福建省南安国光中学等校2025-2026学年高二下学期4月期中考试数学试题

2026年春高二下期中考试数学试题 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级 姓名 座号 一、单项选择题（共8小题，每题5分，四个选项中只有一个符合要求） 1.下列各式，求导正确的是（) A.(3)=3x B.(logx)'=10 c.(3=3h3 D.(log)=1 2.在某一次招聘中，主考言要求应聘者从备选题中一次性随机抽取10道题，并独立完成所抽 取的10道题，每道题答对得10分，答错不得分。甲答对每道题的概率为行，且每道题答对与 否互不影响.记甲最后的得分为X,则D(X)=() 8.2000 0 C. 2000 3 D. 3 3.若函数f(x)=-x3+3x2+9x+a在区间[-2,0]上的最大值为2，则它在R上的极小值为() A.-5 B.-3 C.24 D.27 4.（2++x)的展开武中含的项的系数为《) A.55 B.36 C.27 D.21 5.下列说法错误的是() A设随机变量X服从二项分布6 则P(X=2)= 64 B.受离散型随机变量7服从两点分布，若P阳=)=2P7=0),则P7=0)=月 C.设离散型随机变量X等可能取1,2,3，.，n,若P(X<4)=0.3,则n=20 D.从装有大小形状都相同的5个红球和3个白球的袋子中一次抽出2个球， 取到白球的个数记为7，则P收=)=员 6.已知函数f(x)=一x'sinx+xcosx,则其导函数f(x)的图像大致是() 2 高二下数学期中试卷 第1页共4页 7.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名 志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有() A.60种 B.120种 C.180种 D.240种 8.已知不等式x+ainx+。三之x对re,+o)恒成立，则实数a的最小值为（) A.-V B. C.-2e D.-e 二、多项选择题（共3小题，每题6分，四个选项中有2-3个正确选项，答对部分得部分分， 有错选得零分) 9.甲、乙、丙、丁、戊5人参加完某项活动后合影留念，则() A.5人站成一排，甲不在两端，共有72种排法 B.5人站成一排，若甲、乙两人站一起，共有24种排法 C.站两排，甲、乙、丙站前排，丁、戊站后排，共有12种排法 D.5人站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端，共有84种排法 10.有3台车床加工同一型号的零件，第1,2,3台加工的次品率分别为6%，5%，4%，加工出 来的零件混放在一起.已知第1,2,3台车床加工的零件数的比为5：6：9，现任取一个零件， 记事件4=“零件为第i台车床加工”(i=1,2,3),事件B=“零件为次品”，则() AP(4)=02B.Pfa4)=05c.P(=0058D.P(4-话 11.己知函数f(x)=e-bx-2有两个零点x1,x2,则 A.当b=e时，f(x)≤-2 B.f(古+)<x)+ 2 2 C.当b>e时，e+e>2e D.函数g(b)x-x21取最小值时，b=2 高二下数学期中试卷 第2页共4页 三、填空题（共3小愿，每题5分，把答案填在答题卡横线上） 12.从1,2,3…9这9个自然数中任取3个数，若5表示取出的三个数中偶数的个数，则 E(5)= 13. 的展开式第3项的系数为84，则展开式中最大的二项式系数值为一· 4.已知函数f)=-x+b,则xeR,存在a,b(其中a,beR且la≥I).能使以下式 子恒成立的是 四、解答题共6小题，共77分) 15.(13分)用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的 (1)六位奇数： (2)不大于4310的四位偶数. 16.(15分)己知函数f=】x2-(a+a)x-a+alnx. (1)若a=1,求f(x)在[1,2]上的值域： (2)若a2-a≠0，讨论∫(x)的单调性. 17.(15分)已知实数a>0,函数f(x)=a(e+a)-2nx,记G(x)=f'(x) (1)当a=I时，解不等式f(x)>e: (2)判断G(x)的零点个数； (3)证明：f(x)≥4+d2+n 4 高二下数学期中试卷 第3页共4页 18.(17分)为营造浓厚的全国文明城市创建氛围，积极响应创建全国文明城市号召，提高对 创城行动的责任感和参与度，学校号召师生利用周末参与创城志愿活动.高二(1)班某小组有 男生4人，女生2人，现从中随机选取2人作为志愿者参加活动 (1)求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率； (2)记参加活动的女生人数为X,求X的分布列及期望E(X): (3)若志愿活动共有卫生清洁员、交通文明监督员、科普宣传员三项可供选择.每名女生至多从 中选择2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为，：每名男生至少从中选择参加2项活 动，且选择参加2项或3项的可能性也均为；，每人每参加1项活动可获得3个工时，记随机 选取的两人所得工时之和为Y,求Y的期望E(Y). 19、(17分)某种电子玩具启动后，屏幕上的LED显示灯会随机亮起红灯或绿灯.在玩具启动 前，用户可对乃，(0<乃<1)赋值，且在第1次亮灯时，亮起红灯的概率为乃，亮起绿灯的概 率为1-A,随后若第n(nGN)次亮起的是红灯，则第+1次亮起红灯的概率为}，亮起绿 3 灯的概率为号：若第1次亮起的是绿灯，则第+1次亮起红灯的概率为号，亮起绿灯的概率为兮 (1)若输入户=乞，记该玩具启动后，前3次亮灯中亮红灯的次数为X求X的分布列和数学 期望： (2)在玩具启动后，若某次亮灯为红灯，且亮红灯的概率在区间 10101、 20272内，则玩具会自动 唱一首歌曲，否则不唱歌.现输入乃=行则在前20次亮灯中，该玩具最多唱几次歌？ 高二下数学期中试卷 第4页共4页 2 2026年春高二期中考试数学试题 参考答案详细解析评分标准 CBAAC DDD AC BD BCD 35 8.【解折】不等式x+a血x+之女对xe值，o)恒成立，可变形为x 1zx-anx, 即e-ne之×-h父对x,+四)恒成立，设g()=x-nx,则g以=1-=￥ 当x∈(，+)时，g'(x>0,即g(x)=x-nx在x∈，)时单调递增：当x∈(0,1)时，g'(x)<0,即 g()=x-hx在x∈(0,1)时单调递减.因而ge之gx）在x∈（化+）上恒成立即可。 当e时，c时 而当a<0时（因四个选项都小于0，所以只需讨论a<0的情说），X∈(0,1) 因为g()=x-1血x在x∈(0,1)时单调递减，若ge）≥gx）,只需e≤ 不等式两边同取自然底数的对数，可得-x≤a血x. 当x化切)时，0<hx,化简不等式可得5a,只（后 -x ≤a 令因益，则-名号，◆=0，期得=e 当xe,e时，h(>0,则(=产在低e内单调递增： 当xe四)时，闪<0，则A)=产在e四)内单调递减. 。所以()=在x=e处取得最大值，（因。，故心5a.所以实数a的最小值为心， 11.【详解】对于A选项，f()=e-ex-2,f(x)=e-e, (-2,1) (1,+∞) f'(x) f(x)<0 f(x)>0 f刻 单调递减 单调递增 由上表分析可知，∫(x)护∫)=-2，故A错误。 对于B选项， 。24暴法：)-生=e学-e+e,因为e+≥26e-2学（由 2 石巧知等号不废立)，所似e学皆，中0：数B正确 解法二："(x)=e'-方，由f闭有稻个零点知方>0，否测∫幻单薄」 令∫'(x)=0,解得x=mb，从而可得f勾在(%，血)拳薄递减：在如，)单薄递增， 不妨设名<为，又f川名)=∫(x,)=0,所以名<mb<为，所以红∈（务，），f)<0 而五%，)，所以百五)<0=：L,故B正确 2 2 2 对于C透项，不舫设为>为， 仁=年+2两式相减得中-心=-5，即-之=， e=b加+2 名一名 已知6>e,故2-兰=25>26.欲E4+e的>26，先证+白>2-心 名一为 万一名 即证二五，中-炉。- 22+中+ ,设1=名-为>0，即证1>0，F0= e-l t 2c0. e-0 因为F④=2C+ <0,故P的=-在4e0网单递减，故P0<F阿=0. 所以e产+e>2e,故C正确， 对于选须D,解法-一：已知方程二2=五有两个实数根，，不妨没石>石 设适数树=，g间-2 设k()=ex-e+2,(x)=ex,易证x≥0=I>0, 即g(x)>0在(-心，0)和(0，+∞)恒成立，故g(x)在区间{0，)和(0+∞)上都是单调递增 由题意得g(3)=名)，则必有名<0<为，设1斗为-与仁为-为=). 因为b=中-2-的-2，根合分比b=-中=4-1 x一无 人为之云 从面得到方程6=“，可得 支c的 名5<0，共号函数为6)=巴设因心+2+. 设)=的-2 为5 N(x)=e+2(x+1)在区间(-，0)单调递增，且存在唯一的零点云，满是2（名+）=e中. 所以（名）在(-2，名)单调送减，在化，)单调适增，即当且仅当5=天时，化)=空-取到最小值化)。 2 由题意得，1=g问存在最小值，不妨设为。，考察函数下)=￠一，≥， 因为F)=n(3),所以F()的最小值F)=(x), 又因为F)在1∈。，+∞)单调递增，当且仅当1=。时取到最小值，即F()=(). 故当且仪当名=x时，1=g(b)取到最小值， 此时6.-2.-2.2+D-2=2,故D正确」 为3。 解法二：由B解法二可知，函数∫(x)=-bx-2(b>0)有两个零点x,x2, 不妨设x>为 由题意得 =+2两式相除，得e=+名 1e=bx2+2, bx2+2' 面山名，-++2：32+2+-1+b货海-1.6 bx2+2 bx2+2 -2bx2+21 又由c=,+2得的-2=b,代入上式，得=的-2 ￥-为1 设1x一，=g(⑥)，所以1=x-x>0,余下同解法一.故D正确。 14.【答案】①②③ 【解析】了(x)=x2-a,当a≤-1时，∫"(x)之0，f()为x∈R上单调递增函数， =2b,当a=-1时，令(x)=x2+1>0)为单调递增函数， 因为-x2sa+1=0,所以f(-x2)sf(a+1), 四、解答题（共6小题，共77分） 15.(13分)用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的 (1)六位奇数：(2)不大于4310的四位偶数. 【答案】(1)288：(2)110 【详解】(1)计算六位奇数的个数需要三步（最终答案不对，则回补每步1分）： 先排个位数字有种，再排最高位数字有种，最后排余下四个数位有A。…3分 由分步乘法计算原理得A4=3·4·24=288, 3 所以可以组成无重复数字的大位奇数288个。…5分 【说明】最终结果对就给满分，答案不对再回补，3步每步1分. (2)计算不大于4310的四位偶数个数有两类四种（最终答案不对，则回补每类2分）： ①千位上数字小于4时，个位数字是2有个；个位数字是0,4之一有公4个；…9分 ②千位上数字是4时，若百位数字小于3，则有个，若百位数字是3，则有4310和4302两个. 由分类加法计数原理得（店4+4）+（今4+2）=110， 【说明】最终结果对就给满分，答案不对再回补，4种海种2分。 所以可以组成无重复数字的不大于4310的四位偶数110个。…13分 【说明】没写分步、分类计数原理不扣分. 16.(15分)已知函数f)=)x-a+a)x-a+anr. 2 (1)若a=1,求f(x)在l,2]上的值域；(2)若a2-a≠0，讨论f(x)的单调性. 【答案】[-3+加2]2)答案见解折。 【详解】（1)a=1,则f(=方2-2x-1+n元x>0.r=x-2+-2x+1.-.0.…2分 .∫(x)在(0，+∞)单调递增，∴x)在，2]单调递增. e[/01]-[3-3+h2],即在，2止值城为[子3+h2] 44444…3分 2》f(e=x-a+a)+g--a+x+d.k-c0x-a .x>0 4…5分 f'(x)=0→x=a,为=a2，a2-a≠0→a≠0且a*1, ①当a>1时，a2>a>1,0<x<a或x>a2时，f（(x)>0,f(x)单调递增： a<x<a时，'(x)<0,∫(x)单调递减.… ……8分 ②当0<a<1时，0<d2<a<1,0<x<a2或x>a时，f'(x)>0,f(x)单调递增： a2<x<a时，∫'(x)<0,f(x)单调递减.… …11分 ③当a<0时，a2>0>a.0<x<a2时，∫'(x)<0,f(x)单调递减： x>a2,∫"(x)>0,∫(x)单调递增.… …】4分 综上，当a<0时，x)在(0，a2)单调递减，在(a2,+∞)单调递增： 4 4 当0<a<1时，x)在(0，a2),(a,+o)单调递增，在(a2,a)单调递减： 当a>1时，x)在(0，a),(a之，oo)单调递增，在(a,a）单调递减.…15分 17.(15分)已知实数a>0,函数f(x)=a(e+a)-2lnx,记G(x)=f"(x) (1)当a=1时，解不等式f()>c；(2)判断G)的等点个数：(3)证明：问)>≥4+02+n 【答案】(1)(0，：(2)1个：(3)证明见解析. 【详解】(1)当a=1时，f(x)=e+1-2nx>e, 所以hx<分所以0<x<6,所以不等式的解集为(0v同.…3分 (2)函数)的定义域为(0，+o,f(x)=ae-2.ae-2 …5分 g(x)=ae-2,则g(x)=a(x+1)e>0,所以g(x)在区间(0，+o)上单调递增.…7分 又为8o-2<0,)-22--小0 …9分 所以存在心)使得g代)=0，所以GC时在区间Q树)上有且只有一个等点.…10分 (3)证明：由(2)知，当xe(0,)时，∫(x)<0,f(x)在(0，)上单调递减，…11分 当x(,+∞)时，(x)>0,f(x在(，四）上单调递增，…12分 所以f（(x)2f(x)=a(e*+a-2nx. 因为心，e-2=0,所以c= ,ha+=lh2-lh6.…14分 所以f5）=ae+小-2h5=2+e-2m2-na-6)=2+2+a2+hg>≥4+a2+h 4 4 所以f(x)24+a2+hg …15分 4 18.(17分)为营造浓厚的全国文明城市创建氛围，积极响应创建全国文明城市号召，提高对创城行动的 责任感和参与度，学校号召师生利用周末参与创城志愿活动.高二(1)班某小组有男生4人，女生2人， 现从中随机进取2人作为志愿者参加活动. (1)求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参州活动的概率： (2)记参加活动的女生人数为X,求X的分布列及期望E(X): (3)若志愿活动共有卫生清洁员、交通文明监督员、科普宜传员三项可供选择。每名女生至多从中选择2 项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为)：每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项 或3项的可能性也均为；，每人每参加1项活动可获得3个工时，记随机选取的两人所得工时之和为Y, 求Y的期望E(Y). 【答案】①多：2)分布列见解斩，E()=子：(3)B)=13. 【详解】(1)设“有女生参加活动”为事件4，”恰有一名女生参加活动“为事件B,…1分 则P答-号PS-号 …3分 51 8 所以P(B1A)= 4…4分 P(A) 5 （2)依题意知X服从超几何分布，且P(X=k)=C2(k=0,12),…5分 C P(X=0)= ……8分 C 15 所以X的分布列为： 0 2 2 8 5 15 5 【说明】没有列表不扣分 Ex)=0x子+1 8 12 +2×i53 …9分 (3)设一名女生参加活动可获得工时数为X1,一名男生参加活动可获得工时数为X,· 则X的所有可能取值为3,6，X2的所有可能取值为6,9。… …11分 PX=)=PX=6)=号EX)=3x3+6x号 2 22' ………13分 x=0=Px=9=BX=6x时9x3 115 …15分 22 221 有X名女生参加活动，则男生有2一X名参加活动. Y=X+2-X）=15-3X,…… …16分 2 所以E(y)=EL5-3x)=5-3E(x)=15-3x2=13. 6 A 即两人工时之和的期望为13个工时.… …7分 19.(17分)某种电子玩具启动后，屏幕上的LED显示灯会随机亮起红灯或绿灯.在玩具启动前，用户可 对乃(0<A<1)赋值，且在第1次亮灯时，亮起红灯的概率为乃，亮起绿灯的概率为1-乃.随后若第n （n∈N心)次亮起的是红灯，则第1次亮起红灯的概率为，亮起绿灯的概率为子，若第n次亮起的是 绿灯，则第1次亮起红灯的概率为子，充起绿灯的概率为}： (1D若输入月之，记该玩具启动后，前3次亮灯中亮红灯的次数为X求X的分布列和数半期塑： ②》在玩具启动后，若某次充灯为红灯，且亮红灯的瓶率在区阿（韵内，则玩具会自动帽一首歌曲， 否则不唱歌。现输入月-号，则在前20次亮灯中，该玩具最多唱几次歌？ 【答案】D分布列见解折。E(X)-:(2)7次。 【详解】(1)据题意，X的所有可能取值为0,1,2,3. …1分 当X=0时，前3次亮灯的颜色为绿绿绿”，则P(X=0)=线{= 23318 …2分 当X=1时，前3次亮灯的颜色为“红绿绿”，或“绿红绿”，或“绿绿红”， 121,122,1124 …4分 当X=2时，前3次亮灯的颜色为“红红绿”或“红绿红”或“绿红红， 1x1x2.122,1214 则P(x=2)-2x号+2*兮*写+23*3g 当X=3时，前3次充灯的颜色为红红红，则P=)=兮对后 …6分 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 1 4 1 18 18 E(X）=0x18+1 +2 4 0 +3 13 2 …7分 18 (2)记第n次亮灯时，充起红灯的概率为n,由题设，P1=,×兮+1-p,)号=， 2 …10分 11(。1) …11分 1 1 因为P,=了则n2=6 …12分 ∫。1l 1 所以{P,引是首项为石，公比为- 的等比数列 …13分 6 则n安”，所以取= …14分 由n分写空得<0，所以为奇数 …15分 由> 因为n为奇%，则分<27即g>2021,则n27.…16分 当n≤20时，n=7,9,11,13,15,17,19. 因为玩具在这7次亮灯中亮红灯是随机事件，所以在前20次亮灯中，该玩具最多唱7次歌.…17分