精品解析：天津市蓟州区第二中学2025-2026学年高二3月月考数学试卷

天津市蓟州区第二中学2025-2026学年高二3月月考数学试卷 一、单选题（每题4分，共60分） 1. 若，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 2. 函数在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数求导正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（ ） A. －4 B. －3 C. 4 D. 3 5. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在处取得极大值，则（ ） A. 9或1 B. 3 C. 2 D. 1 8. 已知是函数的极小值点，那么函数的极大值为（ ） A. B. 1 C. 4 D. 5 9. 已知函数有两个零点，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 函数在处取最大值，则（ ） A. B. C. 3 D. 4 11. 若，有成立，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数，则当时，的最大值为（ ） A. B. C. D. 13. 已知是定义在上的奇函数，，当时，有成立，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 14. 3名同学计划去四个景点游玩，每人只去1个景点，则不同的选法种数是（ ） A. 81 B. 64 C. 24 D. 12 15. 若函数在上有最大值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题4分，共20分） 16. 用0、1、2、3、4可组成________个无重复数字的三位奇数. 17. 函数在点处的切线方程为_______． 18. 函数的导函数为__________． 19. 函数的单调递减区间为__________. 20. 已知直线是曲线的一条切线，则的最大值为___________． 三、解答题 21. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若，求的最大值与最小值． 22. 已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）若，求的取值范围； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市蓟州区第二中学2025-2026学年高二3月月考数学试卷 一、单选题（每题4分，共60分） 1. 若，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得，由趋于0时，判断趋于，进而建立关于的方程求解即可. 【详解】， 当趋于0时，趋于， ，解得， 故选：B. 2. 函数在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求出切线斜率，再根据点斜式可得结果． 【详解】，所以， 则切线方程为，整理得． 故选：D． 3. 下列函数求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 4. 若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（ ） A. －4 B. －3 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的运算公式以及切线的几何意义求解. 【详解】因为，所以， 当时，， 所以曲线在点处的切线的斜率等于3， 所以直线的斜率等于， 即，解得， 故选:D. 5. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意，可知在上，恒成立，再参变分离求解函数最值即可. 【详解】依题意， 在上恒成立， 即在上恒成立. 设，因在上单调递增， 故在上的最小值为，故. 故选：D 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先通过求导判断函数的单调性，再利用单调性比较和的大小． 【详解】因为．当时，，所以，所以在上为单调递减函数．故． 故选：A. 7. 已知函数在处取得极大值，则（ ） A. 9或1 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】先求出导函数，再根据极值点导函数为0求参数，最后代入检验即可. 【详解】因为函数，所以， 又因为在处取得极大值，所以，所以或， 当时，，所以单调递减，单调递增， 所以在处取得极小值，不符合题意舍去； 当时，，所以单调递增，单调递减， 所以在处取得极大值，符合题意； 则. 故选：B. 8. 已知是函数的极小值点，那么函数的极大值为（ ） A. B. 1 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】先根据是函数的极小值点求出的值，再列出表格求出的极大值 【详解】， 又是函数的极小值点，，. 经检验符合题意.. 令，，列表如下 极大值 极小值 的极大值为 9. 已知函数有两个零点，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数零点的定义，通过构造新函数，利用转化法把交点问题转化为直线与曲线的交点问题，结合导数的正负性与函数单调性的关系进行求解即可. 【详解】显然该函数的定义域为全体正实数， 由，设， ， 当时，，所以函数在上单调递增， 当时，，所以函数在上单调递减， 则有， 问题函数有两个零点，转化为直线与曲线有两个不同的交点，如下图所示： 由数形结合思想可知：当时，直线与曲线有两个不同的交点， 即函数有两个零点， 所以实数a的取值范围为. 10. 函数在处取最大值，则（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】由，得， 因为函数在处取最大值，所以， 解得，所以. 11. 若，有成立，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简已知不等式得出在上单调递减，再应用导函数结合恒成立转化为最值得出参数范围. 【详解】由题得， ∴在上单调递减， 恒成立，即恒成立， 又，所以． 故选：B. 12. 已知函数，则当时，的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数研究函数的单调性，进而可求得的最大值. 【详解】由，可得， 当时，；当时，； 故在上单调递增，在上单调递减， 故当时，在时取得极大值，也即最大值. 故选：D. 13. 已知是定义在上的奇函数，，当时，有成立，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，利用已知条件求导分析单调性，再结合函数的奇偶性来求解不等式. 【详解】构造函数，则， 因为当时，有， 故当时，，单调递增； 又因为是定义在上的奇函数，， 故是偶函数， 则当时，是单调递减函数. 又因为，则， 不等式 等价于， 所以当时，，即； 当时，，即， 所以不等式的解集是. 故选：A. 14. 3名同学计划去四个景点游玩，每人只去1个景点，则不同的选法种数是（ ） A. 81 B. 64 C. 24 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】应用分步乘法计数原理列式计算即可. 【详解】由题意，每位同学均有4个选择，所以不同选法种数是. 故选：B 15. 若函数在上有最大值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求得，令，得到，得出在上单调递减，根据题意，转化为在存在零点，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数，可得，其中， 令，可得， 所以在上为单调递减函数， 要使得函数在上有最大值，则函数在上有极大值， 则存在，使得在上单调递增，在上单调递减， 即有零点，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 二、填空题（每题4分，共20分） 16. 用0、1、2、3、4可组成________个无重复数字的三位奇数. 【答案】18 【解析】 【分析】第一步确定个位数，第二步确定百位数，第三步确定十位数，根据分步乘法计数原理求解. 【详解】第一步：确定个位数，从两个奇数中任选一个放在个位有种不同的选法； 第二步：确定百位数，百位数不能是，也不能是已经用在个位上的数，故有三个数可选， 任选一个放在百位有种不同的选法； 第三步：确定十位数，从剩下的三个数（包含0）中任选一个放在十位有种不同的选法； 根据分步乘法计数原理，可组成无重复数字的三位奇数共个. 故答案为：. 17. 函数在点处的切线方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】求导，根据导数的几何意义求切线方程. 【详解】因为，则， 可得，， 所以函数在点处的切线方程为，即. 18. 函数的导函数为__________． 【答案】 【解析】 【详解】 由题意得：. 19. 函数的单调递减区间为__________. 【答案】 【解析】 【详解】函数的定义域为，， ，解得， 故函数的单调递减区间为. 20. 已知直线是曲线的一条切线，则的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由导数的几何意义得到，接着结合切点在切线上又在曲线上得到，再构造函数，利用导数工具求出其最大值即可得解. 【详解】设切点坐标为，则即， 又且，所以， 所以， 设，则， 所以当时，当时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的最大值为，则的最大值为． 故答案为： 三、解答题 21. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若，求的最大值与最小值． 【答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，求出极值点，然后通过导函数的符号，判断函数的单调性求出单调区间． （2）借助（1）求解函数的极值、端点值比较即可． 【小问1详解】 因为． 令，得或， 当变化时，的变化情况如表所示． 2 0 0 单调递增 28 单调递减 单调递增 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为． 【小问2详解】 由（1）知当时，取得极小值． 因为 . 所以． 22. 已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）若，求的取值范围； （3）证明：． 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增 （2） （3）证明：由（2）知，当时，，则， 所以， 设，，则， 所以函数在上单调递增， 则，即，得证. 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数的正负判断函数单调性； （2）转化问题为对于恒成立，设，，利用导数分析其单调性，进而求解即可； （3）结合（2）可得，进而证明即可求证. 【小问1详解】 当时，，，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 由，则对于恒成立， 设，，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即，则的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $