精品解析：湖北孝感高级中学2025-2026学年高三下学期2月测试数学试卷

孝感高中2023级高三年级 数学试题 本卷满分150分 考试时间：120分钟 ★祝新年快乐 马到成功★ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求. 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义域及解对数不等式化简集合，由并集运算即可求解. 【详解】，， . 故选：D. 2. 若复数满足，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】先求出复数的代数形式，再根据复数的除法运算及复数的模的计算公式即可得解. 【详解】由，得， 所以， 所以， 所以. 故选：C. 3. 已知为偶函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用偶函数的定义可求出的值. 【详解】由可得，故函数的定义域为， 因为函数为偶函数，则， 即， 所以对任意的恒成立， 故，解得. 故选：A. 4. 对于响应变量，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差.将某公司新产品自上市起的月份与该月的对应销量（单位：万件）整理成如下表格： 月份x 1 2 3 4 5 销量y 0.5 1 1.4 建立y与x的线性回归方程为，则第2个月和第4个月的残差和为（ ） A. -0.919 B. -0.1 C. 0.1 D. 0.919 【答案】C 【解析】 【分析】先求平均值，将其代入回归方程，故，将2，4代入线性回归方程，根据残差概念计算即可. 【详解】由题意可得，， 将其代入回归方程，得，故， 将2，4代入线性回归方程，则第2，4个月的预测值分别为，， 故第2个月和第4个月的残差和为. 故选：C. 5. 若函数的两个零点分别为和，则（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用辅助角公式化简，再利用函数零点的意义及正弦函数的性质求得，进而求出，最后利用二倍角的余弦求值. 【详解】函数，其中， 由，得，而， 因此，即，则即， 所以 故选：A. 【点睛】关键点点睛：利用辅助角公式化简，结合正弦函数的性质用零点表示辅助角是求解问题的关键. 6. 已知是公比不为1的等比数列的前项和，则“成等差数列”是“存在不相等的正整数，使得成等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合等差数列性质及等比数列通项公式和求和公式，根据充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】因为是公比不为1的等比数列的前项和，所以若成等差数列，则， 从而，结合化简得， 若成等差数列，则，即，所以， 故当时，有， 即“成等差数列”能推出“存在不相等的正整数，使得成等差数列”； 反之，满足不一定是，如，，， 满足，但不满足， 即“存在不相等的正整数，使得成等差数列”推不出“成等差数列”； 所以“成等差数列”是“存在不相等正整数，使得成等差数列”的充分不必要条件. 故选：A 7. 在中，“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不必要条件，又不充分条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角公式可由化简成，结合充要条件的概念及三角形的性质即可得解. 【详解】等价于， 等价于，又在中，， 所以等价于， 由正弦定理得等价于，等价于， 故“”是“”的充要条件. 故选：C 8. 已知双曲线的右顶点为，抛物线的焦点为.若在双曲线的渐近线上存在点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出双曲线的右顶点和渐近线方程，抛物线的焦点坐标，可设，根据向量的数量积为；再由二次方程有实根的条件：判别式大于等于，化简整理，结合离心率公式即可得到所求范围． 【详解】双曲线的右顶点，渐近线方程为， 抛物线的焦点为， 设，则，， 由可得：， 整理可得：， ， ， ， 则：， 由可得：. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由平面展开图还原为正方体，根据正方体性质即可求解. 【详解】由正方体的平面展开图还原正方体如图， 由图形可知， ，故A错误； 由，四边形为平行四边形，所以，故B正确； 因为,,所以平面,所以，故C正确； 因为，而,所以，故D正确. 故选：BCD 10. 设 ，则（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 若且当时， 则有 【答案】AC 【解析】 【分析】先写出二项式的展开式的通项，根据各选项中对各项系数的要求，对照可得其表达式，分别求解可判断A，C两项；采用赋值法即可判断B项；根据题意先求出，即得时，，将其代入化简计算即可判断D项 【详解】因二项式的展开式的通项为， 对于A，由题意，故A正确； 对于B，在中， 取，可得，故B错误； 对于C，， 因，当时，的最小值为，故C正确； 对于D，由二项式的通项， 令，可得， 因且当时， 则当时，， 于是当时， ， 故，故D错误. 故选：AC 11. 已知等式其中e是自然对数的底数，将a视为自变量x（，），b为x的函数，记为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若方程有4个不等的实根，则 D. 当时，若两实根为，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意求出，即可判断A选项；利用导数求出函数的单调性即可判断B选项；利用为偶函数，结合函数的单调性即可判断C选项；利用对数均值不等式即可判断D选项. 详解】由题意知，，故即， 且，故， 对于A，，故A正确； 对于B，故在上，单调递增； 在和上，单调递减； 故且故，故B正确； 对于C，，故为偶函数， 则有4个不等的实根，即，有2个不等的实根， 且在和上单调递减，在上单调递增， 故，即，故C错误； 对于D，由的单调性可知，当时，若的两实根为，， 则， 且，故， 引入不等式， 证明过程如下：不妨设， 因为， 设，，则问题转化为：，． 令， 所以在上恒成立， 所以在上单调递增；所以， 故，成立，所以． 故， 故，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设曲线在点处的切线与曲线在点P处的切线互相平行，则点P的坐标为___________. 【答案】 【解析】 【分析】分别求出，的导数，结合导数的几何意义及切线平行可得答案. 【详解】设，因为的导数为， 所以曲线在点处的切线的斜率为， 因为的导数为，曲线在点处的切线斜率为， 所以，解得，代入可得，故. 故答案为：. 13. 现将位民警派往甲，乙，丙，丁，戊5个学校进行“反校园欺凌”普法宣讲，每人只到1个学校，每个学校只去1人.已知民警不能去甲学校，两位民警不能到乙学校，则不同的分派方法共有__________种. 【答案】60 【解析】 【分析】利用间接法可求得不同的分派方法总数. 【详解】因为每人只到1个学校，每个学校只去1人，所以将5人全排列有种， 其中将A民警安排在甲学校有种不同的安排方法， 将民警B或C安排在乙学校有种不同的安排方法， 又A民警在甲学校，且民警B或C在乙学校有， 所以A民警不能去甲学校，B，C两位民警不能到乙学校， 则不同的分派方法共有种. 故答案为：60. 14. 如图， 在△ABC中，．取BC边中点D， 连接AD，设E为AD中点，连接BE 并延长与△ABC交于点F，则EF 的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】作交于点，利用几何知识可证得，再由余弦定理求得，再结合，从而可求解. 【详解】作交于点， 因为点为中点，所以点为中点，即， 又因为为中点，即， 又因为，所以，即， 在，由余弦定理可得， 在中，， 则 ， 所以，则. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 的内角的对边分别为，且. （1）求； （2）若的外接圆半径为，且，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角，再结合辅助角公式即可求解； （2）由正弦定理求得，再由余弦定理求得，结合面积公式求解. 【小问1详解】 由 可得：， 即, 即， 又， 所以， 所以，即， 又, 所以， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得：， 所以， 又，可得：， 由， 解得：， 所以. 16. 已知． （1）若，求不等式的解集； （2）若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 【答案】（1） （2）且. 【解析】 【分析】（1）先求出，从而原不等式即为，构建新函数，由该函数为增函数可求不等式的解； （2）求出函数的导数，就分类讨论后可得参数的取值范围. 【小问1详解】 因为，故，故，故， 故即为， 设，则，故在上为增函数， 而即为，故， 故原不等式的解为. 【小问2详解】 在有极大值即为有极大值点. ， 若，则时，，时，， 故为的极小值点，无极大值点，故舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 若，则时，，无极值点，舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 综上，且. 17. 某校举行知识竞赛，甲乙两位同学组队答题，甲先依次答一二题，乙再依次答三四题，若两人合计答对题数大于或等于3，则取得胜利，并获得纪念品（恰好答对前三题时应继续答完第四题）；若两人合计答错两题则中止答题，已知，甲、乙答对每道题的概率分别为，假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响． （1）当时，设为乙答题的道数，求的分布列及期望； （2）当时，求甲乙获得纪念品的概率的最小值． 【答案】（1）分布列见详解， （2） 【解析】 【分析】（1）根据X的取值逐一分情况计算即可得到答案； （2）求解出甲乙获得纪念品的概率表达式，对变形后得到，代入概率表达式化简，再应用均值不等式即可求解． 【小问1详解】 X的可能取值为0,1,2， 当时，甲前2题都答错，此时乙不需要答题， 所以， 当时，甲前2道题只答对1道题，且乙答第3题时答错，此时不会继续答第4题， 甲前2道题只答对1道题的概率为，乙答错第3题的概率为， 所以， 当时，有2种情况， ①甲前2道题只答对1道题，乙第3题答对，此时必答第4题， 概率为， ②甲答对2题，此时乙必答第3和第4道题，概率为， 所以，分布列如下， 0 1 2 P 期望． 小问2详解】 两人合计答对题数大于或等于3获得纪念品，分三种情况： ①甲答对1题，乙答对2题，概率为； ②甲答对2题，乙答对1题，概率为； ③甲答对2题，乙答对2题，概率为. 所以获得纪念品的概率， 又因为，所以，即， 对P进行变形， ， 由可得，即，所以， 当且仅当即时等号成立. 所以P的最小值. 综上，甲乙获得纪念品的概率的最小值为． 18. 如图，球O的半径为4，PQ是球O的一条直径，C是线段PQ上的动点，过点C且与PQ垂直的平面与球O的球面交于⊙C，是⊙C的一个内接正六边形． （1）若C是OQ的中点． （i）求六棱锥的体积； （ii）求二面角的余弦值； （2）设的中点为M，求证：tan∠MPQ·tan∠MQP为定值． 【答案】（1）（i）；（ii） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）（i）先计算正六边形的面积，再根据锥的体积公式即可求解； （ii）建立空间直角坐标系，计算平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用夹角公式即可求解； （2）由已知，M点在过PQ且与⊙C所在平面垂直的一个平面内，记这个平面为α． 在平面α内，以O为坐标原点，以PQ为y轴，以PQ中垂线为x轴建立平面直角坐标系，设，由，得，又，代入即可求解. 【小问1详解】 （i）因为O到⊙C的距离为2，所以⊙C的半径为， 所以正六边形的边长为， 所以正六边形的面积为， 且P到⊙C的距离为6，所以六棱锥的体积为； （ii）以C为原点，为轴，的中垂线为y轴，PQ为z轴建系， 则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量， 则 令＝1，得， 设平面的一个法向量 则， 令＝1，得， 所以． 【小问2详解】 由已知，M点在过PQ且与⊙C所在平面垂直的一个平面内，记这个平面为α． 在平面α内，以O为坐标原点，以PQ为y轴，以PQ中垂线为x轴建立平面直角坐标系， 设，则，， 因为，所以， 即，又P，Q的坐标分别为， 所以 19. 如图，椭圆，，已知右顶点为，且它们的交点分别为，，，． （1）求与的标准方程； （2）过点作直线MN，交于点M，交于点N，设直线的斜率为，直线的斜率为，求；（上述各点均不重合） （3）点是上的动点，直线交于点，直线交于点，直线交于点，直线与直线交于点N，求点G坐标，使直线NG与直线NH的斜率之积为定值．（上述各点均不重合） 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）首先求出，再代入即可得到答案； （2）设，计算得，结合其在椭圆上，代入化简即可得，同理，则得到斜率比值； （3）设直线，联立椭圆方程得到，则得到的坐标，再计算得，，设，计算化简得，则得到定点坐标. 【小问1详解】 由题意得，，又因为在上， 代入得，所以，则. 【小问2详解】 设，则， 又因为，所以， 则，同理可得，所以. 【小问3详解】 设直线分别为，其斜率依次为， 设直线，联立得， 即有，所以，代入直线方程得， 则，设， 则经过的两直线之间斜率满足关系：， 将直线绕原点顺时针旋转后也会经过， 所以两者斜率满足，所以， 同理将直线绕原点顺时针旋转后也会经过， 所以两直线斜率满足， ， 设，则有，代入上式得：， 得到， 所以，因此存在定点， 使直线和直线的斜率之积为定值5. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 孝感高中2023级高三年级 数学试题 本卷满分150分 考试时间：120分钟 ★祝新年快乐 马到成功★ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求. 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 1 3. 已知为偶函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 对于响应变量，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差.将某公司新产品自上市起的月份与该月的对应销量（单位：万件）整理成如下表格： 月份x 1 2 3 4 5 销量y 0.5 1 1.4 建立y与x的线性回归方程为，则第2个月和第4个月的残差和为（ ） A. -0.919 B. -0.1 C. 0.1 D. 0.919 5. 若函数的两个零点分别为和，则（   ） A. B. C. D. 6. 已知是公比不为1的等比数列的前项和，则“成等差数列”是“存在不相等的正整数，使得成等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 在中，“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不必要条件，又不充分条件 8. 已知双曲线的右顶点为，抛物线的焦点为.若在双曲线的渐近线上存在点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（ ） A. B. C. D. 10. 设 ，则（ ） A B C. 的最小值为 D. 若且当时， 则有 11. 已知等式其中e是自然对数底数，将a视为自变量x（，），b为x的函数，记为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若方程有4个不等实根，则 D. 当时，若的两实根为，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设曲线在点处的切线与曲线在点P处的切线互相平行，则点P的坐标为___________. 13. 现将位民警派往甲，乙，丙，丁，戊5个学校进行“反校园欺凌”普法宣讲，每人只到1个学校，每个学校只去1人.已知民警不能去甲学校，两位民警不能到乙学校，则不同的分派方法共有__________种. 14. 如图， 在△ABC中，．取BC边中点D， 连接AD，设E为AD中点，连接BE 并延长与△ABC交于点F，则EF 的长为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 的内角的对边分别为，且. （1）求； （2）若的外接圆半径为，且，求的面积. 16. 已知． （1）若，求不等式的解集； （2）若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 17. 某校举行知识竞赛，甲乙两位同学组队答题，甲先依次答一二题，乙再依次答三四题，若两人合计答对题数大于或等于3，则取得胜利，并获得纪念品（恰好答对前三题时应继续答完第四题）；若两人合计答错两题则中止答题，已知，甲、乙答对每道题的概率分别为，假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响． （1）当时，设为乙答题的道数，求的分布列及期望； （2）当时，求甲乙获得纪念品的概率的最小值． 18. 如图，球O的半径为4，PQ是球O的一条直径，C是线段PQ上的动点，过点C且与PQ垂直的平面与球O的球面交于⊙C，是⊙C的一个内接正六边形． （1）若C是OQ的中点． （i）求六棱锥的体积； （ii）求二面角的余弦值； （2）设中点为M，求证：tan∠MPQ·tan∠MQP为定值． 19. 如图，椭圆，，已知右顶点为，且它们的交点分别为，，，． （1）求与的标准方程； （2）过点作直线MN，交于点M，交于点N，设直线的斜率为，直线的斜率为，求；（上述各点均不重合） （3）点是上的动点，直线交于点，直线交于点，直线交于点，直线与直线交于点N，求点G坐标，使直线NG与直线NH的斜率之积为定值．（上述各点均不重合） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $