福建莆田第二十四中学2025-2026学年高一下学期第一次月考数学试题

**基本信息** 2025-2026学年高一下莆田二十四中第一次月考数学试卷，涵盖立体几何、复数、向量、解三角形四大模块，通过基础题（如圆柱体积、复数运算）、综合题（如解三角形多问求解）及情境题（如黄鹤楼高度测量），分层考查空间观念、运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|圆柱体积、复数运算、向量垂直、解三角形求角|斜二测直观图问题考查空间几何直观| |多选题|3题|圆锥表面积体积、复数几何意义、解三角形命题判断|圆锥侧面最短路程问题融合空间想象与推理| |填空题|3题|复数运算、正四棱台容积、向量数量积|香料收纳罐容积计算体现生活应用| |解答题|5题|复数分类与几何意义、向量表示与运算、立体几何证明与体积、解三角形求角及面积周长最值|解三角形多问设计（求角、边长、面积最值）梯度提升逻辑推理能力，黄鹤楼测量问题渗透文化传承与数学建模|

2025-2026学年高一下莆田二十四中第一次月考 参考答案 一、单选题 1．D 【分析】根据给定条件，利用圆柱的体积公式计算即得. 【详解】圆柱的底面半径和高都是1，则该圆柱的体积. 故选：D 2．B 【分析】直接利用复数的除法运算进行化简计算． 【详解】． 故选B． 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题． 3．A 【分析】由，则求解． 【详解】解：因为与垂直，所以， 则， 得， 故选：A 4．D 【分析】直接利用余弦定理计算可得. 【详解】依题意由余弦定理得，又，所以. 故选：D 5．D 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可. 【详解】. 故选：D. 6．C 【分析】求出，，，在中，由正弦定理求出，从而得到的长度. 【详解】在中，， ，， 在中，， 由，， 在中，m. 故选：C. 7．D 【分析】由斜二测画法可知原四边形且，，利用勾股定理可求得，由此可求得平行四边形的周长. 【详解】由斜二测画法可知原四边形中且， 所以原四边形为平行四边形， 而，则原四边形中，故， 综上，四边形的周长为. 故选：D. 8．C 【分析】建立平面直角坐标系，设，把的取值范围转化为求二次函数的值域问题，即可求得本题答案. 【详解】作，垂足为，以点为原点，所在直线为轴，轴建立如下图的平面直角坐标系. 因为，而,所以， 在直角中，因为，，所以，， 则，设， 所以， 所以， 因为二次函数开口向上，对称轴为，且， 所以当时，取最小值，当时，取最大值， 所以的取值范围是. 故选：C 二、多选题 9．AC 【分析】根据复数的概念可判定A，利用复数的除法运算及几何意义可判定B，根据共轭复数的定义可判定C，利用复数的模长公式可判定D. 【详解】因为是纯虚数，所以A正确； 因为，所以在复平面内对应的点位于第三象限，故B不正确； 因为的共轭复数为，所以C正确； 因为，所以D不正确． 故选：AC 10．ABD 【分析】由轴截面面积求出底面半径，再由圆锥表面积公式得解判断A，根据平行线分线段成比例可得判断B，由圆锥的体积公式求解判断C，利用侧面展开图转化为线段求解判断D. 【详解】对于A，设的边长为，由已知得，解得， 所以圆锥的表面积为，故A正确； 对于B，因为，所以，又， 所以，故B正确； 对于C，圆锥的体积为，故C错误； 对于D，由已知得圆锥的侧面展开图的圆心角，设的中点为，连接，如图，    可得，，，则，故D正确. 故选：ABD 11．AD 【分析】由正弦定理将角化边，再由余弦定理可得，判断出角为钝角，判断A；由三角形有两解的充要条件列表达式，可得的范围，判断B；由锐角三角形的性质判断出与的关系，判断C；由余弦定理可得，判断出的形状，判断D． 【详解】A中，，即， 由正弦定理可得 ，由余弦定理可得， 因为，所以，即为钝角，所以该三角形为钝角三角形，故A正确； B中，若，且有两解，则，即， 即的范围为，所以B错误； C中，在锐角中，只有时，不等式才恒成立，所以C不正确； D中，若，由余弦定理可得， 即，即，所以，所以必是等边三角形，故D正确． 故选：AD． 三、填空题 12． 【详解】由题得. 13．193 【分析】运用台体体积公式求解即可 【详解】由题意可知，该四棱台的上､下底面边长分别为， 故该香料收纳罐的容积为． 故答案为：193. 14． 【分析】由定义求，根据已知条件及向量数量积的运算律求. 【详解】根据题意，， 又，则. 故答案为：． 四、解答题 15．(1) (2) (3)或 【分析】（1）按照复数的相关概念列方程组求解； （2）利用复数的几何意义列不等式组求解； （3）将复数z对应的点的坐标代入直线方程求解. 【详解】（1）若z为纯虚数，则， 解得； （2）若复数z对应的点位于第二象限，则， 解得； （3）若复数z对应的点位于直线上，则， 解得或， 则或. 16．(1) (2) (3) 【分析】（1）先写出的坐标，再计算模长即可； （2）按照向量的坐标运算解方程即可； （3）先求出向量的坐标，再结合的坐标按照向量共线解方程即可. 【详解】（1）因为，， 所以， 所以. （2）由题可知与不共线，故设()， 即， 所以，解得，． 因此. （3）由题意得． 因为， 所以， 解得. 19．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接，判断四边形为平行四边形，进而可求证； （2）由点到平面的距离等于点到平面的距离，得到，进而可求解. 【详解】（1）取的中点，连接， ∵为的中点，∴且， ∵为的中点，∴ 且， ∴且， ∴四边形为平行四边形，∴ . 又∵平面平面， ∴ 平面. （2）∵，∴， ∴. 在直三棱柱，易知 平面， ∴点到平面的距离等于点到平面的距离， ∴， 又∵平面， ∴. 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理化简，再由求解即可. （2）由余弦定理求解即可. （3）由余弦定理以及基本不等式求解即可. 【详解】（1）由及正弦定理得，． 因为，所以，则，即． 因为，所以． （2）根据余弦定理得，即， 解得或（舍去），故． （3）由余弦定理得， ∴， 解得，当且仅当时取等号， 的面积， 所以面积最大值为. 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）由余弦定理计算即可求解； （2）由题意可得，根据基本不等式计算即可求解； （3）由正弦定理将化为关于角的函数，根据正弦函数性质及三角形面积公式计算求解. 【详解】（1）因为，所以， 由余弦定理可得， 因为，所以； （2）因为， 所以， 由基本不等式可知，当且仅当时等号成立， 所以，即， 所以当时，周长有最小值为； （3）由正弦定理可得，所以，， 因为，所以， 则 ， 因为是锐角三角形，有，即， 所以，，， 因为， 所以，即面积的取值范围是. 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一下莆田二十四中第一次月考 一、单选题 1．圆柱的底面半径和高都是1，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 2．i是虚数单位，复数等于　　 A． B． C． D． 3．已知向量，，若与垂直，则实数（    ） A． B． C． D． 4．记的内角的对边分别为，已知．则角（　　） A． B． C． D． 5．如图，已知平行四边形ABCD，，E为CD中点，则（    ） A． B． C． D． 6．中国古代四大名楼之首黄鹤楼，位于湖北省武汉市武昌区，因唐代诗人崔颢登楼所题《黄鹤楼》一诗而名扬四海.如图，某同学为测量黄鹤楼的高度，在黄鹤楼的正东方向找到一座建筑物，高约为26，在地面上点处（三点共线）测得建筑物顶部，黄鹤楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则黄鹤楼的高度约为（    ） A．64 B．74 C．52 D．91 7．如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为（    ） A． B． C．8 D．10 8．平行四边形中，，，，点在边上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知复数，，则（    ） A．是纯虚数 B．在复平面内对应的点位于第二象限 C． D． 10．如图所示，圆锥的轴截面是面积为的正三角形，用平行于圆锥底面的平面截该圆锥，截面圆与，分别交于点，，且，则（   ）    A．圆锥的表面积为 B．圆台的高为 C．圆锥的体积为 D．从点出发沿着该圆锥侧面到达中点的最短路程为5 11．对于有如下命题，其中正确的是（    ） A．若，则为钝角三角形 B．若，且有两解，则的取值范围是 C．在锐角中，不等式恒成立 D．在中，若，则必是等边三角形 三、填空题 12．设是虚数单位，则的值为________. 13．某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图所示，该几何体为上､下底面周长分别为，的正四棱台，若棱台的高为，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为__________.    14．已知向量满足与的夹角为，则______． 四、解答题-问答题 15．已知复数，（）， (1)若z为纯虚数，求m的值； (2)若复数z对应的点位于第二象限，求m的取值范围； (3)若复数z对应的点位于直线上，求复数z. 16．已知向量 (1)求; (2)若向量，试用表示； (3)若 求实数k的值. 17．如图，在直三棱柱中，，分别为的中点. (1)证明： 平面； (2)求三棱锥的体积. 18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. (1)求角B的大小； (2)若，，求a； (3)若，求△ABC面积的最大值. 19．在中，角的对边分别为，满足. (1)求角的大小； (2)若，求周长的最小值； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 第 2 页 共 4 页 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $