数列 考前大题训练-2026届高三数学三轮冲刺

2026高考必刷大题2--数列 　　 1.已知数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，an＋bn＝2n－1＋2n－1，Tn－Sn＝2n－n2－1. （1）求a1，b1及数列{an}，{bn}的通项公式； （2）设cn＝（k∈N*），求数列{cn}的前2n项和P2n. 【解】（1）在Tn－Sn＝2n－n2－1中，当n＝1时，b1－a1＝0， 当n≥2时，bn－an＝Tn－Sn－（Tn－1－Sn－1）＝2n－n2－1－2n－1＋（n－1）2＋1＝2n－1－2n＋1， 显然b1－a1＝0适合上式， 所以bn－an＝2n－1－2n＋1，n∈N*， 又an＋bn＝2n－1＋2n－1， 所以两式相减得an＝2n－1，两式相加得bn＝2n－1， 且a1＝1，b1＝1. （2）因为cn＝（k∈N*）， 结合（1）中所求，cn＝（k∈N*）， 故P2n＝c1＋c2＋c3＋…＋c2n ＝a1＋b2＋a3＋b4＋…＋a2n－1＋b2n ＝（a1＋a3＋…＋a2n－1）＋（b2＋b4＋…＋b2n） ＝＋ ＝2n2－n＋－. 2.已知等差数列的公差为，且，设为的前项和，数列满足. （1）若，且，求； （2）若数列也是公差为的等差数列，求数列的前项和. 【解】（1）依题意，，， 则，由，得，解得，而， 所以. （2）由是公差为的等差数列，设， 又， 于是对任意恒成立， 即对任意恒成立， 则，又，解得，从而，， 当为偶数时， ； 当为奇数时， ，所以. 3.已知数列中，，. (1)证明：数列是等比数列； (2)求的前项和； (3)令，求数列的最大项. 【解】（1）因为，，所以， 所以，数列是以为首项为公比的等比数列. （2）由（1）得所以 化简得. （3）由（2）得，所以， ，令易得，又 单调递减，当时，即，，又当时，所以数列的最大项为. 4.已知等比数列的前n项和为， (1)求数列的通项公式; (2)在数列的相邻项与之间插入k个相同的数，使其与原数列构成新数列，设为数列的前n项和，求 【解】（1）由，得， 两式相减得， 即，， 得等比数列的公比， 又当时，，所以，所以 （2）数列为：3，，，1，1，，，，， 以如下划分：3，，，1，1，，，，，，得项数， 当时共有项数， 当时共有项数， 所以 . 5.已知数列{an}各项都是正数，a1＝1，对任意n∈N*都有＋＋…＋＝.数列{bn}满足b1＝1，bn＋bn＋1＝2n＋1（n∈N*）. （1）求数列{an}，{bn}的通项公式； （2）数列{cn}满足cn＝，数列{cn}的前n项和为Tn，若不等式4×3n＋9λ＜3n＋2Tn对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围. 【解】（1）数列{an}各项都是正数，a1＝1，对任意n∈N*都有＋＋…＋＝， ① 当n≥2时，＋＋…＋＝， ② ①－②可得3＝－，因为数列{an}各项都是正数，所以可化为an＋1＝2an， 因为＝，a1＝1，a2＞0，所以a2＝2，所以a2＝2a1， 所以数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以an＝2n－1，n∈N*. 数列{bn}满足b1＝1，bn＋bn＋1＝2n＋1（n∈N*）， 可得b2＝3－b1＝2， 当n≥2时，bn－1＋bn＝2n－1，又bn＋bn＋1＝2n＋1， 两式相减可得bn＋1－bn－1＝2， 所以{bn}的奇数项和偶数项均为公差为2的等差数列， 可得奇数项为1，3，5，7，…，2n－1，…，偶数项为2，4，6，…，2n，…， 所以bn＝n. （2）因为cn＝＝n·（）2n， 所以Tn＝1×＋2×＋3×＋…＋n·（）2n， 所以Tn＝1×＋2×＋3×＋…＋（n－1）·（）2n＋n·（）2n＋2， 两式相减可得Tn＝＋＋＋…＋（）2n－＝－n（）2n＋2， 化为Tn＝－·，若不等式4×3n＋9λ＜3n＋2Tn对一切n∈N*恒成立， 即为－9λ＞（3n＋4）·（）n恒成立， 设dn＝（3n＋4）·（）n， －1＝－1＝－1＝， 当n＝1时，d2＞d1，当n≥2时，dn＋1＜dn， 所以n＝2时，dn取得最大值，则－9λ＞， 解得λ＜－， 即λ的取值范围是（－∞，－）. 6.已知函数数列的首项以后各项按如下方式取定：记曲线在处的切线为，若，则记与轴交点的横坐标是． 证明：数列为等比数列； 设，求数列的前项和． 【解】由，得， 曲线在处的切线方程为， 根据题意令可得，， 由， 因为，所以，且由得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列． 由上式得，， 则， 两边乘以可得：，． 由得，， 所以． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026高考必刷大题2--数列 　　 1.已知数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，an＋bn＝2n－1＋2n－1，Tn－Sn＝2n－n2－1. （1）求a1，b1及数列{an}，{bn}的通项公式； （2）设cn＝（k∈N*），求数列{cn}的前2n项和P2n. 2.已知等差数列的公差为，且，设为的前项和，数列满足. （1）若，且，求； （2）若数列也是公差为的等差数列，求数列的前项和. 3.已知数列中，，. (1)证明：数列是等比数列； (2)求的前项和； (3)令，求数列的最大项. 4.已知等比数列的前n项和为， (1)求数列的通项公式; (2)在数列的相邻项与之间插入k个相同的数，使其与原数列构成新数列，设为数列的前n项和，求 5.已知数列{an}各项都是正数，a1＝1，对任意n∈N*都有＋＋…＋＝.数列{bn}满足b1＝1，bn＋bn＋1＝2n＋1（n∈N*）. （1）求数列{an}，{bn}的通项公式； （2）数列{cn}满足cn＝，数列{cn}的前n项和为Tn，若不等式4×3n＋9λ＜3n＋2Tn对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围. 6.已知函数数列的首项以后各项按如下方式取定：记曲线在处的切线为，若，则记与轴交点的横坐标是． 证明：数列为等比数列； 设，求数列的前项和． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $