45 方法专题十三 “将军饮马”最值问题-【智乐星中考·学考传奇】2026年山东省济南市中考数学全练本Word练习

1.如图,在△ABC中,AD是△ABC的角平分线,点E,F分别是AD,AB上的动点.若∠BAC=50°,当BE+EF的值最小时,∠AEB的度数为(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.105° B.115° C.120° D.130° 2.如图,在矩形ABCD中,AB=10,AD=6,动点P满足S△PAB=S矩形ABCD,则点P到A,B两点距离之和PA+PB的最小值为 (　　) A.3 B.2 C.10 D.2 第2题图 第3题图 3.(2024·泸州)如图,在边长为6的正方形ABCD中,点E,F分别是边AB,BC上的动点,且满足AE=BF,AF与DE交于点O,点M是DF的中点,G是边AB上的一点,AG=2GB,则OM+FG的最小值是 (　　) A.4 B.5 C.8 D.10 4.如图,在锐角三角形ABC中,AB=6,∠ABC=60°,∠ABC的平分线交AC于点D,点P,Q分别是BD,AB上的动点,则AP+PQ的最小值为 (　　) A.6 B.6 C.3 D.3 5.如图,等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,点D为BC的中点,AD=2.若点P为AB上一个动点,则PC+PD的最小值为　　　　.  第5题图 第6题图 6.如图,已知∠AOB=30°,C为射线OB上一点,点D为OC的中点,且OC=6.当点P在射线OA上运动时,PC与PD和的最小值为　　　　.  7.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,AB=5,点D,E,F分别是AB,BC,AC边上的动点,则△DEF的周长的最小值是　　　　.  8.如图,在△ABC中,∠BAC=45°,D是BC边上一点,连接AD,M,N是线段AD上两点,AM=8,AN=15,点P,Q分别是AB,AC边上的动点,连接PM,PQ,NQ,则PM+PQ+NQ的最小值为　　　　.  9.如图,已知∠MON=30°,在∠MON的内部有一点P,点A为OM上一动点,点B为ON上一动点,OP=a,当△PAB的周长最小时,∠APB=　　　　度,△PAB的周长的最小值是　　　　.  方法专题十三　“将军饮马”最值问题 1.B　2.D　3.B 4.D　【解析】 如图,在BC上取点E,使BE=BQ,连接PE,过点A作AH⊥BC于点H. ∵BD是∠ABC的平分线, ∴∠ABD=∠CBD. ∵BP=BP,BE=BQ, ∴△BPQ≌△BPE(SAS),∴PE=PQ, ∴AP+PQ的值最小,即AP+PE最小. 当AP+PE=AH时取得最小值. 在Rt△ABH中,AB=6,∠ABC=60°, ∴AH=AB·cos 60°=3, ∴AP+PQ的最小值为3. 5.2　【解析】 如图,作点D关于AB的对称点E,连接PE,BE, 则DB=EB,DP=EP, ∴∠ABC=∠ABE=45°, ∴∠CBE=90°. ∵点D是BC的中点, ∴BD=BC=2,∴BE=2. ∵PC+PD=PC+PE, ∴当C,P,E三点在同一直线上时, PC+PE取得最小值,最小值等于CE的长,此时,PC+PD最小. ∵AC=BC=4,点D为BC的中点,∴CD=DB=BE. 又∵∠ACD=∠CBE=90°, ∴△ACD≌△CBE(SAS),∴CE=AD=2, ∴PC+PD的最小值为2. 6.3　【解析】 如图,作点D关于射线OA的对称点D',连接CD'交OA于点P',连接DP',根据轴对称的性质得到∠DEO=90°,P'D'=P'D,此时DP'+CP'=CD',即为PC+PD的最小值. 设DD'与OA交于点E. ∵∠AOB=30°,OD=3, ∴∠ODE=60°,DE=OD=, ∴DD'=2DE=3,∴DD'=CD, ∴∠D'=∠DCD'=∠ODE=30°,∴∠EDP'=∠D'=30°, ∴∠ODP'=∠ODE+∠EDP'=90°, ∴在Rt△ODP'中,∠O=30°,OD=3, ∴DP'=,∴CP'=2DP'=2,∴DP'+CP'=3, ∴PC与PD和的最小值为3. 7.4.8　【解析】 如图,作点D关于直线AC的对称点M,作点D关于直线BC的对称点N,连接CM,CN,CD,EN,FM,DN,DM, ∴DF=FM,DE=EN,CD=CM, CD=CN, ∴CD=CM=CN. ∵∠MCA=∠DCA,∠BCN=∠BCD, ∠ACD+∠BCD=90°, ∴∠MCD+∠NCD=180°, ∴M,C,N三点共线. ∵DF+DE+EF=FM+EN+EF, FM+EN+EF≥MN, ∴当M,F,E,N四点共线,且CD⊥AB时, DE+EF+FD的值最小,最小值为MN=2CD. ∵CD⊥AB,∴AB·CD=BC·AC, ∴CD===2.4,∴DE+EF+FD的最小值为4.8. 8.17　【解析】 如图,作点M关于直线AB的对称点M',作点N关于直线AC的对称点N',作射线AM',AN', 则∠BAM'=∠BAD,∠CAN'=∠CAD,PM'=PM,QN'=QN,AM'=AM=8,AN'=AN=15, ∴PM+PQ+NQ=PM'+PQ+QN', ∴要使PM+PQ+NQ最小,只要点M',P,Q,N'在一条直线上即可. 连接M'N'交AB,AC于点P',Q',PM+PQ+NQ最小时,P,Q位于点P',Q'处,PM+PQ+NQ最小值为M'N'的长. ∵∠BAC=45°,∴∠M'AN'=90°, ∴M'N'===17. 9. 120　a　【解析】 如图,分别作点P关于OM,ON的对称点P',P″,连接P'P″,分别交OM,ON于点A、点B,则此时△PAB的周长最小,连接OP',OP″. 由轴对称的性质得OP=OP'=OP″=a, ∠P'OA=∠POA,∠P″OB=∠POB. ∵∠MON=30°, ∴∠P'OP″=2∠MON=60°, ∴△P'OP″是等边三角形, ∴P'P″=OP=a,∠APO=∠AP'O=60°,∠BPO=∠BP″O=60°, ∴∠APB=∠APO+∠BPO=120°, ∴C△PAB=P'P″=a. 学科网（北京）股份有限公司 $