精品解析：福建莆田第四中学2025-2026学年下学期高一年段数学第一次月考考试试卷

莆田四中2025-2026学年下学期高一年段数学科第一次月考 考试试卷 命题人：林琴 审核人：吴亚玉 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。 1. 已知向量是单位向量，且，则（ ） A. 3 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对两边同时平方可得，结合数量积的运算律计算即可求解. 【详解】由，得， 所以， 所以. 故选：D 2. 中，角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理可得，再由边角关系确定角的大小即可. 【详解】由题意，在中，则，所以， 因为，所以或，又，所以． 故选：A 3. 下列化简正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】逆用两角和的余弦公式即可判断A项，运用二倍角正弦公式及二倍角余弦公式计算判断B，C两项，逆用二倍角正切公式即可判断D项. 【详解】对于A项， ，故A项错误； 对于B项，，故B项错误； 对于C项，，故C项错误； 对于D项，，故D项正确. 4. 在平行四边形ABCD中，点在线段AC上，且.若，其中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由， 又，则，故. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据换元法以及倍角公式求解即可. 【详解】令，则，所以. 则. 6. 海伦公式是利用三角形的三条边的边长a，b，c直接求三角形面积S的公式，表达式为：（其中）；它的特点是形式漂亮，便于记忆．中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，但它与海伦公式完全等价，因此海伦公式又译作海伦-秦九韶公式．现在有周长为的满足，则用以上给出的公式求得的面积为（ ） A. B. C. D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理得三角形三边之比，由周长求出三边，代入公式即可． 【详解】∵，∴， ∵周长为，即， ∴，∴， ∴的面积． 故选：C． 7. 已知，，，，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意对进行平方可计算，设，的夹角为，由得，由可得的取值范围. 【详解】∵，，，，， ， ， 设，的夹角为，由得， ∴， ， 设，由得 ， 解得或， ， 综上所述，故选：C. 【点睛】本题考查平面向量数量积的性质及其运算，涉及知识点有向量的模、向量的垂直关系、向量夹角等，属于中等题. 8. 如图所示的四边形中，是等边三角形，是边的中线延长线上一点，，，点在四边形的边上运动，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意知，即BC⊥CD，因为图形对称，所以只考虑E在边BC，CD上的运动情况即可，在两种情况下，利用向量共线表示出，利用数量积即可得到最值. 【详解】由题知，AC⊥BD，且，故点E在四边形ABCD上运动时，只需考虑点E在边BC，CD上的运动情况即可， 又， 所以，即，则， ①当点E在边BC上运动时，设，则， 所以； ②当点E在边CD上运动时，设，则， 所以. 综上，的取值范围为， 综上所述，其最小值为. 故选：C. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。 9. 已知平面向量，则下列说法正确的有（ ） A. 若 ，则 B. 若，则 C. 若与的夹角为锐角，则实数的范围为 D. 当时，在上的投影向量的坐标为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据判断A，根据向量共线的坐标表示判断B，根据且不同向判断C，根据投影向量的定义判断D. 【详解】对于A：若，则，解得，故A正确； 对于B：若，则，解得，故B正确； 对于C：当与夹角为锐角时，则，解得， 又时，，此时向量夹角为0， 所以当与的夹角为锐角时，的取值范围为且，故C错误； 对于D：当时，，所以，， 所以在上的投影向量为，故D正确； 故选：ABD． 10. 已知分别为内角的对边，下面四个结论不正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 在钝角中，为锐角，则不等式恒成立 C. 若，的平分线交于点，，则的最小值为 D. 若，，且有两解，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用余弦定理角化边可证得A错误；根据诱导公式和正弦函数单调性可知B错误；利用面积法和基本不等式可求得C错误；根据作圆法可知D错误. 【详解】对于A，由余弦定理得：， ， 即， 或，即或， 为等腰三角形或直角三角形，A错误； 对于B，为钝角三角形，为锐角，，， ，B错误； 对于C，的平分线交于点，，又 ，即，， （当且仅当，即，时取等号）， 即的最小值为，C正确； 对于D，如图，若有两解，则，，D错误. 故选：ABD. 11. 已知点为所在平面内一点，满足，（其中）（ ） A. 当时，直线过边的中点 B. 若时，与的面积之比为 C. 若，且，则 D. 若，且，则满足 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，根据向量的线性运算结合向量数乘的含义可判断A;对于B，利用作图，结合向量加减法的几何意义，可判断与的面积之比；对于C，由条件可判断为等边三角形，利用数量积的定义即可求得的值；对于D,由得，，平方后结合数量积的运算可推得结果. 【详解】对于A，设AB的中点为D，则当时，有, 即得O,C,D三点共线，故直线过边的中点，故A正确； 对于B，延长OA至,使 , 延长OB至,使,    连接,设其中点为E,连接OE并延长至 ，使 , 连接 ,则四边形是平行四边形， 所以，而时，， 故,即 三点共线，且， 根据同底等高三角形面积相等，则, 即与的面积之比为，故B错误； 对于C，由于且时，， 故O为的外心和重心，故为等边三角形， 则,由可得， 故，故C错误； 对于D，因为，且， 由得，， 所以,即，故D正确， 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 已知两个单位向量的夹角为，且向量，则______． 【答案】0 【解析】 【分析】利用数量积的运算律及定义计算得解. 【详解】两个单位向量的夹角为，向量， 所以. 故答案为：0 13. 如图所示，小明和小宁家都住在东方明珠塔附近的同一幢楼上，小明家在层，小宁家位于小明家正上方的层，已知.小明在家测得东方明珠塔尖的仰角为，小宁在家测得东方明珠塔尖的仰角为，则他俩所住的这幢楼与东方明珠塔之间的距离__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正切函数的定义得到方程，解出即可. 【详解】分别过点作的垂线，垂足分别为， 则根据正切函数的定义得，， 则，解得. 故答案为：. 14. 在中,已知,,,为线段上的点,且,则的最大值为________. 【答案】3 【解析】 【详解】由得 所以由得 又为线段上的点，且, 所以 ， 当且仅当时，等号成立 即的最大值为3. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15. 已知点，，. （1）若A，B，C三点共线，求； （2）若，求. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量共线的坐标表示求出，再利用坐标求出模. （2）利用垂直关系的坐标表示求出，进而求出夹角余弦. 【小问1详解】 点，，，则，， 由A，B，C三点共线，得，则，解得，即， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，， 由，得，解得，， 所以. 16. 设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. （1）求角A的大小； （2）若边上的中线的长度为，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得； （2）依题意可得，根据数量积的运算律得到，再由均值不等式求出的最大值，即可得解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 则， 即， ， ，，则， ，. 【小问2详解】 因为是中点，所以. 两边平方得 . 所以，即， 又由均值不等式得， 当且仅当时等号成立，所以， 所以，即面积的最大值为. 17. 如图，在中，D，E分别为边AB，BC上的点，且，AE与CD交于点P，记，，． （1）求的值，并用，表示，； （2）若，，，求的余弦值． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量的线性运算，结合三点共线的条件，建立关于的方程求解. （2）先求出的表达式，再利用向量夹角公式计算. 【小问1详解】 由，，得. 因为，所以， 则. 由，得， 因此. 由，得，则. 因为三点共线，所以与共线， 即存在实数，使得，即 所以，则，代入化简可得：，解得：. 因此. 【小问2详解】 因为，，， 所以，，， 因为，， 所以． ， ． 因为， 所以． 18. “惊蛰植梦，以春为名，赠高三一场繁华”，莆田四中科技处开展劳动教育之毕业花种植活动，该种植区域的平面示意图为如图的四边形，已知，区域的两个顶点M，N分别沿两条道路分布（且异于点B），为了提升观赏性，区域中修建观赏通道． （1），， ①求观赏通道的长； ②若，求折线段通道最大值（即最大）； （2）若且的面积为6，求观赏通道的最小值． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①根据正弦定理求边长即可；②利用余弦定理结合基本不等式求和的最值即可； （2）令，利用三角形面积公式可将与联系起来，再用“余弦定理”得到关于的三角函数表达式，利用三角函数的性质求得 【小问1详解】 解：①在中，由正弦定理得， 即，解得， 答：观赏通道的长为； ②由余弦定理得， 即， （当且仅当时取等）， 解得； 【小问2详解】 解：设，则，， 由面积公式得，， 由余弦定理得， 令， 则， 其中， 当时取等号， ，． 19. 法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，托里拆利确定费马点的方法如下： ①当的三个内角均小于120°时，满足的点O为费马点； ②当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点． 请用以上知识解决下面的问题：已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点M为的费马点，且． （1）判断的形状； （2）若的周长为，求的最小值； （3）若，求实数t的最小值． 【答案】（1）为直角三角形 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据倍角公式得到，由正弦定理得到，从而； （2）根据点为的费马点，所以，再由面积关系得，利用均值不等式可得，利用向量的数量积可求得最小值； （3）设，，由得，在三个小三角形中分别用余弦定理表示出，再结合，得到，从而由均值不等式得可求得的最小值. 【小问1详解】 因为，所以， 即，由正弦定理得. 所以，所以为直角三角形；. 【小问2详解】 由（1）知，所以的三个角都小于， 因为点为的费马点，所以. 由，得：， 整理得， 所以. 又的周长为，所以， 所以，所以， 所以，所以，所以， 当且仅当时，取等号，所以， 又因为 ， 所以的最小值为； 【小问3详解】 由（2）知. 设，， 由得. 由余弦定理得： 在中，， 在中，， 在中，， 因为，所以， 整理得. 因为，当且仅当时等号成立， 所以，整理得，解得或者（舍去）， 所以实数的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田四中2025-2026学年下学期高一年段数学科第一次月考 考试试卷 命题人：林琴 审核人：吴亚玉 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。 1. 已知向量是单位向量，且，则（ ） A. 3 B. 5 C. D. 2. 中，角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 或 3. 下列化简正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在平行四边形ABCD中，点在线段AC上，且.若，其中，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 海伦公式是利用三角形的三条边的边长a，b，c直接求三角形面积S的公式，表达式为：（其中）；它的特点是形式漂亮，便于记忆．中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，但它与海伦公式完全等价，因此海伦公式又译作海伦-秦九韶公式．现在有周长为的满足，则用以上给出的公式求得的面积为（ ） A. B. C. D. 12 7. 已知，，，，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示的四边形中，是等边三角形，是边的中线延长线上一点，，，点在四边形的边上运动，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。 9. 已知平面向量，则下列说法正确的有（ ） A. 若 ，则 B. 若，则 C. 若与的夹角为锐角，则实数的范围为 D. 当时，在上的投影向量的坐标为 10. 已知分别为内角的对边，下面四个结论不正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 在钝角中，为锐角，则不等式恒成立 C. 若，的平分线交于点，，则的最小值为 D. 若，，且有两解，则的取值范围是 11. 已知点为所在平面内一点，满足，（其中）（ ） A. 当时，直线过边的中点 B. 若时，与的面积之比为 C. 若，且，则 D. 若，且，则满足 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 已知两个单位向量的夹角为，且向量，则______． 13. 如图所示，小明和小宁家都住在东方明珠塔附近的同一幢楼上，小明家在层，小宁家位于小明家正上方的层，已知.小明在家测得东方明珠塔尖的仰角为，小宁在家测得东方明珠塔尖的仰角为，则他俩所住的这幢楼与东方明珠塔之间的距离__________. 14. 在中,已知,,,为线段上的点,且,则的最大值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15. 已知点，，. （1）若A，B，C三点共线，求； （2）若，求. 16. 设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. （1）求角A的大小； （2）若边上的中线的长度为，求面积的最大值. 17. 如图，在中，D，E分别为边AB，BC上的点，且，AE与CD交于点P，记，，． （1）求的值，并用，表示，； （2）若，，，求的余弦值． 18. “惊蛰植梦，以春为名，赠高三一场繁华”，莆田四中科技处开展劳动教育之毕业花种植活动，该种植区域的平面示意图为如图的四边形，已知，区域的两个顶点M，N分别沿两条道路分布（且异于点B），为了提升观赏性，区域中修建观赏通道． （1），， ①求观赏通道的长； ②若，求折线段通道最大值（即最大）； （2）若且的面积为6，求观赏通道的最小值． 19. 法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，托里拆利确定费马点的方法如下： ①当的三个内角均小于120°时，满足的点O为费马点； ②当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点． 请用以上知识解决下面的问题：已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点M为的费马点，且． （1）判断的形状； （2）若的周长为，求的最小值； （3）若，求实数t的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $