2026年中考数学提升专题训练：一次函数、反比例函数的综合应用

**基本信息** 聚焦一次函数与反比例函数综合应用，以图像分析、代数推理、几何融合为核心，构建“概念-性质-应用”三阶解题体系，渗透数形结合与模型思想。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|单选1-4、填空11-13|待定系数法、图像平移规律、增减性比较|从函数概念到图像性质，强化解析式与图像的对应关系| |图像综合|单选5-8、填空14-16|交点坐标求解、不等式解集图像法、中点坐标公式|结合图像交点与几何图形，培养几何直观与推理能力| |几何结合|单选9-10、填空17-18|坐标几何转化、相似三角形分类讨论、面积公式|函数与几何图形融合，提升空间观念与综合分析能力| |实际建模|解答22-23|实际问题抽象、函数关系建立、数据解读|以真实情境为载体，发展模型意识与应用能力|

2026年中考数学提升专题训练：一次函数、反比例函数的综合应用 一、单选题 1．将直线沿y轴向上平移m个单位长度，若平移后的直线经过第一、二、三象限，则m的值可以是（    ） A．2 B．1 C． D． 2．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A．B． C． D． 3．若点，，都在反比例函数的图象上，且，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．如图，函数的图象与函数的图象交于点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 5．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点为线段的中点．若点的坐标为，则（   ） A． B． C． D． 6．如图，把两个三角板放在平面直角坐标系中，过点的曲线为的图象，过点的曲线为的图象，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，且与轴交于点．连接，则的面积为（   ） A． B． C． D． 8．在功（单位：J）一定的条件下，功率（单位：）与做功时间（单位：）成反比例，（单位：）与（单位：）之间的函数关系如图所示．当时，的值可以是（  ）    A．18 B．28 C．38 D．48 9．如图，点、分别在轴、轴上，点是的中点，将沿的垂直平分线翻折，得到，反比例函数的图像经过点，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 10．为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度与时间（天）的变化规律如图所示，其中线段表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为．从第3天起，所排污水中硫化物的浓度与时间满足下面表格中的关系． 时间天 3 5 6 9 硫化物的浓度 4.5 2.7 2.25 1.5 则下列说法错误的是（    ） A．在整改过程中，当时，硫化物的浓度与时间的函数表达式为 B．在整改过程中，当时，硫化物的浓度与时间的函数表达式为 C．该企业所排污水中硫化物的浓度可在第10天降为 D．该企业所排污水中硫化物的浓度不可能在15天以内实现不超过最高允许的的要求 二、填空题 11．在平面直角坐标系中，已知点，在某一次函数的图象上，且，请写出一个符合条件的一次函数解析式______． 12．在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点，点在第一象限，与轴交于点，已知的面积为，则的面积为___________． 13．真空压缩袋压缩衣物以减小体积，给人们的生活带来了很大便利．同一件羽绒服质量不变，其体积与密度有如图所示的反比例函数关系，当压缩到密度等于时，其体积是________． 14．如图，正方形的顶点在轴上，点，点在反比例函数（，）图象上，若直线的函数表达式为，则的值为______． 15．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象和都在第一象限内，，轴，且，点的坐标为．将向下平移个单位长度，，两点的对应点恰好同时落在反比例函数图象上，则____． 16．为响应学校“低碳环保，绿色出行”的倡议，小明选择骑自行车上学，小亮则选择步行上学．一个春日的早晨，两人各自从家中同时出发，沿同一条笔直的道路同向匀速前进，如图，直线，分别表示小明、小亮到小明家的距离s（单位：km）与出发时间t（单位：）之间的关系．根据图象信息，当两人第一次相遇时，出发的时间是_______． 17．图①是某电路图，滑动变阻器为R，电源电压恒为U，电功率为，P关于R的函数图象如图②所示．两次调节电阻，发现当时，，则当时，P的值为______W． 18．如图，经过原点O的直线与反比例函数的图象交于A，B两点（点A在第一象限），过点A作轴，与反比例函数图象交于点C，连接与x轴交于点D．若的面积为3，则的值为______． 三、解答题 19．已知函数的图像经过点和 (1)求这个函数的表达式； (2)若点和都在这个函数的图像上，当时，试判断与的大小关系并说明理由． 20．在平面直角坐标系中，函数与交于点． (1)求k，m的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值，直接写出n的取值范围． 21．如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于两点．一次函数的图象过点与反比例函数交于另一点，与轴交于点，其中，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式 (2)求的面积； (3)连接，在直线上是否存在点，使以为顶点的三角形与相似．若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 22．如图，无人机甲和无人机乙同时分别从地面的点处和楼顶处起飞竖直上升，其中点距离楼顶边缘点的水平距离为，从地面点处测得楼顶端的仰角为（点在同一平面内）．两架无人机距离地面的高度（单位：）与上升时间（单位：）之间的函数图象如图2． (1)求起飞前无人机甲和无人机乙之间的水平距离；（结果保留整数，，tan31°） (2)分别求两架无人机距离地面的高度与无人机上升时间之间的函数关系式； (3)求一架无人机观察另一架无人机的仰角不超过的时长． 23．如图1是一种测量油箱内油量的装置“油位传感器”示意图．其中滑动变阻器的滑片跟滑杆连接，滑杆可以绕固定轴转动，滑杆的一端固定着一个浮子．油箱中的油量减少时，油面下降，浮子随油面落下，带动滑杆使滑动变阻器的滑片向上移动，从而改变电路中电流表的示数．因此电流表上一定的示数对应着油面一定的高度．如果把电流表刻度盘上的数值改为相应的油量体积，就可以直接读出油箱中的油量．电流（单位：A）与总电阻（单位：Ω）成反比例，其中，已知．可变电阻（单位：）与油量体积（单位：）之间的关系如图2所示，．当油箱内油量体积为时，电流表显示为． (1)当油箱内油量体积为时，求总电阻的值； (2)求关于总电阻的函数解析式： (3)当油箱中油量体积满足时，求电流表显示电流的取值范围． 24．如图1，矩形的顶点、分别在轴和轴上，点的坐标为． (1)反比例函数 的图象与边，分别交于点，，当 时，求的值和点的坐标； (2)如图2，点，分别在边，上，且反比例函数的图象经过点、，连接、，求证：； (3)如图3，反比例函数 的图象与边，分别交于点，，若以为直径的圆与矩形的边有个公共点，求的取值范围． 第8页，共8页 第7页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A B C C B D A B D 1．A 【分析】先根据平移规则得到平移后直线的解析式，再根据直线经过第一、二、三象限的条件得到m的取值范围，即可选出正确答案． 【详解】解：将直线沿y轴向上平移m个单位长度，得到的新直线解析式为： ∵平移后的直线经过第一、二、三象限，一次函数经过第一、二、三象限时满足且， ∴ 解得， ∴只有A选项中的数符合题意． 2．A 【详解】解：∵中 ∴函数经过第一，三象限，故C选项不符合题意； 当时， ∴函数经过第二，四象限，函数经过第一，二，三象限，故A选项符合题意；B选项不符合题意； 当时， ∴函数经过第一，三象限，函数经过第一，三，四象限，故D选项不符合题意． 3．B 【分析】先根据比例系数的符号判断函数图象所在象限，再根据点的横坐标范围判断点所在象限，结合同一象限内随的变化规律即可比较大小． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每一象限内，随的增大而减小， ∵， ∴点在第三象限，可得， ∵， ∴点，都在第一象限，可得， 综上可得． 4．C 【分析】先求出点坐标，再根据图象解答即可求解． 【详解】解：把代入，得， ∴， ∴， 由函数图象可知，当时，函数的图象位于函数的图象下方， ∴不等式的解集为． 5．C 【分析】设，联立一次函数与反比例函数表达式，消去得到关于的一元二次方程，然后由一元二次方程根与系数关系式、中点坐标公式列式计算即可得到答案． 【详解】解：设， 联立， 消去得，则， ，则， 点为线段的中点， ， 则． 6．B 【分析】过点C作于点D，设，可求出，，根据反比例函数比例系数的几何意义可得，结合点B和点C所在的象限得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点C作于点D， 设， 在中，， ∴； 在中，， ∵， ∴， ∵过点的曲线为的图象，过点的曲线为的图象， ∴， 又∵点B在第二象限，点C在第一象限， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．D 【分析】先将点坐标代入反比例函数解析式得到，再代入点坐标求，接着求出直线的解析式，找到点坐标，则面积可得. 【详解】解：∵在反比例函数的图象上， ∴， ∵在反比例函数的图象上， ∴， ∵在直线上， ∴，解得：， 即：， 当时，即：， ∴， 故选：D ． 8．A 【分析】先求出反比例函数的解析式，根据增减性，求出的范围即可. 【详解】解：由题意， 把代入，得， ∴， ∴当时，，当时，， ∴当时，， ∴的值可以是18. 9．B 【分析】设 的垂直平分线交 轴于点 ，令 ，由点 是 的中点，得 ；由轴对称的性质，得 ，从而 ；由 ，得 ，设 ，则 ；由四边形 是矩形，得 ；由 ，得 ，代入 即可求出 ． 【详解】解：如图，设的垂直平分线交轴于点， 设，则， 点是的中点， ， 将沿的垂直平分线翻折得到， 由轴对称的性质，得， ， ， 轴，轴， ， ， ， 设，则， ， 四边形是矩形， ， 点的坐标为， ,且， ， ， ， 反比例函数的图像经过点， ， ． 10．D 【分析】待定系数法求出直线和反比例函数的解析式，再根据选项逐一进行判断即可. 【详解】解：当时，设函数关系式为， 把代入，得，解得， ∴当时，硫化物的浓度与时间的函数表达式为；故A正确； 当时，由表格可知的值保持不变，设，把代入，得； ∴当时，硫化物的浓度与时间的函数表达式为，故B正确； 当时，， ∴该企业所排污水中硫化物的浓度可在第10天降为；故C正确； 当时，， ∴该企业所排污水中硫化物的浓度能在15天以内实现不超过最高允许的的要求；故D错误； 11．（答案不唯一） 【分析】根据一次函数的性质，由已知条件时，判断出一次项系数，写出符合条件的一次函数即可． 【详解】解：，， 随的增大而减小， 一次项系数， 符合条件的一次函数解析式可以为：．（答案不唯一） 12．/ 【分析】设点的坐标为，利用一次函数的解析式求出点，利用的面积求出点，进而求出反比例函数的解析式为，联立方程求出点，最后求出的面积即可． 【详解】解：如图，设点的坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴点的坐标为， 将代入，得， ， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 联立一次函数与反比例函数，得， ， 解得或， ∴点的坐标为， ∴． 13．10 【分析】设反比例函数解析式为，根据图象经过点利用待定系数法求出的值，确定函数解析式，再将代入计算即可． 【详解】解：设与的函数关系式为， 由图象可知，函数图象经过点， 将代入得， 解得， 函数关系式为， 当时，． 14．6 【分析】先根据一次函数解析式求出点B的坐标，过点A、C分别作x轴的垂线，利用正方形的性质证明，得到对应边相等，再证明，进而得到，设，则，进而得到点、，代入反比例函数解析式求出的值，从而求出的值． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点，设直线与轴交于点， 令得：， 解得：， 令得：， 、， 、， ， 四边形是正方形， 、， ， ， ， 在和中， ， ， 、， 、， ， ， ， 设，则， 、， 、， 将点、代入得： ， 整理得：， 解得：或（舍去）， ， ． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合，正方形的性质、全等三角形和相似三角形的判定与性质，熟练掌握反比例函数、一次函数的图象性质是解题的关键． 15．72 【分析】作，根据等腰三角形的性质可求出，，结合轴，点的坐标为，求出，，根据平移的规律可得：坐标变为，点坐标变为，利用反比例函数图像上点的坐标特征列方程求出，进而求出平移后点的坐标，即可求解． 【详解】解：作， ，且， ， 由勾股定理可得：， 轴，点的坐标为， ，， 点、向下平移个单位后，坐标变为，点坐标变为， 平移后点、在反比例函数图象上， ， 解得：， 平移后点的坐标为， ． 16． 【分析】本题考查了一次函数的解析式，根据图像列一元一次方程求解；分别求出小亮和小明的路程解析式，再令二者相同，即可求出两人第一次相遇时出发的时间． 【详解】解：设直线的解析式为： ，将点代入， ， 解得.   ∴直线的解析式为. 设直线的解析式为 ，将点 ， 代入，得   ， 解得 ∴直线的解析式为 ， 令 ， 解得， ∴当两人第一次相遇时，出发的时间是 h． 17．5 【详解】解：由得， 将，代入，得 ， 函数解析式为 ， 当时，． 18． 【分析】根据反比例函数性质可得，通过证明求出的面积，连接，再根据反比例函数的几何意义求解． 【详解】解：经过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点， ， 轴， ，， ， 连接， ， ， 则， 即， ． 19．(1) (2) 【分析】（1）将点和点代入得出关于k、b的方程组，然后解方程组，求出k、b的值，即可得出答案； （2）根据一次函数的增减性进行判断即可． 【详解】（1）解：将点和点代入得：， 解得：， ∴这个函数的表达式为； （2）解：∵， ∴随x的增大而减小， ∵， ∴，， ∴， ∴． 20．(1)k的值为，m的值为2 (2) 【分析】（1）待定系数法求解； （2）通过交点求出的值，然后利用图象进行求解． 【详解】（1）解：将点代入，得， 点P的坐标为， 将点代入， 得， 解得， k的值为，m的值为2； （2）解：由（1）得点P的坐标为，将点代入， 解得， 如图， 当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值， n的取值范围为． 21．(1)，； (2)； (3)存在，或． 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，相似三角形的性质，两点距离计算公式，勾股定理的逆定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （）把点坐标代入反比例函数解析式，求出反比例函数解析式，则可求出点坐标，再把点和点坐标代入一次函数的解析式中求出一次函数的解析式； （）求出点的坐标，再利用三角形面积计算公式求解即可； （）利用对称性可得点坐标，利用两点距离计算公式和勾股定理的逆定理可证明，则只存在和这两种情况，当时，则，此时点D为的中点，利用中点坐标公式可得答案；当时，则，可求出，；设，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入到中得：，解得， ∴反比例函数解析式为， 在中，当时，， ∴； 把，代入到中得：，解得， ∴一次函数的表达式为， （2）解：在中，当时，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵直线经过原点， ∴由反比例函数的对称性可得点的坐标为，， ∵，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴与不垂直， ∵与相似， ∴只存在和这两种情况， 当时，则，， ∴，， ∴此时点D为的中点， ∴点D的坐标为； 当时，则，， ∴，， 设， ∴， 解得， ∴， ∴点D的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 22．(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据求出，再加上可得答案； （2）将点代入可得答案；再将点代入，求出解即可； （3）当两架无人机垂直距离为时，下面的一架无人机观察另一架无人机的仰角刚好为，可得，再求出解，然后根据时间差得出答案． 【详解】（1）解：在中，， 由图（2）知无人机乙刚起飞时离地面的高度， ∴， 解得， 则， 所以起飞前无人机甲和无人机乙之间的水平距离是； （2）解：由图（2），设无人机甲距离地面的高度与上升时间的函数关系式为，将点代入，得， 解得， ∴； 设无人机乙距离地面的高度与上升时间的函数关系式为，将点代入，得， 解得， ∴； （3）解：∵起飞前无人机甲和无人机乙之间的水平距离是， ∴当两架无人机垂直距离为15米时，下面的一架无人机观察另一架无人机的仰角刚好为，即， ∴， 解得或， ∴ 所以一架无人机观察另一架无人机的仰角不超过的时长为． 23．(1) (2) (3) 【分析】结合图像求出与的函数关系式，以及利用反比例函数的性质求解电流的取值范围． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 由图2可知，图像经过点和， 代入得：， 解得：， ． 当时，（）， ，且， （）． （2）解：电流与总电阻成反比例， 设， 由（1）可知，当时，，此时， 代入得：， 解得：， 关于电阻的函数解析式为． （3）解：由（1）可知，， 当时，（）， 当时，（）， 当时，， ，且， 随的增大而减小， 当时，取最大值，（）， 当时，取最小值，（）， 电流表显示电流的取值范围． 24．(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由可得点的坐标为，代入反比例函数的表达式可得，再将代入，可求得点的坐标； （2）根据题意可得，点的坐标为，点的坐标为，则，，进而可得，利用夹角相等两边对应成比例可证明，则，从而证明； （3）设的中点为，由（2）可得，点的坐标为，圆的半径为．分情况研究，当圆与相切时，如图，设切点为点，连接，由解出，此时圆与矩形的边仅有个公共点，因此；当圆与相切时，如图，设切点为点，连接，同理可得，此时圆与矩形的边有个公共点，因此，公共部分即为的取值范围． 【详解】（1）解：在矩形中，轴，轴， ∵点的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴点的坐标为， 将点代入，得， ， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为； （2）证明：由（1）可知，，， ∵点，分别在边，上， 又∵反比例函数的图象经过点、， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：设的中点为， ∵， ∴点在圆上， ∵圆与矩形的边有个公共点， ∴圆与边、共有个公共点， 由（2）可知，点的坐标为，点的坐标为， ∴点的坐标为， ①当圆与相切时，如图，设切点为点，连接， 由（2）可知，，， 在中，， ∴， ∵圆与相切， ∴， ∴， ∴，解得， 此时圆与矩形的边仅有个公共点， ∴需向下平移，即， ②当圆与相切时，如图，设切点为点，连接， 同理①可得，， ∴，解得， 此时圆与矩形的边有个公共点，若继续向下平移，则公共点数量会超过个， ∴， 综上所述，的取值范围为． 答案第2页，共22页 答案第1页，共22页 学科网（北京）股份有限公司 $