2026年中考数学提升专题训练：最值问题

**基本信息** 聚焦中考数学最值问题，以将军饮马、对称转化、轨迹分析为核心方法，系统整合几何图形与函数知识，培养几何直观与推理意识，构建“模型-转化-计算”解题逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |将军饮马模型|单选1-2、填空9-10|轴对称转化线段和，两点之间线段最短|等腰三角形性质→垂直平分线→对称点构造| |函数图像与对称|单选3-4、解答20|抛物线对称性，平移构造平行四边形|二次函数性质→对称轴→动点坐标最值| |动点轨迹与圆|单选6-8、填空12-14|圆的性质（直径圆周角），轨迹为圆或直线|矩形翻折→对称点轨迹→圆的半径最值| |相似与勾股应用|单选5、填空11、解答16-19|相似比转化线段关系，勾股定理计算|相似三角形判定→比例线段→动态最值计算|

2026年中考数学提升专题训练：最值问题 一、单选题 1．如图，在中，,,，直线垂直平分线段，若点为边BC的中点，点为直线上一动点，则周长的最小值为（） A．9 B．13 C．12 D．14 2．如图，四边形中，，，在、上分别找一点、，使周长最小时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，是轴上方的一个动点．若的面积等于面积的，则当的值最小时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．如图，矩形，，，点是边上的动点，点F是射线BC上的动点，且，连接，．若，则m的最小值为（    ）    A． B． C． D． 6．如图，在中，，于O，于E，以点O为圆心，为半径作半圆，交于点F，若点F为的中点，，点P是边上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．如图1，正方形中，点是的中点，点是对角线上的一个动点，设，，当点从向点运动时，与的函数关系如图2所示，其中点是函数图象的最低点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴相交于点A、B，点E、F分别是正方形OACD的边OD、AC上的动点，且，过原点O作，垂足为H，连接HA、HB，则面积的最大值为（    ） A． B．12 C． D． 二、填空题 9．在平面直角坐标系中有，两点，坐标分别为，，若轴上存在一点，使的值最小，那么这个最小值为______． 10．如图，等腰三角形的底边长为，面积是．若点为边的中点，点为线段上一动点，仔细观察图中利用尺规作图的痕迹，可知周长的最小值是_____． 11．如图，在中，，，，点，分别是边，上的动点，且满足．当________时，为等边三角形；已知点为的中点，连接，，则的最小值为________． 12．如图，以为直径的中，点为上一点，且，过点O作，垂足为，点为直线上一个动点，则，，构成的封闭图形周长最小值为________． 13．如图，在矩形中，，，点是边上的动点，将沿直线翻折得到，过点作，垂足为，点是线段上一点，且，当点从点运动到点时，点运动的路径长是____________． 14．如图，在矩形中，是边的中点，F是线段上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则的最小值是 ___________________ ． 15．在中，，，，点D是边上的动点．连接，作，如图所示，，，连接．则的最小值是________． 三、解答题 16．如图，在中，，于点，于点，以点为圆心，为半径作圆交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，在边上是否存在一点使有最小值，如果存在，请求出的最小值． 17．在如图的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的三个顶点都在格点上(每个小方格的顶点叫格点)，点A的坐标为． (1)请画出关于x轴对称的   (不写画法，其中  分别是A，B，C的对应点)； (2)直接写出C三点的坐标； (3)在y轴上求作一点P，使的周长最小．(简要写出作图步骤，必要时可用黑色笔描画痕迹)． 18．如图，在中，，，D为线段上一点，连接，将射线绕点D顺时针旋转交直线于点E，连接． (1)如图1，若，，求线段的长． (2)如图2，若，过点B作，交射线于点F，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． (3)如图3，若，，过点A作的垂线，垂足为点M，当取得最小值时，直线上方有一点Q，使得，当取得最小值时，直接写出的值． 19．等腰中，，点是轴上一个动点，点在轴上且点． (1)若时， ①如图1，求的长； ②如图1，求点的坐标； ③如图2，点在直线上且位于第一象限内，当时，求的面积； (2)如图3，移动点，连接，直接写出的周长的最小值． 20．如图1，抛物线与x轴交于A、和B两点，与y轴交于点C，点M在第一象限内的抛物线上，连接，与线段交于点N． (1)点A坐标为 、点B坐标为 ； (2)当时，判断与的位置关系，并说明理由； (3)连接，设的面积为，的面积为，求的最大值． (4)如图2，P是x轴上一动点，点在y轴上，连接，则的最小值为 ． 第6页，共7页 第7页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D D C C A A D 1．C 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一、线段垂直平分线的性质等知识，掌握将军饮马模型是解题关键． 连接，，推出周长的最小值为，证明，再利用三角形的面积公式列方程求出即可解决问题． 【详解】解：连接，， ∵直线垂直平分线段． ， ∵点为边的中点，， 周长， 周长的最小值为， ，点为边的中点， ∵,， ， 解得， 周长的最小值为， 故选：C． 2．D 【分析】本题主要考查轴对称的性质（最短路径问题，“将军饮马”模型）、三角形内角和定理、外角性质，解题的关键在于最短路径的转化；利用轴对称将的周长最小问题转化为“两点之间线段最短”， 利用轴对称性质得，，再通过三角形内角和或外角性质，推导与的关系． 【详解】解：作点关于的对称点；作点关于的对称点 连接，与交于点，与交于， 此时，周长最短. 由轴对称可得 设 ∴ ∵在中，， ∴① ∵， ∴② 得 则， 即． 故选D． 3．D 【分析】四边形中，线段和的长度是确定的，将四边形周长的最小值转化为两条线段和的最小值，可通过平移点B关于抛物线对称轴的对称点构造平行四边形确定点D的位置，求出直线的解析式即可求出点D的坐标； 本题主要考查了抛物线的对称性和两点之间线段最短等知识点，利用抛物线的对称性构造平行四边形是解题的关键． 【详解】解：抛物线与x轴的另一个交点为E点，把E点向上平移3个单位得到F点， 连接交对称轴于D点，如图， ，， 四边形为平行四边形， ， ， ， 四边形的周长， 此时四边形的周长最小； 当时，， 解得， ， 抛物线的对称轴为直线，， 当时，， ， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， ． 故选：D． 4．C 【分析】本题考查了最短路径问题、坐标与图形的性质，关键是利用坐标求解出和的面积，得到点的运动路径是在的直线上，然后，作点关于直线对称的点，连接，利用 “将军饮马” 模型即可得出结果． 【详解】解：∵点，的坐标分别为， ∴， 与同底边，且的面积等于面积的， ∴点P到的距离是3，即点的纵坐标为， 点在直线上运动， 作点关于直线对称的点，连接，则点， ． 当三点共线时，的值最小． 设直线的表达式为， 把点代入，得， 解得， ．令，则， 解得， 当的值最小时，点的坐标为． 故选：C． 5．C 【分析】延长到G，使，连接、，得到，从而可得，再利用勾股定理即可求出最小值． 【详解】解：如图，延长到G，使，连接、，    在矩形，， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴，即， ∵， ∴， ∴当G、E、C三点共线时，m取最小值为GC， ， ∴m的最小值为． 故选C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质、最短距离问题，一般求两条线段最短距离问题，都转化为一条线段．本题通过构造，得到，利用两点间线段最短解决m取最小值的问题． 6．A 【分析】作E点关于直线的对称点D，连接，交于点P，连接，，，交于点N，过D点作，交的延长线于点M，根据对称性可得，即当点D、P、F三点共线时，最短，最短为线段的长，根据在中，，可得，证明是等边三角形，即有，即有，，再证明四边形是矩形，即有，，进而有，最后利用勾股定理即可作答． 【详解】作E点关于直线的对称点D，连接，交于点P，连接，，，交于点N，过D点作，交的延长线于点M，如图， ∵E点关于直线的对称点为点D， ∴垂直平分线段， ∴，，， ∴， 即当点D、P、F三点共线时，最短，最短为线段的长，如上图所示， ∵，点F为的中点， ∴， ∵， ∴在中，， ∴，即， ∵在中， ， ∴，即， ∵， ∴，即， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴在中，， 故选：A． 【点睛】本题考查了对称的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，此类是将军饮马问题，构造出合理的辅助线，是解答本题的关键． 7．A 【分析】根据图像，当P与C重合时，PB+PE=9即CB+CE=9，从而确定正方形的边长为6，根据将军饮马河原理，连接DE交AC于点G，当点P与点G重合时，PE+PB最小，且为DE的长即点M的纵坐标，利用相似三角形，计算AG的长即为横坐标． 【详解】如图，根据图像，当P与C重合时，PB+PE=9即CB+CE=9， ∵点E是BC的中点， ∴BC=6， 连接DE交AC于点G，当点P与点G重合时，PE+PB最小，且为DE的长即点M的纵坐标， ∵四边形ABCD是正方形，AB=6， ∴CE∥AD，AC=，DE=， ∴△CGE∽△AGD， ∴， ∴， ∴AG=， 故点M的坐标为（，），故A正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形相似的判定和性质，函数图像信息的获取，将军饮马河原理，熟练掌握正方形的性质，灵活运用三角形相似，构造将军饮马河模型求解是解题的关键． 8．D 【分析】先证明ON=CN，再证点H在以ON直径的圆上运动，则当点H在QM的延长线上时，点H到AB的距离最大，由相似三角形的性质可求MK，KQ的长，由三角形的面积公式可求解． 【详解】解：如下图，连接AD，交EF于N，连接OC，取ON的中点M，连接MH，过点M作MQ⊥AB于Q，交AO于点K，作MP⊥OA与点P， ∵直线y=x−3分别与x轴、y轴相交于点A、B， ∴点A（4，0），点B（0，-3）， ∴OB=3，OA=4， ∴， ∵四边形ACDO是正方形， ∴OD//AC，AO=AC=OD=4，OC=4，∠COA=45°， ∴∠EDN=∠NAF，∠DEN=∠AFN， 又∵DE=AF， ∴△DEN≌△AFN（ASA）， ∴DN=AN，EN=NF， ∴点N是AD的中点，即点N是OC的中点， ∴ON=NC=2， ∵OH⊥EF， ∴∠OHN=90°， ∴点H在以ON直径的圆上运动， ∴当点H在QM的延长线上时，点H到AB的距离最大， ∵点M是ON的中点， ∴OM=MN=， ∵MP⊥OP，∠COA=45°， ∴OP=MP=1， ∴AP=3， ∵∠OAB+∠OBA=90°=∠OAB+∠AKQ， ∴∠AKQ=∠ABO=∠MKP， 又∵∠AOB=∠MPK=90°， ∴△MPK∽△AOB， ∴， ∴， ∴MK=，PK=， ∴AK=， ∵∠AKQ=∠ABO，∠OAB=∠KAQ， ∴△AKQ∽△ABO， ∴， ∴， ∴KQ=， ∴QM=KQ+MK=+=， ∴点H到AB的最大距离为+， ∴△HAB面积的最大值=×5×(+)=， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，一次函数的应用，圆等知识，解题的关键是求出MQ的长． 9． 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题、坐标距离公式，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． 作关于轴的对称点，连接与轴交于点，连接，根据对称的性质得到，根据两点之间，线段最短，得到当三点共线时，的值最小，再根据坐标距离公式求解即可． 【详解】解：如图，作关于轴的对称点，连接与轴交于点，连接， ∴， ∴ ∵两点之间，线段最短， ∴当三点共线时，的值最小，即的值最小， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 10． 【分析】本题考查轴对称-最短路径问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 先连接，，由于是等腰三角形，点为边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据尺规作图的痕迹判断是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接，． ∵等腰三角形，点为边的中点， ∴， ∵，， 又∵， ∴． ∵由图中尺规作图的痕迹可以判断出为线段的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴的长为的最小值， ∴周长的最小值为． 故答案为：． 11． 2 【分析】由题意可知，若为等边三角形，则需满足，利用列方程求解即可； 观察图形可知，点A，D为定点，点P为动点，因此我们先探究点P的运动轨迹，通过取特殊点可以发现，点P在的垂直平分线上，那么求的最小值就可以转化为“将军饮马”问题，进而问题得解． 【详解】解：设，由题意可知，． 当为等边三角形时，则有，即． ； 如图1，分别过点F，点P作，，垂足分别为G，H，连接． ， ， ， ． 点为的中点， ， ． 在中，，, ． ，即． 连接，则． ． 当在同一条直线上时，最小，即为的长． 如图2，过点D作，交的延长线于M， 由题意可知，在中，，， ，． 在中，，， ． 的最小值为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、轴对称、等边三角形、相似、解斜三角形等知识．掌握研究动态问题的一般方法、熟悉常见最值问题的解题思路是解决问题的关键． 12． 【分析】要使得，，构成的封闭图形周长最小，弧的值不变，则最小即可，点关于的对称点为点，即当点与点重合时， ，，构成的封闭图形周长最小，求出半径和的长即可． 【详解】解：要使得，，构成的封闭图形周长最小，的值不变，则最小即可， 连接，， ， ， 是的垂直平分线， 点关于的对称点为点， ∴， ∴， ∴当点与点重合时，最小， 即，，构成的封闭图形周长最小， ， ，， 的长为， ，，构成的封闭图形周长最小为：． 13． 【分析】本题考查矩形与折叠，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，求弧长，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造相似三角形，确定点的运动轨迹，是解题的关键． 作 ，交于点，以为直径画，证明，推出点在以为直径的运动，并求出半径，再连接，推出点运动的路径长为，然后根据三角形函数和圆周角定理解出，最后运用弧长公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵将沿直线翻折得到， ∴， 作 ，交于点，以为直径画， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴点在以为直径的运动， ∵点从点运动到点， ∴连接，点运动的路径长为， ∵，，， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴的弧长为． ∴点的运动路径总长为：． 故答案为：． 14．/ 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，涉及了动点的轨迹问题，由题意可推出点在以E为圆心为半径的圆上运动，可得当D、、E共线时，的值最小，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴点在以E为圆心为半径的圆上运动，如图所示： 故：当D、、E共线时，的值最小， ∵， ∴， 故答案为：． 15．/ 【分析】本题主要考查相似三角形、轴对称下的线段最值问题以及勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键． 根据题意中的，得出其它角度的等量关系，可证，可得，同理由角度等量关系，证，得线段比例关系，即，又可证，得角度等量关系，证得，即得到关键信息，确定出点E的运动轨迹，又经过证明了解到，故最值判断类似“将军饮马”模型，所以点B关于的对称点，连接，即的最小值为的长度，过点A作，由求边长，最终由勾股定理求得长度，得到得最小值． 【详解】解：连接，令，相交于点M，如下图所示： 在直角三角形中，∵，， ∴， ∵， 又∵， ， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， 又∴， ∴， ∴， ∴，即， 所以点E在过点且垂直的射线上移动； ∵， ∴， 故求出的最小值即可， 作点B关于的对称点，连接， 即的最小值为的长度，过点A作，交于点F，如下图所示： 根据对称的性质，， ∵，， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴， 则， 故答案为：． 16．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）过点作，利用等腰三角形的三线合一的性质和角平分线的性质证明线段半径，根据切线的定义即可得出结论； （2）延长交于点，连接交于点，利用轴对称的性质中的将军饮马模型可得点为所求的点；连接，过点作于点H，利用等边三角形的判定定理可得为等边三角形，利用等腰三角形的性质与直角三角形的边角关系定理可求与的长，再利用勾股定理即可求得结论． 【详解】（1）证明：过点作与点，如图， ∵，， ∴平分． ∵，， ∴． ∵是圆的半径， ∴是圆的半径． 即：经过半径OD的外端，且垂直于半径， ∴是的切线； （2）解：在边上存在一点使有最小值． 延长交于点，连接交于点，连接，则此时最小． 连接，过点作于点，如图， ∵，， ∴为等边三角形， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴在中，． ∴在中，． ∵，， ∴． ∴． ∴在边上存在一点P使有最小值．的最小值为． 17．(1)见解析 (2)，， (3)见解析 【分析】（1）描出对应点连接即可； （2）观察图像写出各点坐标即可； （3）根据轴对称的性质画图即可． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）解：如图所示：，， （3）解：如图所示：P点即为所求，找到A点关于y轴对称点，连接，交y轴于点P， 如图： 此时， 当共线时取最小值，的周长取最小值, 所以点P即为所求． 18．(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）过点D作于点F，过点D作于点G，证明四边形是矩形，先由，，，求得，从而得到，最后在中，由求得； （2）过点A作交延长线于点G，连接，过点G作交于点H，先证，再证，从而得到； （3）先由瓜豆原理得到点M的轨迹为线段，当垂直于该线段时，取得最小值，此时点M为线段的中点，点D为线段的中点，再根据定角定弦，得到点Q在以线段的中点O为圆心，为半径的圆上，当C，O，Q三点共线且点Q在C，O之间时，取得最小值，连接，过点M作于点R，通过，求得的长度，再根据，求得的长度，最后根据三角形面积公式求出． 【详解】（1）解：如图1，过点D作于点F，过点D作于点G， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴． ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 如图2，过点A作交延长线于点G，连接，过点G作交于点H， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 在与中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，过点A作的垂线，垂足为点M， ∴，， 如图3，取的中点，连接，当点D与重合时，设此时的对应点为 连接，由瓜豆原理，点M的运动轨迹即为直线的一部分． ∵在中，，， ∴， 即， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 当时，取得最小值， 此时点M与点重合，点D与点重合，即点M为线段的中点，点D为线段的中点． 如图4，当点M为线段的中点，点D为线段的中点时， ∵， ∴点Q在以线段的中点O为圆心，为半径的圆上， 连接，交于点Q，且点Q位于点C与点O之间，此时取得最小值， 连接，过点M作于点R， ∵，O为线段的中点， ∴， ∵，，， ∴， ∵M为线段的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵， 设，则， ∵， ∴， ∴． ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 19．(1)①；②；③； (2) 【分析】（1）①利用勾股定理即可求出的长； ②过点作轴于点，易证，利用全等三角形的性质可得，的长，从而可求出点的坐标； ③由且点位于第一象限内得，点的纵坐标为1，利用待定系数法求出直线的解析式，将代入即可求出点的坐标，从而可求的面积； （2）由得，则点在直线上运动，连接，作点关于直线的对称点，，可得当三点共线时，取得最小值，此时的周长取得最小值，据此求解即可． 本题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，最短路径问题，过点作轴于点，通过证明得到点在直线上运动是解题的关键． 【详解】（1）解：①∵，， ∴； ②过点作轴于点，如图， ∴，， 在等腰中，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； ③∵，点位于第一象限内， ∴， ∴点的纵坐标为1， 设直线的解析式为， 将点，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点在直线上， ∴将代入得， 解得， ∴， ∴； （2）解：由（1）②得，， ∴点在直线上运动， ∵连接，作点关于直线的对称点， ∴，， 则当三点共线时，取得最小值， 此时的周长取得最小值． 20．(1)， (2) (3) (4)3 【分析】本题为二次函数综合题，考查了二次函数的性质，相似三角形判定与性质，利用三角函数解直角三角形，胡不归求线段最短问题，综合性强，难度较大﹒ （1）把代入二次函数得，解得，即可得到点A坐标为、点B坐标为； （2）求出点C坐标为﹒作轴，垂足为H﹒设点M坐标为，则，，在中，根据，得到，解得，舍去，即可得到点M坐标为，结合点C坐标为，即可得到； （3）设交于点G，作，交直线于点K﹒求出直线解析式为，进而求出点K坐标为，得到﹒设点M坐标为，得到点G坐标为，﹒根据设与有公共高，得到﹒证明，得到，即可得到﹒从而得到当时，有最大值，最大值为； （4）求出，得到﹒作，垂足为E﹒根据在中，，得到，从而得到当点D、P、E在同一直线上时，，此时值最小，最小值为﹒证明，得到，即可得到最小值为3﹒ 【详解】（1）解：把代入得 ， 解得， ∴点A坐标为、点B坐标为﹒ 故答案为：，； （2）解：把代入得， ∴点C坐标为﹒ 如图，作轴，垂足为H﹒ 设点M坐标为， 则，， ∵在中，， ∴， 解得， 经检验，都是分式方程的解，其中不合题意，舍去， ∴点M坐标为， ∵点C坐标为， ∴； （3）解：如图2，设交于点G，作，交直线于点K﹒ 设直线解析式为， ∵点B坐标为，点C坐标为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∵点A坐标为， ∴当时，， ∴点K坐标为， ∴， 设点M坐标为， ∴点G坐标为， ∴﹒ ∵设与有公共高， ∴﹒ ∵，轴， ， ∴， ∴， ∴ ∴﹒ ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； （4）解：∵点B坐标为，点C坐标为， ∴， ∴， ∴﹒ 如图，作，垂足为E﹒ ∴在中，， ∴， ∴当点D、P、E在同一直线上时，，此时值最小，最小值为﹒ ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即最小值为3﹒ 故答案为：3 答案第30页，共30页 答案第1页，共30页 学科网（北京）股份有限公司 $