精品解析：陕西西安市高新区第三初级中学2025-2026学年八年级下学期期中数学

2025~2026学年度第二学期期中考试 八年级 数学试题 （总分120分 用时120分钟） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 2. 下面数轴上所表示的不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，根据数轴上表示的解集确定出不等式即可． 【详解】解：如图，数轴上所表示的不等式是． 故选：D． 3. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．把一个多项式化成几个整式积的形式，叫因式分解，根据因式分解的定义判断即可． 【详解】解：A．属于整式乘法运算，不属于因式分解； B．，属于因式分解； C．右边不是几个整式积的形式，不属于因式分解； D．右边不是几个整式积的形式，不属于因式分解． 故选：B． 4. 把分式中的x，y都扩大2倍，那么分式的值（ ） A. 扩大2倍 B. 扩大4倍 C. 缩小一半 D. 不变 【答案】C 【解析】 【分析】将x、y的值都扩大2倍代入原式，然后化简比较即可． 【详解】把分式中的x，y都扩大2倍，得： ∵， ∴把原分式中的x，y都扩大2倍后，分式的值缩小一半． 故选C． 【点睛】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论． 5. 如图，是的角平分线，，垂足为的面积为，则的长为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 作于，根据角平分线的性质得到，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：作于， 是的角平分线，， 故选：C． 6. 若，则的值是（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式加法运算，利用异分母分式加法运算法则计算等式右边，比较分子系数即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴， 故的值为3． 故选：A． 7. 如图，一次函数的图象经过点和点，正比例函数的图象经过点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据函数图象求不等式组的解集． 直接根据函数图象作答即可． 【详解】解：由函数图象可知，不等式的解集为． 故选：B． 8. 如图，在中，，，以为一边向三角形外作正方形，正方形的中心为，则的长最大值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用旋转变换构造全等三角形，将转化到中，结合三角形三边关系求解最大值． 【详解】 解：将绕点逆时针旋转得到，连接， 四边形是正方形，为中心，  ，， 由旋转性质可知：， ，，， ， 是等腰直角三角形， ， 在中，，， 根据三角形三边关系，， ， ， 当 ，， 三点共线时， 取得最大值，最大值． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共计18分） 9. 若分式的值为0，则实数x的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式值为的条件，即分子等于，分母不为，计算即可． 【详解】解：由题意得 且 ， 由 解得 ， 由 ，因式分解得， 解得 或 ，不符合分母不为的条件，舍去， 所以实数的值为． 10. 已知一等腰三角形的两边长分别为和，则此三角形的周长为______． 【答案】 15 【解析】 【分析】根据等腰三角形的定义分两种情况进行讨论，再根据三角形三边之间的关系，判断能否构成三角形，最后求出周长即可． 【详解】解：当等腰三角形腰长为时， ∵， ∴不能构成三角形， 当等腰三角形腰长为时， ∵， ∴能构成三角形， ∴该三角形的周长为； 综上所述，此三角形的周长为． 11. 如图，将沿方向平移3厘米后得到，若的长为4厘米，则______厘米． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，解题的关键是根据平移的性质求出． 根据沿方向平移3厘米得到求出，从而可求出． 【详解】解：∵将沿方向平移3厘米后得到， ∴厘米， ∵厘米， ∴厘米， 故答案为：7． 12. 关于x的不等式组有且只有三个整数解，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先分别解出两个不等式，得到不等式组的解集，再根据不等式组有且只有三个整数解，即可确定a的取值范围 【详解】解：解不等式组 解不等式，得 解不等式，移项得，系数化为得 不等式组的解集为 不等式组有且只有三个整数解， 不等式组的三个整数解为，， 13. 若关于的分式方程无解，则_________． 【答案】或1 【解析】 【分析】本题考查了分式方程无解问题，分两种情况分别计算，①当时，该整式方程无解，②当时，由分式方程无解得到增根或，代入整式方程即可求解． 【详解】解： 两边同乘以得，， 整理得， ①当时，该整式方程无解， 此时； ②当时，要使原方程无解， 则，即或， 把代入整式方程，a的值不存在， 把代入整式方程，得，解得． 综合①②得或． 故答案为：或1． 14. 如图，在中，，E是边上一点，连接，在右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为________． 【答案】60 【解析】 【分析】本题考查等边对等角，平行线的性质，角平分线的性质，勾股定理：过点作，，根据等边对等角结合平行线的性质，推出，进而得到，得到，进而得到四边形的面积等于，设，勾股定理求出的长，再利用面积公式求出的面积即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， 过点作，， 则：， ∵，且， ∴， ∴四边形的面积， ∵， ∴， 设，则：， 由勾股定理，得：， ∴， 解：， ∴， ∴， ∴四边形的面积为60． 故答案为：60． 三、解答题（共9小题，共计58分） 15. 解不等式（组） （1）． （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先去括号，再移项合并，即可得到不等式的解集； （2）分别求解两个不等式，取解集的公共部分即可得到不等式组的解集． 【小问1详解】 解：   去括号得    移项得    合并同类项得   系数化为1得 ； 【小问2详解】 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 16. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 如图已知△ABC(AC＜BC)用尺规在BC上确定一点P，使 PA+PC=BC；(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹．) 【答案】AB的垂直平分线，与BC的交点即为点P 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质可知，作AB的垂直平分线，与BC的交点即为点P． 【详解】理由：如图所示，连接PA. ∵由作图得，点P在AB的垂直平分线上， ∴PA=PB． ∵PB+PC=BC， ∴PA+PC=BC． 【点睛】本题考查的是基本作图和线段垂直平分线的性质，熟练掌握这两点是解题的关键． 19. 如图，在 中， 是 的平分线，于点E，于点 F．求证∶垂直平分． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 根据角平分线的性质得出，证明出，得到，利用到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上即可得出结论． 【详解】证明：∵是的平分线，且，， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， 又∵， ∴， ， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别定． （1）画出将向下平移5个单位后得到的，点A，B，C的对应点分别为点； （2）画出将绕原点O逆时针旋转后得到的，点A，B，C的对应点分别为点． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）将三个顶点分别向下平移5个单位得到其对应点，然后顺次连接即可； （2）将三个顶点分别绕原点O逆时针旋转后得到其对应点，然后顺次连接即可． 【小问1详解】 解：如图：即为所求． 【小问2详解】 解：如图：即为所求． 【点睛】本题主要考查作图-旋转变换与平移变换，掌握旋转变换和平移变换的定义与性质并据此得到其变换后对应点是解题的关键． 21. 阅读以下材料： 因式分解：， 解：令，则原式：， 再将“A”还原，得原式， 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）因式分解：； （2）当n为何值时，代数式有最小值？最小值为多少？ 【答案】（1）； （2）当时，代数式有最小值，最小值为1． 【解析】 【分析】（1）将“”看成整体，令，则原式，再将“A”还原，得原式； （2）将“”看成整体，令，则原式，根据偶次方的非负性即可求解． 【小问1详解】 解：将“”看成整体，令，则 原式， 再将“A”还原，得： 原式； 【小问2详解】 解：将“”看成整体，令， 原式 ， 将“A”还原，得： 原式； ∵， ∴， ∴当时，代数式有最小值，最小值为1． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法． 22. 如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点 （1）求证：； (2)若，，求的度数. 【答案】（1）证明见解析；（2）78° 【解析】 【分析】（1）因为，所以有，又因为，所以有，得到； （2）利用等腰三角形ABE内角和定理，求得∠BAE=50°，即∠FAG=50°，又因为第一问证的三角形全等，得到，从而算出∠FGC 【详解】解：（1）证明：， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查全等三角形证明与性质，等腰三角形性质，旋转性质等知识点，解题的关键是掌握全等三角形证明． 23. 列方程或不等式解决实际问题： 2026年农历马年春节期间，西安文旅市场全线升温，热度拉满，共接待游客1380万人次.春节某天，甲、乙分别在钟楼和大唐芙蓉园销售一批小马灯笼．已知乙每小时售出的数量是甲每小时售出数量的倍；若两人都卖出360个灯笼，乙比甲少用4个小时． （1）求甲、乙两人每小时分别售出多少个灯笼？ （2）若甲售出一个灯笼可获得利润10元，乙售出一个灯笼可获得利润8元，甲、乙一共售出450个灯笼，要使甲、乙的总利润不低于4020元，那么甲至少要销售多少个小时？ 【答案】（1）甲每小时售出30个灯笼，乙每小时售出45个灯笼 （2）甲至少要销售7小时 【解析】 【分析】（1）设甲每小时售出灯笼的数量，根据倍数关系表示出乙的销售速度，再利用时间差的等量关系列分式方程，求解检验后得到结果． （2）设甲的销售时间，根据第一问的结果表示出甲乙的销售数量和总利润，再根据总利润的要求列一元一次不等式，求解得到最小值． 【小问1详解】 解：设甲每小时售出个灯笼，则乙每小时售出个灯笼． 根据题意，得． 方程两边同乘，得． 解得． 检验：当时，， ∴是原方程的解． 则． 答：甲每小时售出30个灯笼，乙每小时售出45个灯笼． 【小问2详解】 解：设甲销售小时，则甲售出个灯笼，乙售出个灯笼． 根据题意，得． 化简得． 解得． 答：甲至少要销售7小时． 四、附加题（共3小题，共计20分） 24. 因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最大值是_____ 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查因式分解，由多项式相等，比较系数得和，其中、为整数．列举所有整数满足，计算的所有可能值，并求最大值． 【详解】由 ， ∴，， ∵、为整数， ∴当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． ∵， ∴这样的的最大值是11． 故答案为：11． 25. 已知三个数x，y，z满足，，，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】将，，分别化简为3xyz＝xz+yz，4xyz＝xy+xz，5xyz＝yz+xy，再将三个式子相加得到xyz与xy+yz+xz的关系，代入所求式子即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴3xyz＝xz+yz①， ∵， ∴， ∴4xyz＝xy+xz②， ∵， ∴， ∴5xyz＝yz+xy③， 由①+②+③得： 12xyz＝2xy+2yz+2xz， ∴xy+yz+xz＝6xyz， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查分式的化简求值，解题的关键是利用题干给出的三个式子化简得出xyz与xy+yz+xz的关系． 26. 问题提出： （1）如图①，在中，，，，则点A到边的最短距离是______； 问题探究： （2）如图②，在中，，是的角平分线，与相交于点，点在边上，点在边上，分别连接、，且，求四边形的面积； 问题解决： （3）郭大爷家门前有一块空地，他计划开垦一个四边形菜地种植黄瓜和西红柿，如图③，按照郭大爷的设想，，，，和是两条小路，长为12米，他计划在内种植黄瓜，在内种植西红柿，若要使种植西红柿的区域面积尽可能大，郭大爷的设想能否实现？若能，请你求出区域面积的最大值；若不能，请你说明理由（小路的宽忽略不计）． 【答案】（1）3 （2） （3）郭大爷的设想能实现，区域面积的最大值为平方米 【解析】 【分析】（1）过点作于点H，则线段的长度即为点到边的最短距离，利用等腰三角形的性质和勾股定理求出即可； （2）过点作于点，于点，证明，，则，，再求出，即可求出答案； （3）延长到点，使得，连接，过点作于点，证明，得到米，，再证明是等边三角形，则米，得到米，设米，则米， 根据含角的直角三角形的性质和勾股定理分别得到米，米，利用三角形面积公式和完全平方公式得到，进一步求解即可． 【小问1详解】 解：过点作于点H，则线段的长度即为点到边的最短距离， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∴ 即点到边的最短距离是3； 【小问2详解】 解：过点作于点，于点，则， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴四边形的面积为： ； 【小问3详解】 如图，延长到点，使得，连接，过点作于点， ∵ ∴， ∵四边形的内角和为， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴ ∴米， ∴ ∴是等边三角形， ∴米， ∴米， 设米，则米， ∵， ∴， ∴米， ∴米， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴当时，取得最大值为， 即当米时，区域面积取得最大值为平方米， ∴郭大爷的设想能实现，区域面积的最大值为平方米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期期中考试 八年级 数学试题 （总分120分 用时120分钟） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下面数轴上所表示的不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解是（    ） A. B. C. D. 4. 把分式中的x，y都扩大2倍，那么分式的值（ ） A. 扩大2倍 B. 扩大4倍 C. 缩小一半 D. 不变 5. 如图，是的角平分线，，垂足为的面积为，则的长为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 6. 若，则的值是（ ） A. 3 B. 2 C. D. 7. 如图，一次函数的图象经过点和点，正比例函数的图象经过点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，以为一边向三角形外作正方形，正方形的中心为，则的长最大值等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，共计18分） 9. 若分式的值为0，则实数x的值为______． 10. 已知一等腰三角形的两边长分别为和，则此三角形的周长为______． 11. 如图，将沿方向平移3厘米后得到，若的长为4厘米，则______厘米． 12. 关于x的不等式组有且只有三个整数解，则a的取值范围是______． 13. 若关于的分式方程无解，则_________． 14. 如图，在中，，E是边上一点，连接，在右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为________． 三、解答题（共9小题，共计58分） 15. 解不等式（组） （1）． （2） 16. 分解因式： （1）； （2）． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图已知△ABC(AC＜BC)用尺规在BC上确定一点P，使 PA+PC=BC；(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹．) 19. 如图，在 中， 是 的平分线，于点E，于点 F．求证∶垂直平分． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别定． （1）画出将向下平移5个单位后得到的，点A，B，C的对应点分别为点； （2）画出将绕原点O逆时针旋转后得到的，点A，B，C的对应点分别为点． 21. 阅读以下材料： 因式分解：， 解：令，则原式：， 再将“A”还原，得原式， 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）因式分解：； （2）当n为何值时，代数式有最小值？最小值为多少？ 22. 如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点 （1）求证：； (2)若，，求的度数. 23. 列方程或不等式解决实际问题： 2026年农历马年春节期间，西安文旅市场全线升温，热度拉满，共接待游客1380万人次.春节某天，甲、乙分别在钟楼和大唐芙蓉园销售一批小马灯笼．已知乙每小时售出的数量是甲每小时售出数量的倍；若两人都卖出360个灯笼，乙比甲少用4个小时． （1）求甲、乙两人每小时分别售出多少个灯笼？ （2）若甲售出一个灯笼可获得利润10元，乙售出一个灯笼可获得利润8元，甲、乙一共售出450个灯笼，要使甲、乙的总利润不低于4020元，那么甲至少要销售多少个小时？ 四、附加题（共3小题，共计20分） 24. 因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最大值是_____ 25. 已知三个数x，y，z满足，，，则的值为_____． 26. 问题提出： （1）如图①，在中，，，，则点A到边的最短距离是______； 问题探究： （2）如图②，在中，，是的角平分线，与相交于点，点在边上，点在边上，分别连接、，且，求四边形的面积； 问题解决： （3）郭大爷家门前有一块空地，他计划开垦一个四边形菜地种植黄瓜和西红柿，如图③，按照郭大爷的设想，，，，和是两条小路，长为12米，他计划在内种植黄瓜，在内种植西红柿，若要使种植西红柿的区域面积尽可能大，郭大爷的设想能否实现？若能，请你求出区域面积的最大值；若不能，请你说明理由（小路的宽忽略不计）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $