． 【解答】解：A、x2﹣1能用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意； B、x2+1不能运用完全平方公式因式分解，故此选项不符合题意； C、x2+x+1不能运用完全平方公式因式分解，故此选项不符合题意； D、x2+2x+1＝（x+1）2，能运用完全平方公式因式分解，故此选项符合题意； 故选：D． 7．给出下面四个多项式：①x2﹣xy；②x2﹣y2；③x2+2xy﹣y2；④x2+y2，其中含因式（x﹣y）的多项式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据多项式的定义：几个单项式的和叫多项式作答． 【解答】解：式子x2﹣xy＝x（x﹣y），x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）；x2+2xy﹣y2，x2+y2，含有因式（x﹣y）的有两个， 故选：B． 8．小明利用完全平方公式进行因式分解“x2+4y2＝（x+2y）2”时，墨迹将“x2+4y2”中的一项及其符号染黑了，则墨迹覆盖的这一项是（　　） A．4xy B．2xy C．﹣4xy D．﹣2xy 【分析】根据完全平方公式分解因式即可． 【解答】解：∵（x+2y）2＝x2+4xy+4y2， ∴墨迹覆盖的这一项是4xy， 故选：A． 9．下列因式分解正确的是（　　） A．x2﹣4＝（x﹣2）2 B．x2+4x+4＝（x+2）2 C．x2﹣2x＝x（x﹣2）+1 D．x2+2x+1＝x（x+2）+1 【分析】根据因式分解的定义和方法，对每个选项进行逐一判断即可． 【解答】解：A．x2﹣4＝（x﹣2）（x+2）≠（x﹣2）2，不符合题意； B．x2+4x+4＝（x+2）2，符合题意； C．x2﹣2x＝x（x﹣2）≠x（x﹣2）+1，不符合题意； D．x2+2x+1＝（x+1）2，不符合题意； 故选：B． 10．多项式a3﹣4a因式分解的结果是（　　） A．a（a3﹣4） B．a（a﹣4）（a+4） C．a（a﹣2）（a+2） D．（a﹣4）（a+4） 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解，需将多项式分解到每一个因式都不能再分解为止． 【解答】解：根据题意可知，原式＝a（a2﹣4）＝a（a﹣2）（a+2）． 故选：C． 二．填空题（共5小题） 11．下列各式中，是整式乘法的是 　①②　 ，是因式分解的是 　③④　 .（填序号） ①（5a﹣1）2＝25a2﹣10a+1； ②（a﹣6）（a+6）＝a2﹣36； ③m2﹣4＝（m+2）（m﹣2）； ④2xy﹣2xz＝2x（y﹣z）． 【分析】根据整式乘法的定义和因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【解答】解：①（5a﹣1）2＝25a2﹣10a+1，是整式乘法； ②（a﹣6）（a+6）＝a2﹣36，是整式乘法； ③m2﹣4＝（m+2）（m﹣2），是因式分解； ④2xy﹣2xz＝2x（y﹣z），是因式分解． 故答案为：①②；③④． 12．分解因式：a2﹣a＝a（a﹣1）　 ． 【分析】这个多项式含有公因式a，分解因式时应先提取公因式． 【解答】解：a2﹣a＝a（a﹣1）． 13．分解因式3x（m+n）﹣6y（m+n）＝　3（m+n）（x﹣2y）　 ． 【分析】原式提取公因式即可得到结果． 【解答】解：原式＝3（m+n）（x﹣2y）， 故答案为：3（m+n）（x﹣2y） 14．因式分解：a2﹣36＝　（a+6）（a﹣6）　 ． 【分析】利用平方差公式进行因式分解即可． 【解答】解：a2﹣36 ＝（a+6）（a﹣6）， 故答案为：（a+6）（a﹣6）． 15．因式分解：4a2﹣4a+1＝　（2a﹣1）2 ． 【分析】根据完全平方公式计算即可． 【解答】解：原式＝（2a﹣1）2， 故答案为：（2a﹣1）2． 三．解答题（共8小题） 16．因式分解： （1）3m2﹣6m； （2）2a（b﹣c）﹣3（c﹣b）． 【分析】（1）直接提取公因式3m即可； （2）把2a（b﹣c）﹣3（c﹣b）变形为2a（b﹣c）+3（b﹣c），再提取公因式（b﹣c）即可． 【解答】解：（1）原式＝3m（m﹣2）； （2）原式＝2a（b﹣c）+3（b﹣c）＝（b﹣c）（2a+3）． 17．把下列各式因式分解： （1）3m4﹣12； （2）2x2y﹣8xy+8y． 【分析】（1）先提公因式3，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先提公因式2y，再利用完全平方公式分解因式即可． 【解答】解：（1）3m4﹣12＝3（m4﹣4）＝3（m2+2）（m2﹣2）； （2）2x2y﹣8xy+8y＝2y（x2﹣4x+4）＝2y（x﹣2）2． 18．若长方形的长为a，宽为b，周长为16，面积为15，求a2b+ab2的值． 【分析】根据长方形的周长、面积的计算方法得到a+b＝8，ab＝15，由a2b+ab2＝ab（a+b）代入计算即可． 【解答】解：∵长方形的长为a，宽为b，周长为16，面积为15， ∴a+b8，ab＝15， ∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝15×8＝120． 19．（1）计算：20262﹣2025×2026； （2）分解因式：（x+2）（x﹣4）+9． 【分析】（1）先提取公因式，然后计算即可； （2）先根据多项式乘多项式计算，然后根据完全平方公式分解因式即可． 【解答】解：（1）20262﹣2025×2026 ＝2026×（2026﹣2025） ＝2026×1 ＝2026； （2）（x+2）（x﹣4）+9 ＝x2﹣4x+2x﹣8+9 ＝x2﹣2x+1 ＝（x﹣1）2． 20．如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为mcm的大正方形，两块是边长都为ncm的小正方形，五块是长为mcm，宽为ncm的小长方形，且m＞n． （1）观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为　（2m+n）（m+2n）　 ． （2）若每块小长方形的面积为10cm2，两个大正方形和两个小正方形的面积和为58cm2． ①试求m+n的值． ②图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为　42　 cm．（直接写出结果） 【分析】（1）根据长方形的面积＝长×宽，即可得出结论； （2）①根据题意列出方程，再利用完全平方公式得出m+n的值；②先求出所有裁剪线长之和为6（m+n），再代入求值即可． 【解答】解：（1）由图形可知，2m2+5mn+2n2＝（2m+n）（m+2n）， 故答案为：（2m+n）（m+2n）； （2）①依题意得，2m2+2n2＝58，mn＝10， ∴m2+n2＝29， ∴（m+n）2＝m2+n2+2mn＝29+20＝49， ∵m+n＞0， ∴m+n＝7； ②∵所有裁剪线长之和为2（2m+n）+2（m+2n）＝6m+6n＝6（m+n）， ∴7×6＝42（cm）， 故答案为：42． 21．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： 1+x+x（1+x）+x（1+x）2 ＝（1+x）[1+x+x（1+x）] ＝（1+x）2（1+x） ＝（1+x）3． （1）上述因式分解的方法是　提取公因式法　 ． （2）因式分解：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）2025＝　（1+x）2026 ． （3）化简：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n （n为正整数）． 【分析】（1）根据已知材料结合提取公因式法直接回答即可； （2）仿照已知材料中的分解方法，先对代数式提取公因式（1+x），进而得出答案； （3）由已知材料及（2）的结论，不难归纳出（3）的答案，也可利用提取公因式法分解验证． 【解答】解：（1）上述分解因式的方法是：提公因式法． 故答案为：提取公因式法； （2）1+x+x（x+1）+x（x+1）2+...+x（x+1）2025 ＝（1+x）[1+x（x+1）+x（x+1）2+...+x（x+1）2024] ＝（1+x）（1+x）[1+x+x（x+1）+x（1+x）2+...+x（1+x）2023] ＝..． ＝（1+x）2025（1+x） ＝（1+x）2026， 故答案为：（1+x）2026； （3）1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n ＝（1+x）[1+x（x+1）+x（x+1）2+...+x（x+1）n﹣1] ＝（1+x）（1+x）[1+x+x（x+1）+x（1+x）2+...+x（1+x）n﹣2] ＝..． ＝（1+x）n（1+x） ＝（1+x）n+1． 22．阅读材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：将“x+y”看成整体，设x+y＝m，则原式＝m2+2m+1＝（m+1）2．再将x+y＝m代入，得原式＝（x+y+1）2．上述解题用到的是“整体思想”，请你写出下列因式分解的结果： （1）分解因式：4+4（x﹣y）+（x﹣y）2； （2）分解因式：（y2+4y）（y2+4y+8）+16． 【分析】（1）利用完全平方公式进行因式分解即可； （2）先变形，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【解答】解：（1）原式＝（2+x﹣y）2． （2）原式＝（y2+4y）2+8（y2+4y）+42 ＝（y2+4y+4）2 ＝（y+2）4． 23．阅读材料：我们知道 a2+2ab+b2＝（a+b）2，a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2，所以形如 a2+2ab+b2，a2﹣2ab+b2的式子可以用完全平方公式因式分解． 类似地，对于x2+4x+3，我们可以通过配方实现因式分解： x2+4x+3 ＝x2+4x+4﹣1 ＝（x+2）2﹣1 ＝（x+2+1）（x+2﹣1） ＝（x+3）（x+1） 请根据材料，解决下列问题： （1）因式分解：x2﹣6x+5； （2）因式分解：x2+2x﹣3． 【分析】（1）先把原式变形为x2﹣6x+9﹣4，再仿照题意分解因式即可； （2）先把原式变形为x2+2x+1﹣4，再仿照题意分解因式即可． 【解答】解：（1）原式＝x2﹣6x+9﹣4 ＝（x﹣3）2﹣22 ＝（x﹣3+2）（x﹣3﹣2） ＝（x﹣1）（x﹣5）； （2）原式＝x2+2x+1﹣4 ＝（x+1）2﹣22 ＝（x+1+2）（x+1﹣2） ＝（x+3）（x﹣1）． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/5/5 11:19:13；用户：钟军；邮箱：13870756251；学号：41363517 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $