第十章二元一次方程组单元提升卷 2025-2026学年人教版七年级数学下册

**基本信息** 人教版七年级数学下册第十章二元一次方程组单元提升卷，融合文化传承（《九章算术》算筹图、龙泉青瓷）与实际应用（志愿者乘车、剪纸彩纸），通过选择、填空、解答题梯度设计，考查运算能力、模型意识与应用意识，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二元一次方程定义、代入法解法、同解方程组|基础概念辨析，如第6题考查同解方程组参数求解| |填空题|6/18|解方程组、参数问题、算筹图转化、三阶幻方|文化情境融入，如第15题以《九章算术》算筹图考方程建模| |解答题|8/72|实际应用（工时零件、乘车方案）、整体求值、剪纸费用优化|综合应用与创新，如24题结合剪纸非遗设计费用优化方案，培养应用意识|

2025-2026学年人教版七年级数学下册第十章 二元一次方程组单元提升卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）已知是方程的解，那么的值为（   ） A． B．1 C．2 D． 2．（本题3分）若关于，的方程是二元一次方程，则的值为（   ）． A． B． C． D． 3．（本题3分）由可以得到用x表示y的式子是（） A． B． C． D． 4．（本题3分）若是二元一次方程的一个解，则（    ） A． B． C． D． 5．（本题3分）用代入法解方程组时，将方程①代入方程②正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（本题3分）已知方程组和有相同的解．则的值是（   ） A．-1 B．1 C．5 D．13 7．（本题3分）方程组的解为，则被遮盖的前后两个数分别为（    ） A．1、2 B．7、3 C．3、7 D．2、4 8．（本题3分）已知关于，的方程组，下列四个结论中正确的是（  ） ①当时，该方程组的解也是方程的解； ②存在有理数，使得； ③当时，； ④不论取什么数，的值始终不变． A．①② B．②④ C．②③④ D．①②③④ 9．（本题3分）如图所示，在长方形中，放入六个形状大小相同的长方形，则图中的阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 10．（本题3分）龙泉青瓷工艺是世界级非物质文化遗产，“浙”赛区冠军奖杯采用龙泉青瓷工艺制作，如图，杯身高占总高的，杯身高与底座高之和是，杯顶高与杯身高之和是，设杯身高为，底座高为，则根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（共18分） 11．（本题3分）方程组的解是____． 12．（本题3分）关于x，y的方程组的解满足，则的值是______． 13．（本题3分）若关于、的二元一次方程组的解为，则代数式的值是_____________． 14．（本题3分）已知关于的方程组和的解相同，则_____． 15．（本题3分）《九章算术》的“方程”章是世界最早系统研究一次方程组的文献之一．古人以“算筹布列”的方式表示一次方程组：算筹的纵、横摆放对应未知数的系数与常数项．如算筹图1表示的方程组为，类比图1的方程组，请写出算筹图2所表示的方程组为_______________． 16．（本题3分）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，每一行的三个数，每一列的三个数，斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则的值为_________． 三、解答题（共72分） 17．（本题8分）解方程组： (1) (2) 18．（本题8分）如果二元一次方程组的解是二元一次方程的一个解，求的值． 19．（本题8分）甲、乙两人解同一个关于，的方程组，甲正确地解出，乙因为把看错而得到的解是，求出，，的值． 20．（本题8分）定义新运算： (1)计算：； (2)若 求x、y的值． 21．（本题10分）下面是学习二元一次方程组时，老师提出的问题和两名同学所列的方程． 问题：某个工人一天工作6个小时，可以生产零件一整箱和不足一箱的20个；由于特殊情况，今天他只工作4个小时，生产零件一整箱和不足一箱的4个，问这一箱零件和该工人每小时能生产的零件数分别是多少？ 小明所列方程：；小亮所列方程：； 根据以上信息，解答下列问题． (1)以上两个方程（组）中x意义是否相同？________（填“是”或“否”）； (2)小亮的方程所用等量关系是________（填序号，“①每个小时生产的零件数相等”或“②4个小时生产的零件数相等”）； (3)根据小明所列的方程组完整解答老师提出的问题． 22．（本题8分）某运动会召开期间，大学生志愿者参与服务工作．某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车前往赛场，若只调配座新能源客车若干辆，则有人没有座位；若只调配座新能源客车，则用车数量将增加辆，并空出个座位． (1)调配座新能源客车多少辆？该大学共有多少名志愿者？ (2)若同时调配座和座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？ 23．（本题10分）【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：②①，得③， ③，得，所以，的值为3． (1)【类比迁移】已知，求的值． (2)【实际应用】某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买3本笔记本、2支签字笔、1支记号笔需28元；若购买7本笔记本、5支签字笔、3支记号笔需66元．本班共50位同学，则购买50本笔记本、50支签字笔、50支记号笔需多少钱？ 24．（本题12分）剪纸艺术是中华优秀传统文化瑰宝，学校以剪纸育美润心，传承非遗技艺，展现学子匠心与青春风采．学校打算开展“闽南剪纸文化艺术节”活动，需要在商场购买甲、乙两种剪纸彩纸制作窗花60朵，已知1张甲彩纸和1张乙彩纸共能剪窗花8朵，2张甲彩纸和3张乙彩纸共能剪窗花19朵．购买时正好赶上商场促销活动：买一张甲彩纸，就赠送一张乙彩纸．已知甲彩纸每张4元，乙彩纸每张3元．请你解决以下问题： (1)制作窗花的过程中，若甲、乙彩纸恰好充分利用，没有余料剩余，则做这些窗花需要两种彩纸各多少张，并求出最低采购费用． (2)由于实际需要，需要再制作闽南古厝纸雕42个．已知1张甲彩纸可做纸雕3个，1张乙彩纸可做纸雕2个．总共采购两种彩纸的费用要求低于65元．在尽可能减少甲乙两种彩纸的余料的情况下，请你设计出一种窗花、纸雕的制作数量方案（要求：同一张彩纸只能做同一类手工，即不能既做窗花又做纸雕）． 第2页，共6页 第1页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 《2025-2026学年人教版七年级数学下册第十章 二元一次方程组单元提升卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B B B C B B D A 1．C 【分析】利用二元一次方程解的定义求解，方程的解满足方程，将已知解代入原方程即可求出的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得． 2．C 【分析】根据二元一次方程的定义求出和的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵关于的方程是二元一次方程， ∴，， ∴． 3．B 【分析】利用等式的基本性质，将y单独放在等式一侧，整理即可得到结果. 【详解】解：∵原方程为． 移项得． 等式两边同时乘，得． 4．B 【分析】由二元一次方程的解的定义可得，再代入代数式计算即可求解． 【详解】解：∵是二元一次方程的一个解， ∴， ∴ ． 5．B 【详解】将①代入②，得， 去括号，得． 6．C 【分析】联立不含与的方程组成方程组，求出方程组的解得到与的值，进而求出与的值，即可求出的值． 【详解】解：根据题意联立得：， 得：， 解得：， 把代入②得， 解得：， 把代入和得：， 解得：， ． 7．B 【分析】先将已知的代入，求出第二个被遮盖的的值，再将和的值代入，求出第一个被遮盖的数，即可得到结果． 【详解】解：∵方程组的解为， 将代入，得， 解得，即第二个被遮盖的数为， 再将，代入，得，即第一个被遮盖的数为， 因此被遮盖的前后两个数分别为、． 8．B 【分析】通过对原方程组进行整体加减运算，可将结论中的表达式用含 的代数式表示，进而判断结论的正误． 【详解】解：原方程组为 判断①：当时，方程组变为 解得 将解代入得 故①错误； 判断②：对原方程组，由得 若，则，解得，是有理数， 故②正确； 判断③：对原方程组，由得， 若，则，解得， 故③错误； 判断④：对原方程组，由得 得，即无论取何值，的值恒为， 故④正确； 因此正确结论为②④． 9．D 【分析】通过设形状大小相同的长方形的长宽为，，观察图形找等量关系列二元一次方程组即可解出答案． 【详解】解：设形状大小相等的长方形的长宽分别为，． 由题意可得：， 解得． 所以长方形的宽为：， 长方形的面积为：， 六个形状大小相同的长方形的面积和为：， 阴影部分的面积是：． 10．A 【分析】根据题干中的相等关系列方程组即可． 【详解】解：设杯身高为，底座高为， 根据杯身高与底座高之和是，可得：， 杯身高占总高的， 总高为， 杯顶高与杯身高之和是， 又杯顶高与杯身高之和是， ， 可列方程组为． 11． 【详解】解： 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为． 12． 【分析】将方程组的两个方程相减得到，结合得到关于的方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：， 得，， 即， 又∵， ， 解得：． 13． 【分析】将代入二元一次方程组中，得到，①+②得，，可求得，即可求解． 【详解】解：关于、的二元一次方程组的解为， ∴， ∴①+②得，， ∴， ∴． 14． 【分析】因为方程组有相同的解，所以只需求出一组解代入另一组，即可求出未知数的值． 【详解】∵关于的方程组和的解相同， 方程和的解相同， 联立方程组可得：， 得：， 解得：， ， 解得：， 方程组的解为， 根据题意可得，方程和方程的解也是， ， 化简得：， 解得：， ． 15． 【分析】观察图1可知：第一列表示x系数，第二列表示y系数，第三列表示常数项，相应的常数项的算筹左边的一横代表10，上边的一横代表5，一竖代表1，结合图1即可得出图2所表示的方程组． 【详解】解：算筹图2所表示的方程组为． 16． 【分析】通过已知完整的对角线求出 “幻和”（即每行、每列、对角线的和），利用列或行的和建立方程，依次求出未知数和的值，最后计算． 【详解】解：从右上角到左下角的对角线上的三个数分别为、、， ， 第一列三个数分别为、、， ， 解得：， 从左上角到右下角的对角线上的三个数分别为、、， ， 解得：， ． 17．(1)； (2)． 【详解】（1）解：， 将②代入①得， 解得， 将代入②，得， ∴方程组的解为； （2）解：， 得， 解得， 将代入②，得， 解得， ∴方程组的解为． 18．． 【分析】首先利用加减消元法解二元一次方程组，得到、关于的表达式；再根据方程解的定义，将、代入，得到关于的一元一次方程，最后解该方程求出的值． 【详解】解：解方程组，得， ∵二元一次方程组的解是二元一次方程的一个解， ∴代入方程得：， 解得． 19．，， 【分析】把甲的正确解代入方程组中可得的值，以及与的二元一次方程式，再将乙的错解代入中得到与的二元一次方程式，将两方程式联立即可求得，的值． 【详解】解：把代入方程组中得， ，可得， 把代入中得，， 可得新的方程组：， 由得，， 将代入得，， 解得， ， 即方程组的解为， 即，，． 20．(1)7 (2) 【分析】（1）根据新定义可得，据此求解即可； （2）根据新定义可得，解方程组即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：∵ ∴，即， 得，解得， 把代入①得，解得， ∴． 21．(1)是 (2)② (3)一箱零件数是28个，该工人每小时能生产的零件数是8个 【分析】本题主要考查了一元一次方程和二元一次方程组的应用，正确理解所列方程的意义是解题的关键． （1）根据所列方程分别得到小明和小亮所列方程中x的意义即可得到答案； （2）根据小亮所列方程的意义求解即可； （3）利用解二元一次方程组的方法求解即可． 【详解】（1）解：由小明所列方程的意义可知，小明方程中x表示的是这一箱零件的个数， 而由小亮所列方程的意义可知，小亮方程中的x表示的是这一箱零件的个数， ∴以上两个方程（组）中x意义相同， 故答案为：是； （2）解：根据小亮所列方程的意义可知小亮的方程所用等量关系为4个小时生产的零件数相等， 故答案为：②； （3）解：设一箱零件数是个，该工人每小时能生产的零件数是个， 根据题意得，， 得：， 解得， 把代入①得：， 解得， ∴这一箱零件和该工人每小时能生产的零件数分别是28个、8个． 22．(1)调配座新能源客车辆，该大学共有名志愿者 (2)调配座新能源客车辆，座新能源客车辆 【分析】（）设调配座新能源客车辆，该大学共有名志愿者，根据题意列出方程组即可求解； （）设调配座新能源客车辆，座新能源客车辆，根据题意列出方程解答即可求解； 【详解】（1）解：设调配座新能源客车辆，该大学共有名志愿者， 由题意得，， 解得， 答：调配座新能源客车辆，该大学共有名志愿者； （2）解：设调配座新能源客车辆，座新能源客车辆， 由题意得，， 化简得，， ∵均为正整数， ∴， 答：调配座新能源客车辆，座新能源客车辆． 23．(1) (2)购买50本笔记本、50支签字笔、50支记号笔需500元 【分析】（1）计算即可； （2）设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为x元、y元、z元，根据“购买3本笔记本、2支签字笔、1支记号笔需28元；若购买7本笔记本、5支签字笔、3支记号笔需66元”得，求出，可知的值． 【详解】（1）解：， ，得， ∴． （2）解：设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为x元、y元、z元． 根据题意，得 ∴，得． ∴（元）． 答：购买50本笔记本、50支签字笔、50支记号笔需500元． 24．(1)最低采购费用为36元，对应方案：甲彩纸6张、乙彩纸10张，或甲彩纸9张、乙彩纸5张； (2)一种可行方案：窗花用甲6张、乙10张，纸雕用甲10张、乙6张，总费用64元． 【分析】（1）设1张甲彩纸能剪窗花朵，1张乙彩纸能剪窗花朵，根据题意列出二元一次方程组，可求得1张甲彩纸能剪窗花5朵，1张乙彩纸能剪窗花3朵；再设需要甲彩纸张，乙彩纸张，根据题意列出二元一次方程，求解即可； （2）设制作窗花用甲彩纸a张、乙彩纸b张；制作纸雕用甲彩纸m张、乙彩纸n张．根据题意列式计算即可求解． 【详解】（1）解：设1张甲彩纸能剪窗花朵，1张乙彩纸能剪窗花朵， 根据题意得， 解得， ∴1张甲彩纸能剪窗花5朵，1张乙彩纸能剪窗花3朵； 设需要甲彩纸张，乙彩纸张， 由题意得， 整理得，需满足是3的倍数，， ∴，；，；，；，； 促销规则：买1张甲彩纸赠送1张乙彩纸，所以实际需要购买的乙彩纸数量为 (若)，否则只需买甲彩纸； 方案1：，， 费用：元； 方案2：，， 费用：元； 方案3：，， 费用：元(因为，赠送的乙彩纸足够) ， 方案4：，， 费用：元； 所以最低采购费用为36元，对应方案：甲彩纸6张、乙彩纸10张，或甲彩纸9张、乙彩纸5张； （2）解：设制作窗花用甲彩纸a张、乙彩纸b张；制作纸雕用甲彩纸m张、乙彩纸n张． 满足： 1.窗花： (同第一问) ， 2.纸雕：， 3.总费用： 4.余料最少： 即a，b，m，n尽量满足等式，无多余； 由，m，n都是非负整数， ∴或或或或或或， 总费用：， 整理得， 当时，不满足； 当时，满足； 此时，总费用， ∴一种可行方案：窗花用甲6张、乙10张，纸雕用甲10张、乙6张，总费用64元，无余料． 答案第12页，共14页 答案第11页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $