福建永春第一中学2025-2026学年高一年级期中考试数学科试卷（2026.4）

永春一中2026年4月高一年期中考数学科参考答案(2026.4) 题号 2 3 4 6 1 8 9 10 答案 A B D ABC ACD 题号11 答案ABD 1.C解：因为12026=12=-1，所以z=24 1-1 奇=a1+0-+,则虚部为 1+ 2.A作OH⊥AE,垂足为E,如下图所示： 则H为AE的中点，故OA·AE=-AO·AE=-AOM匝cos∠OAE 压-32，造A 3.D过B'作B'C/10交y轴于点C',可得∠B'C'0=45°， 因为∠B'Oy'=90°，所以△0BC为等腰直角三角形，所以0B'=0C=2N2, 根据斜二测画法，可得△OAB,如图所示，则OA=2√2，OC=4V2 所以A4B0的面积S=040C=x2√2×4V2=8. 4.B圆锥的底面半径为r=√5，侧面展开图的弧长为2√5元，又侧 面展开图的圆心角为否，得圆维母线长 25元=35 2元 则圆锥 3 的表面积S=rl+2=12元.故选：B. 5.C如下图，设正三棱台ABC一A1B1C1的上、下底面的中心分别为01、0， 由正三棱台的几何性质可知，外接球球心E在直线001上， 正△ABC的外接圆半径为0A=S=2,正△AMBC的外接圆半径为04 3 23in60°=1， 设0E=d,若球心在线段001上，则0<d<1,01E=1-d, 设球E的半径为R,则R2=0A2+d2=01A好+(1-d)2, 即4+d2=1+(1-d)2,解得d=-1,不合乎题意； 所以，球心E在射线010上，则01E=d+1, R2=0A2+d=01A好+(1-d)2,即4+d2=1+(d+1)2,解得d=1, 所以R2=4+1=5,即R=V5,故该正三棱台的外接球体积为V=青R3= 20V5π 3 6.C设DE=h,因为ma=6,amB=2,n7=5, 2 烈4点。朗品会A意受 tan 3 因为AC=20,点B为AC中点，所以AC=20,点B,为AC中点，故A4B,=B,C=10, 100+222 100-5 在△4B,D,中，由余弦定理得cos∠ABD,= +43= 12 2xi0x号 10h 100+2 100-2 在aCB,D中，由余弦定理得cos∠CB,D,=43 一12 2x10x2 Γ10h 2 由于∠ABD+∠CB,D,=π，故cos∠AB,D+cos∠CB,D,=0, 高一年数学科试卷 第1页共8页 ▣▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 即100、5h2 100-2 12+ 2=0'解得h=20,故建筑物的高度DB=h+2=22(米). 10h 10h 5 设P(cos0,sin), 因为MiP=元+μMN: 7-9-血0+25，i应-60，d-25 5 所以-e9-3血8,1B5,-460ha5 5 c0s0-3=-61 =3-cos日 即 sim0+125126 ,解得 6 554 =12 -sin 0+1 所以元+43+5sin0-二cos0=3+s血(0+p),当sm(0+p)=1时，+u的最小值是 212 6 24 4 8.B因为S=4b2-ab)tanC=absinC,所以d-a)tanc=2 asinC, 因为C∈(0，元)，所以sinC≠0，所以b-a=2 acos C, 由正弦定理可得，sinB-sinA=2 sinAcosC, sinB-2sinAcosC sin(A+C)-2sinAcosC sin(C-A)=sinA, 因为A,C∈(0，元)，所以C-A∈(-元，)，则C-A=A,即C=2A, 因为CD是角C的平分线，所以∠ACD=∠BCD=∠CAD,所以CD=AD=5, bb,因为SMc=S4c0+S.ocg,a=6,所以6bsin2A=5bsim4+30sin4,因为 则c0s4=2 =10 sinA≠0，所以12 bcos4=5b+30, 圆12b~9三5b+30,得6=三负值舍去)，故cosA在△CDB中利用余弦定理装 10 3 BD2=CD2+BC2-2CD·BCc0S∠DCB=25+36-2×5×6×2=16,故BD=4 4 9.ABC对于A,因为△ABC的边长为2√3，外接圆的半径R= 2W3 =2,所以AP的最大值为2R=4, 2sin60° 故A正确； 对于B,由题意知AD LBC,所以ABDB=BABD=BD=(5)2=3,故B正确： 对于C,等边三角形的外接圆圆心也是重心，所以AO=2OD,所以 B0=+40=A+8D-B）8+,故c正确： 对于D,当亚.AB取最大值时，点P是圆O的最右边的点，过点0的水平线与圆在右侧的交点，此时AP 在AB上的投影向量的模最大，显然不满足A,D,P三点共线，故D错误 10.AGD选项A,因为bcos4=a6osB,即b6+c2-a）_ae2+c2-b2) 2bc 2ac 所以有b2+c2-a2=a2+c2-b2整理可得a2=b2,所以a=b, 高一年数学科试卷 第2页共8页 ▣减▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣ 故△ABC为等腰三角形，故A正确： 选项B,由大边对大角，a>b→A>B,由余弦函数y=cosx在(0，π)上单调递减， 故cosA<cosB,故B错误： 选项C:若△MBC为锐角三角形，所以A+B>,所以号>A>-B>0, 2 由正弦语数y=油x在（引单调道摊，则s血A>动[仔8小co0,故C正确： 2 选项D:因为B= 3,a=2V5,如图，因为△ABC有两解，所以asin B<b<a, asin话 25血写6<25，解得3<b<25,故D正确： 1.ABD对于A当k=专时，连接BC,因为E,F分别为CC和BC的中点，所 以EF/IBC,又AD,IIBC,所以EF∥AD,又EFc平面EFG,AD,E平面EFG, 所以AD/1平面EFG,故A正确： 对于B,延长AF交DC于点H,连接HB交DD,于点I, 当0<k≤分时，I在线段DD上，载面为梯形AEF, 当k<1时，1在DD延长线上，E交CD于点K,连接AI交40于点J, 截面为五边形AFEKJ, D 所以，当<k<1时，过点A,F，B的平面檬该正方体所得的藏面为五边形，故B正确； 对于C,当k=时，E为CC中点， 因为平面a/1平面EFG,所以截面可以为正六边形，如图： 因为正方体的棱长为1，所以正六边形的边长为 2 所以面积S=6xx巨x ×如60355，故c错误， 222 42 对于D,设CC的中点为2，由A可知F44AD,所以2，F,A,D,四点共面， 对平面OFAD,和平面AD,G沿AD,展开，如图： 四边形4rO0为等服梯形，0=20F=5,Q0=P=5,所以0N-3互 2 又三角形4DG为等腰三角形，GA=GD,-5,所以GM= 2 2 ，GN=GM+Mw=32+V5 2 所以GF 3W2√3 2 V8+3√6 2 ,又PF+PG2GF, 所以PF+PG的最小值为V8+36 故D正确， 2 三、填空题 高一年数学科试卷 第3页共8页 ▣紫▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣ 12【答案12【详解】设圆合的高为，母线长为L,下底面半径为R,则宁-号，设h=4k(c>0,则1=5k, 所以12=h2+(R-1)2, 即(5k2=(4)2+(R-1)2,所以k=R-1 3 V-写0+R2+1xRa=写0+R2+Rxk-有+R2+Rx秋L28, 39 整理得：R3=8,所以R=2 R 13.【答案】①③④ 【详解】设该正四面体的棱长为a,则其表面积为4x5.2=5,所以a=1,④正确： 作AG⊥平面BCD,垂足为G,则G为△BCD的重心，连接CG延长交BD于中点E, 2 2 则有CG=二CB= 6,②错误： 31 16x5_互，®正确： 由①和②的分析可知该正四面体的体积为}×4G×S”写x号×4-2 将该四面体放入正方体中，则正方体的棱长为人= ,且四面体的外接球即为正方体的外接球，其半径 J22 为3x 2=6, 表面积为4x× _3死，④正确 4 2 2 4 14.【答案】4V2+元 【详解】复数2和2i所对应的点分别为4、B,.A(2,0),B(0,2), 设复数z,所对应的点为C,设复数z2所对应的点为D, 名-2=1，DC=1,点D轨迹是以点C为圆心，半径为1的圆， 点C在线段AB上移动，·点D的轨迹为：以线段AB上的点为圆心，半径为1的圆的并集， 即点D的轨迹为：以线段AB为中线，宽度为2的矩形，加上两端A,B为圆心，半径为1的两个半圆， A(2,0),B(0,2),AB=2N2, ∴复数z2对应点所构成图形的面积为2√2×2+×12=42+元.故答案为：42+π 四、解答题 15.【答案】⑩m=12=7@(3,》分 【详解】(1)因为m,n∈R,△=m-4n<0, 高一年数学科试卷 第4页共8页 ▣▣ 。夸克扫描王 极速扫描，就是高效 所以方程x2+mx+n=0的两个根3,32为共轭复数， 设名=a+bi，,2=a-bi(a,b∈R),由韦达定理得%+22=-m,222=n, 将2=a+i,22=a-bi代入名1+(1-i)22=9+6i, 得a+bi+(1-i)(a-bi)=9+6i,即(2a-b)-ai=9+6i, 所以，得6所议4=6-2，=6：2， 所以m=-(名+z2)=12,n=z22=477.- -6分 (2)因为z=1+2i,所以22=1-2i,所以ā=(1,2)，万=(1，-2)， 所以a-b=t(1,2)-(1,-2)=-1,2+2),a+25=(1,2)+21,-2)=3,-2), 因为ta-方与a+26的夹角为钝角，所以(a-6)(a+2万)K0,且ta-7与a+23不共线， 26-)-3+到0得-7且分取值范国(-7-引（分1分 3(t-1)-2(2t+2)<0 所以 16【答案】①作图见解折：3分②(i)证明见择析：5分()名5分 【详解】(1)在正四楼柱ABCD-ABGD中，连接DF并延长交AB,的延长线于点O,连接EO交BB,于( 连接FG,则四边形DEGF是过D,E,F三点的平面截正四棱柱ABCD-ABCD的截面a,如图：一 —3分 (2)(i)在正四棱柱ABCD-ABGD中，平面ADDA/1平面BCC,B, 平面D,EGF∩平面ADDA=D,E,平面D,EGF∩平面BCC,B=1,所以DEIL.--9分 (ii)由(1)及已知，OA⊥平面ADD4,OB,⊥平面BCC,B, D 由F是BC中点，B,CI/AD,得B,是OA的中点，又B,G/IAE,则 04=20B=4,BG=】4E=1, 21 B G E -Ixlx2x2x4-Ix1x 7 ×-×1×1×2=号 32 32 -3 D 方=a-494-g=2x2x4-7=41 -15分 B 17.【答案】①证明见解析（②）存在，日 (1)法一：连接BE,在正方体ABCD-ABCD中，E、G分别是DC、AB中点， .∴.DEIIGB且DE=GB,∴.四边形D,GBE是平行四边形 D,G∥EB,,'EBc平面DBFE,D,G丈平面DBFE,所以D,G∥平面DBFE D E D D D B G G 法二：连接D,C、GC分别交DE、DB于点H、O,连接HO,如图 EF方体ABCD-ABGD中，DEIIDC.且D,E=D OPPO Renoz 5G 高一年数学科试卷 第5页共8页 ▣▣ Q。夸克扫描王 极速扫描，就是高效 CHcD2,同理可得G0-BG、1 所以AHED HDC,则DL_BD-⊥ CocD2所以Ac0 CH CO 所以HO∥D,G,HOc平面DBFE,D,G平面DBFE,所以D,GI平面DBFE; 一6分 (2)存在，且41 48年，理由如下：因为DM=子0,4，所以== 4B4D4 ∴MNIIB D,又EFIB D, MNIIEF,·MNE平面DBFE,EFc平面DBFE,∴MNI∥平面DBFE, 法一：取AD中点P,连接AP,P℉，如图 3 :MD,=二AD,.M是AP中点，F为BC中点.PM是△AAP的中位线 4 ∴PM∥AP,又PF∥AB且PF=AB∴.四边形ABFP是平行四边形∴.APIIBF 得PMIIBF'BFc平面DBFE,PMt平面DBFE,所以PMI∥平面DBFE 又：MN∩PM=M,MN,PMc平面PMN,∴.平面PMNI∥平面DBFE C D B D G A 法二：延长NP交BA于K,延长EF交AB,于L,连接BL,如图： :P为中点，易得4 iPN.APK,K=4N=4,K=B :E,F分别为CDB,C的中点，易得△EFC≌△LFB, L=G=B,=8+8L=24B+号4-级， .BK=NZ,又AB∥AB,即BKNZ,四边形KBLN为平行四边形， :NK∥BL,NKt平面DBFE,BLC平面DBFE,所以NK∥平面DBFE, 又'MN∩NK=,MN,NKc平面PMN,∴.平面PMNI∥平面DBFE, 所以W1 A8=4时，平面PN∥平面DBFE】 -15分 18.【答案】(1)A= (2)3V3 3 (3)1+V3,3] (1)由正弦定理可知sim4_2sinB-sinC .'sin AcosC=2sin B cos A-sin Ccos A, cos4 cosC .sin AcosC+sin Ccos 4=sin(A+C)=2sin Bcos 4, 又A+B+C=元，sin(A+C=sin(π-B)=sinB,.sinB=2 sin Bcos A, :s血B>0,cos4=74e0刘，4=号 一3分 3 (2)由(1)及杀弦定理得a2=b+c2-2 bccos A,即1=b2+c2-bc,① 又烟为而-号亚+片4c,则而-}+号c 则而-++号衣，即-++ 1 49 @6餐科就活5G 第6页共8页 ▣紫▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣6 所以1=2b2+c2+2bc,@ 4 4 4 3 由②x4-①得bc=之所以Sc -bosind= 8 一9分 222 (3)由(1)得A=元，则B+C=2亚，即sinC=sin2死- _V -cos B+sin B, 3 3 2 由正弦定理可知b= asin B 2 sinB,c=asinc 2 sinC, sin A 3 sin A3 所以b+c= 店(sinB+simC)=2 2 (sin B+V3 -cosB+二sinB) 2 2 2 因为△ABC为锐角三角形，所以0<B<),0< 2-B< 3 B+6 即2sin B+ 6 ∈(W5,2], 6 则a+b+c∈(1+V3,3],故△ABC的周长的取值范围为(1+V3,3]. 17分 19、【详解】(1)法一：因为函数g(x)=sin(x+a)=cosasinx+sinacosx, 所以其“源向量”OM=(cosa,sia),显然1OM=Vcos2x+sin2x=l,即M轨迹为单位圆， 由正三角形的性质可知1OAF20BH0C1,OA+OB+0C=0, 所以Mi+M2+MC2=(OA-OM}+(OB-OM02+(oC-OM2 =0+0B+0C+30M-20M:(OA+0B+00=12+3=15,是定值； 法二：由题意可知M(cosa,sina,4A(-V5,-1),B(W5,-1),C(0,2), MA=(-3-cosa,-1-sina),MB=(3-cosa,-1-sina),MC=(-cosa,2-sina), 所以Mi=3+2√3cosa+cos2x+1+2sina+sim2a, MB=3-23cosa+coa+1+2sina+sin a MC*=cosa+4-4cosa+sin'a 所以M+MB+MC-15,是定值：一 —3分 (2)因为向量OA=(2,0)为函数g(x)的“源向量”，所以h(x)=2six, 则方程2si血x=k+1-2V31cosx在[0,2m)]上有且仅有四个不相等的实数根， 所以k=2simx+2√51cosx-1在[0,2π]上有且仅有四个不相等的实数根， 令1(x)=2sinx+2W3|cosx-1,x∈[0,2m, ②当5到时，0-2nx-25cax-14-哥}1， 4-}1x器》 所以I(x)= .其图象为： y=l(x) 结合4025-0，经c0m25-, OPPO Reno7 5G 高一年数学科试卷 第7页共8页 ▣▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣ 故当k=2sinx+2W31cosx-1在[0,2元上有且仅有四个不相等的实数根时， k的取值范围为(1,2W5-1U(2V5-1,3)；一- -9分 (3)法一：由题意得，F)=c0sx,则cos1=5 2 在三角形BC中，c84=F0=coSt=5,因此A=5 2 4 因为设P是△ABC外心，所以PAHPBHPC=r,∠APB=2∠ACB,∠APC=2∠ABC, 设∠ABC=a,∠ACB=B,则∠APB=2B,∠APC=2ax, 因为而C=亚，所器合西-团器民-网=证， sin∠ACB 'sin∠ABC sina 所以osa(-PPa+osL(PC-PPA=d.Pi, sin B sina 所以cosPB.Pi+cosE.P元pi=pi+cosFA+cosPAP, sin B sina sin B sina 所以osgr'cos∠APB+cs p∠APC=-2+eosg2+osB2 sin B sina sin B sing 9颁Bcos2p+0s 所以cosa cos2a--1+Cos@cosB sin a sin B sina 5所以2B-1)+os月(cos2a-）=-元， sinB sina 所以osg-2sim2g-14osE1-2sin2aw-1-2 sin B sina 所以2(cosasin B+cos Bsina)=2,所以2sin(a+P)=元， 又血a+=im(∠ABC+∠AC8)=sm∠BAC,因为∠BAC-牙，所以元=2sim子=2. 法二：由os及花+oCC=硬可得osB丽2+coCC=元亚，， sin C sin B sinC sin B 由向量的数量积公式可得0sBc2+c0 Cb0s4=元c, sinC sin B 即CosB 1 sin C c+Cos.C sinB :cosA=号c,由正弦定理可得cosB+cosC-cosA=sinC, 即2_0sB+c0sC·c0A= -c0sC+花 +cosC.cos 元 42，所以九=2.- -一-17分 2 sin C sin C 2 OPPO Reno/5G 女个业中光 第8页共8页 ▣紫▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣永春一中高一年级期中考试数学科试卷（2026.4) 命题：颜开，审题：庄一玲考试时问120分钟，试卷总分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 1.已知复数2=2+2026 1-， 则z的虚部为（) A 1 B.2 c D 2正五角犀是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五 角星ARCDE中，AB=8,O是该正五角星的中心，则OAAE=（) A.-32 B.32 C.-64 D.64 3.如图，△ABO的斜二测直观图是△AB'O,其中0A=0B=2√2，∠B'0y'=90,则 △ABO的面积是() A.1 B.2 C.4 D.8 4已知圆锥的底面半径为、5，侧面展开图的圆心角为子。则图维的表面积是（) A.2√5元 B.12π C.6V3π D.8π 5.己知正三棱台ABC-A1B1C1上下底面边长分别为V3、2V3,高为1，则正三棱台ABC- A1B1C1外接球的体积为（) A.20m B.5V5n C.20v5nt 3 3 D. 6某中学数学兴趣小组为测量学校附近某建筑物的高度，在学校操场选择了同一条直线上的 A,B,C三点进行测量.如图，AC=20(单位：米)，点B为AC中点，兴趣小组组长小 王在A,B,C三点正上方2米处的4，B,C观察建筑物最高点E的仰角分别为a,B, Y,其中ma=5,伽B=2,ny=5,点D为点E在地面上的正投影，点D为DE上 2 与A,B,C位于同-一高度的点，则建筑物的高度DE为()米. A.42 B.40 C.22 D.20 高一年数学科试卷，第1页共4页 ,矩形ZMWK,M=6,S油∠MN=,OE半径为L,且E为线段冰的 为圆E上动点，设=元立+μMN,则元+4的最小值是（） A.1 B子 C.5 4 已知△ABC中，a8e分别是角么B,C的对边，△ABC的面积S--)a如C, 角C的平分线交AB于D点，且a=6,CD=5,则BD=() A.3 B.4· C.5 D.6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题自要求.全部选对的得6分，.部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.如图，△ABC是边长为2√3的等边三角形，O是△ABC的外接圆圆心，延长AO与BC 交于点D,P是外接圆上一点，则() A丽的最大值为4 B.AB.DB=3 C.BO-1B4+2BD 3 D.当AP.AB取最大值时，A,D,P三点共线 此时P在B上的投影向量的模最大，显然不满足A,D,P三点共线，故D错误， l0.已知AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c则（ A.若bcos 4=acos B,则△ABC为等腰三角形 B.若a>b,则cosA>cosB C.在锐角△ABC中，不等式sinA>cosB恒成立 D.若B-于，a=25,且△ABC有两解，则b的取值范盟是3,25 高一年数学科试卷，第2页共4页 11如图，在楼长为1的正方体ABCD-ABCD中，点F,G分别是CB,CD的中点，E在 棱CC上，满足CE=kCC,ke[0,小，P为线段D上的-个动点，平面a/1平而EFG, D 则下列命题中正确的是() B A.当k-二时，AD,/I平面EFG 2 B.当<K<1时，过点4，P,E的平面裁该正方体所得的载面 为五边形 C。当太一号时，平面¤栽该正方体所得裁面面积的最大值为 D.PF+PG的最小值为8+36 2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.已知圆台的体积为 28 元，上底面半径为1，高与母线的比值为4，则该圆台的下底面半 9 径为 13若正四面体的表面积为V5,则①该正四面体的棱长为1：②该正四面体的高为√6③该 正因面体的体积为普O该正因面体的外接球表面积为经正确的序号是 14.在复平面上，复数2和2i所对应的点分别为A、B,复数31所对应的点在线段AB上移动， 若名一22=1，则复数2对应点所构成图形的面积为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分)已知i为虚数单位，名，z2是x2+mx+n=0(m,neR,△=m2-4m<0)的两个根 (1)设名，22满足方程+(1-)2=9+6i,求m,n的值： (2)设名=1+2i,复数乙，2所对的向量分别是a与方，若向量ta-b与a+26的夹角为钝角， 求实数t的取值范围. 16.(15分)己知正四棱柱ABCD-ABGD中，AB=2,A4=4,点E,F分别是棱AA,B,C 的中点，过D,E,F三点的截面为 (1)作出截面α（保留作图痕迹)： 高一年数学科试卷，第3页共4页 D (2)设截面ax与平面BB,CC交于直线l, 且截面α把该正四棱柱分割成两部分，记体积分别为”，2(《<) E （i)求证：DE11l: 号的成 17.(15分)如图，在正方体ABCD-ABGD中，点G,E,F,P分别为棱AB,DG,BC, 4的中点，点M是校40上的一点，且m-子40 (1)求证：D,G∥平面DBFE; (2)棱AB上是否存在一点N使平面PMN∥平面DBFE? 苦存在，求公的值：若不存在，诗说明理由 G 2b-c 18.(17分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,a=1,- cos A cosC (1)求角A: (2)若D是线段BC的中点，且AD=1,求S。Bc; (3)若△ABC为锐角三角形，求△ABC的周长的取值范围， 19.(17分)定义：对于非零向量OM=(m,n),若函数f(x)=msinx+ncosx,则称f(x)为 YA 向量O7的“伴生函数”，向量OM为函数∫(x)的“源向量”. (I)若函数g(x)=sin(x+a)的源向量"为OM,且以0为圆心， OM|为半径的圆内切于正AABC(顶点C恰好在y轴的正半轴上) 求证：+MB2+MC2为定值： (2)已知向量0=(2,0)为函数h(x)的“源向量”，若方程h(x)=k+1-25kosx在[0,2π]上 有且仅有四个不相等的实数根，求实数无的取值范围： (③)已知向量OM=(Q,)为函数F(x)的“源向量”，F()在x=t时的取值为 .设P是△ABC 外心，若0sA=F付，且os月恋+oCC=硬，求实数的值， sin C sinB 高一年数学科试卷，第4页共4页