精品解析：清华大学附属中学上地学校2025-2026学年高一第二学期期中试卷数学

高一第二学期期中试卷 数学 （清华附中上地学校高25级） 2026.4 第一部分（选择题共40分） 一､选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数区间上的平均变化率为（ ） A. 2 B. 4 C. c D. 2c 3. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. 4 D. 5 4. 下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 6. 已知△ABC两内角A，B的对边边长分别为a，b，则“A＝B”是“acos A＝bcos B”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知函数的图象关于点对称，且在上单调，则的取值集合为（ ） A. B. C. D. 8. 记的内角，，的对边分别为，，，，，，则的面积为（ ） A. 1 B. C. D. 9. 已知函数在定义域上单调递减，且函数的图象关于点对称，不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 10. 在直角梯形中，,,,,分别为 的中点，点在以为圆心，为半径的圆弧上运动（如图所示）．若，其中，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题共110分） 二､填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，点（）在角终边上，且，则的值可以是______.（写一个即可） 12. 平面向量，满足：，，，则与的夹角的余弦值是__________. 13. 已知函数，则______． 14. 设函数 （1）如果，那么实数 ___； （2）如果函数有且仅有两个零点，那么实数 的取值范围是___. 15. 已知函数存在两个极值点，给出下列四个结论： ①函数有零点； ②a的取值范围是； ③； ④． 其中所有正确结论的序号是___________． 三､解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知函数． （1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）求函数在区间上的最大值和最小值，并求相应的的值． 17. 已知函数． （1）若，求函数在上的最值； （2）求函数的单调区间． 18. 为响应国家提出的“大众创业万众创新”的号召，小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业，生产某小型电子产品.经过市场调研，生产该小型电子产品需投入年固定成本2万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.已知在年产量不足4万件时，，在年产量不小于4万件时，.每件产品售价6元.通过市场分析，小王生产的产品当年能全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式.（年利润=年销售收入-年固定成本-流动成本.） （2）年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？ 19. 在中，. （1）求； （2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得满足条件的有两个，求这两个三角形的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 20. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求证：当时，； （3）设实数使得对恒成立，求的取值范围． 21. 给定正整数，设集合．对于集合中的任意元素和，记．设，且集合，对于中任意元素，若则称具有性质． （1）判断集合是否具有性质？说明理由； （2）判断是否存在具有性质的集合，并加以证明； （3）若集合具有性质，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一第二学期期中试卷 数学 （清华附中上地学校高25级） 2026.4 第一部分（选择题共40分） 一､选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】不等式， 解得，即。 绝对值不等式， 化简得或， 即或， 又因为，因此 所以. 2. 函数区间上的平均变化率为（ ） A. 2 B. 4 C. c D. 2c 【答案】B 【解析】 【分析】 根据函数的平均变化率的公式，求解即可. 【详解】 故选：B 【点睛】求平均变化率的方法：利用公式. 3. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】先根据向量共线求出，再计算出向量，再根据模的公式求解即可. 【详解】解：因为，所以由，解得，所以，所以，所以. 故选：A. 【点睛】本题考查共线向量的坐标运算，向量线性运算的坐标表示，向量的模的计算，是中档题. 4. 下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数、幂函数及对数函数的单调性一一判断即可. 【详解】对于A：因为在定义域上单调递减，所以，故A错误； 对于B：因为在上单调递增，所以，故B错误； 对于C：因为在定义域上单调递减，所以，故C错误； 对于D：因为在定义域上单调递减，所以， 所以， 又，， 所以，故D正确. 故选：D 5. 已知，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导函数，计算得解. 【详解】因为， 所以， 所以， 故选：B 6. 已知△ABC两内角A，B的对边边长分别为a，b，则“A＝B”是“acos A＝bcos B”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合与正弦定理，求出角A，B的关系，再根据小范围推出大范围，而大范围推不出小范围，即可求解. 【详解】由，故根据正弦定理得，， 即，因此可得或，也就是或， 因此“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 7. 已知函数的图象关于点对称，且在上单调，则的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件列式，由此求得的取值集合. 【详解】关于点对称，所以， 所以①； ，而在上单调， 所以，②； 由①②得的取值集合为. 故选：C 8. 记的内角，，的对边分别为，，，，，，则的面积为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以， 所以， 所以， 所以， 所以 9. 已知函数在定义域上单调递减，且函数的图象关于点对称，不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性，将不等式变成，利用函数单调性求解即可. 【详解】函数的图象关于点对称， 则函数的图象关于原点对称，即， 从而等价于，即 由函数在定义域上单调递减， 则，解得. 10. 在直角梯形中，,,,,分别为 的中点，点在以为圆心，为半径的圆弧上运动（如图所示）．若，其中，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先建立平面直角坐标系，然后将每个点用坐标的形式表示出来，根据条件，列出等式，并化简，最后求出的取值范围. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则 设,. 则. 因为，所以. 化简得：. 解得：. 所以. 因为，所以. 所以. 故选：B. 第二部分（非选择题共110分） 二､填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，点（）在角终边上，且，则的值可以是______.（写一个即可） 【答案】（，，均可） 【解析】 【分析】由求得的取值范围，结合三角函数的定义进而可得解. 【详解】，即，解得， 又，故的值可为、、、、， 则，即的值可以是或或. 故答案为：（，，均可）. 12. 平面向量，满足：，，，则与的夹角的余弦值是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用向量点积运算展开条件式，代入已知模长求出数量积，再通过数量积公式得到夹角余弦值. 【详解】， 解得. 13. 已知函数，则______． 【答案】 【解析】 【详解】， 所以，即，， 所以，， 所以. 14. 设函数 （1）如果，那么实数 ___； （2）如果函数有且仅有两个零点，那么实数 的取值范围是___. 【答案】或4； 【解析】 【详解】试题分析：由题意 ，解得或； 第二问如图： 的图象是由两条以 为顶点的射线组成，当在A,B 之间（包括不包括）时，函数和有两个交点，即有两个零点．所以 的取值范围为 ． 考点：1.分段函数值；2.函数的零点. 15. 已知函数存在两个极值点，给出下列四个结论： ①函数有零点； ②a的取值范围是； ③； ④． 其中所有正确结论的序号是___________． 【答案】①④ 【解析】 【分析】求出函数定义域以及导函数.由可说明①正确；由已知，有两个不同的正数解，根据二次函数根的分布即可求出的范围，判断②；根据求根公式，解出，结合②中解出的的范围，可得到，即③错误；根据导函数得出函数的单调性，结合③的解析，可得，即④正确. 【详解】由已知可得，定义域为，. 对于①，因为，所以1是函数的一个零点，故①正确； 对于②，因为函数存在两个极值点，所以有两个不同的正数解，即方程有两个不同的正数解， 则应满足，解得，故②错误； 对于③，解方程可得，，因为，所以，由②知，所以，所以，故③错误； 对于④，由可得，即，所以，所以在上单调递增；解可得，或，所以在上单调递减，在上单调递减. 由③知，所以，故④正确. 故答案为：①④. 三､解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知函数． （1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）求函数在区间上的最大值和最小值，并求相应的的值． 【答案】（1）最小正周期，单调递减区间为 （2）函数最小值为，此时；函数最大值为，此时 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换对化简得，根据即可求出最小正周期，根据正弦函数的性质即可求出单调递减区间； （2）根据求得，再根据正弦函数的性质即可求出答案. 【小问1详解】 ， 所以函数的最小正周期为， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为. 【小问2详解】 当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 而，，， 所以当，即时，函数取得最小值，最小值为， 当，即时，函数取得最大值，最大值为， 综上，函数最小值为，此时；函数最大值为，此时. 17. 已知函数． （1）若，求函数在上的最值； （2）求函数的单调区间． 【答案】（1） 最小值，最大值. （2）时，在上单调递减； 时，单调递减区间，单调递增区间； 时，单调递增区间，单调递减区间. 【解析】 【分析】（1）根据导数的正负得出其单调性，进而分析其最值. （2）求出函数的导数，分类讨论的取值，讨论函数的单调区间. 【小问1详解】 若，则，. 令，则. 当，则，当，则. 因此在上单调递减，在上单调递增，则最小值为. 因为，所以最大值为. 【小问2详解】 对求导得. 由于恒成立，的符号由决定，分类讨论如下： 当时：恒成立，因此的单调递减区间为，无单调递增区间. 当时：令，解得.时，，单调递减； 时，，单调递增. 当时，同理解得，时，，单调递增； 时，，单调递减. 综上，时，在上单调递减； 时，单调递减区间，单调递增区间； 时，单调递增区间，单调递减区间. 18. 为响应国家提出的“大众创业万众创新”的号召，小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业，生产某小型电子产品.经过市场调研，生产该小型电子产品需投入年固定成本2万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.已知在年产量不足4万件时，，在年产量不小于4万件时，.每件产品售价6元.通过市场分析，小王生产的产品当年能全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式.（年利润=年销售收入-年固定成本-流动成本.） （2）年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】（1）； （2）当年产量为8万件时，所获年利润最大，为9万元. 【解析】 【分析】（1）分以及，分别求解得出表达式，写成分段函数即可； （2）当时，求导得出.然后根据基本不等式求出时，的最值，比较即可得出答案. 【小问1详解】 由题意，当时，；当时，. 所以. 【小问2详解】 当时，，令，解得. 易得在上单调递增，在上单调递减，所以当时， . 当时，， 当且仅当，即时取等号. 综上，当年产量为8万件时，所获年利润最大，为9万元. 19. 在中，. （1）求； （2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得满足条件的有两个，求这两个三角形的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1）； （2）满足条件①的三角形有且只有1个；满足条件②或③的三角形有两个，这两个三角形的面积分别为和. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角及二倍角的正弦求解. （2）选条件①，由两边及夹角确定三角形，不符合题意；选条件②，利用正弦定理求出，再利用和角的正弦公式及三角形面积公式求解；选条件③，利用余弦定理及三角形面积公式求解. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 即，而，则， 又，所以. 【小问2详解】 选择条件①，，而，，则唯一确定，不符合题意. 选择条件②，，由正弦定理得， ，则，，， 当时，， 因此的面积； 当时，， 因此的面积， 所以这两个三角形的面积分别为 和. 选择条件③，，由余弦定理，得， 即，解得或， 当时，的面积； 当时，的面积， 所以这两个三角形的面积分别为和. 20. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求证：当时，； （3）设实数使得对恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2）证明：令， 则， 由，故，故在上单调递减， 所以， 即当时，； （3） 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义计算即可得； （2）构造函数，求导研究单调性即可得； （3）分类讨论，当时，由（2）可得此时符合要求，当时，构造函数，结合导数研究单调性可得不符，当时，结合导数单调性可得亦不符. 【小问1详解】 ，故， 又，故有， 即，故切线方程为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，， 由（2）知，当时，， 所以当时，对恒成立； 当时，令， ， 当时，因为，所以，在上单调递增， ，不合题意， 当时，得， 当时，，时，， 所以在上单调递增，则时，，不合题意， 综上，的取值范围是. 【点睛】关键点睛：本题最后一问关键点在于根据的范围分类讨论，从而结合单调性研究函数最值得到结果. 21. 给定正整数，设集合．对于集合中的任意元素和，记．设，且集合，对于中任意元素，若则称具有性质． （1）判断集合是否具有性质？说明理由； （2）判断是否存在具有性质的集合，并加以证明； （3）若集合具有性质，证明：． 【答案】（1）具有，理由如下： 因为，同理． 又，同理． 所以集合具有性质． （2）不存在，证明如下： 当时，集合中的元素个数为．由题设． 假设集合具有性质，则 ①当时，，矛盾． ②当时，，不具有性质，矛盾． ③当时，． 因为和至多一个在中；和至多一个在中； 和至多一个在中，故集合中的元素个数小于，矛盾． ④当时，，不具有性质，矛盾． ⑤当时，，矛盾． 综上，不存在具有性质的集合． （3） 记，则． 若，则，矛盾．若，则，矛盾．故． 假设存在使得，不妨设，即． 当时，有或成立． 所以中分量为的个数至多有． 当时，不妨设． 因为，所以的各分量有个，不妨设． 由时，可知，，中至多有个， 即的前个分量中，至多含有个． 又，则的前个分量中，含有 个，矛盾． 所以． 因为， 所以． 所以． 【解析】 【分析】（1）根据集合具有性质的特征，即可根据集合中的元素进行检验求解， （2）假设集合具有性质，分别考虑时，集合中的元素，即可根据的定义求解. （3）根据假设存在使得，考虑当时以及时，分量为1的个数即可讨论求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解. 对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $