精品解析：北京一零一中2025-2026学年度第二学期期中考试高一数学

北京一零一中2025-2026学年度第二学期期中考试 高一数学 （本试卷满分120分，考试时间100分钟） 命题：高一数学备课组 审稿：贺丽珍 一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 半径为2的圆中，弧长为的弧所对的圆心角是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，周期为且为偶函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 在边长为4的正三角形中，若，则的值为（ ） A. B. C. 12 D. 8 5. 在平行四边形 中， 与 交于点 ， 是线段上的点．若，设，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知角的终边经过点，则的值可能是（ ） A. B. C. 1 D. 7. 若向量，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知是两个不共线的单位向量，向量.则“”是“且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 若函数在区间内恰有两个最值点和三个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 在 中，，当时，的最小值为4.若，，其中，则的最小值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 二､填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知单位向量满足，则向量与的夹角为__________. 12. 已知为锐角，，是第四象限角，，则__________. 13. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分钟转2圈，筒车的轴心 距离水面的高度为.设筒车上的某个盛水筒 到水面的距离为 （单位：）（在水面下则 为负数），若以盛水筒 刚浮出水面时开始计算时间，则 与时间 （单位：）之间的关系为.则盛水筒出水后到达最高点的最短时间为__________. 14. 已知函数，给出下列四个结论： ①的定义域为； ②的图象关于点对称； ③若，则在区间上单调递增； ④若，则的最小值为. 其中所有正确结论的序号是__________. 15. 已知平面向量满足，则的取值范围是__________. 三､解答题共5小题，共55分.解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程. 16. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 5 -5 0 （1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数的解析式； （2）作出函数在长度为一个周期的闭区间上的图象； （3）将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象.若函数图象的一条对称轴为，求 的最小值. 17. 已知向量满足求的取值范围. 18. 已知向量. （1）若且，求的值； （2）若，求的值. 19. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式，写出的单调递增区间； （2）将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象. ①当时，关于 的方程恰有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是__________，的值为__________； ②已知 的三个顶点均在函数的图象上，且，点 在线段 上运动，则的取值范围是__________. 20. 已知数列，从 中选取第项、第项、…、第项构成数列， 称为 的项子列．记数列 的所有项的和为．当时，若 满足：对任意，，则称 具有性质 ．规定： 的任意一项都是 的项子列，且具有性质 ． （1）当时，比较 的具有性质 的子列个数与不具有性质 的子列个数的大小，并说明理由； （2）已知数列． （ⅰ）给定正整数，对 的项子列 ，求所有的算术平均值； （ⅱ）若 有 个不同的具有性质 的子列，满足：，与都有公共项，且公共项构成 的具有性质 的子列，求 的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京一零一中2025-2026学年度第二学期期中考试 高一数学 （本试卷满分120分，考试时间100分钟） 命题：高一数学备课组 审稿：贺丽珍 一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 半径为2的圆中，弧长为的弧所对的圆心角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据弧长公式求出圆心角的弧度数，再转换为角度. 【详解】由得， 所以圆心角为. 2. 下列函数中，周期为且为偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】对于A，，函数的最小正周期为，且是偶函数，故A正确； 对于B，，函数的最小正周期为，是偶函数，故B错误； 对于C，，函数的最小正周期为，且是奇函数，故C错误； 对于D，，函数的最小正周期为，故D错误. 3. 下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】根据诱导公式，得； 根据诱导公式，得. 因为正弦函数在上单调递增，且， 所以，即 . 4. 在边长为4的正三角形中，若，则的值为（ ） A. B. C. 12 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】先根据得 是的中点，然后根据向量数量积的定义计算即可. 【详解】，是的中点，又是边长为 的正三角形，可得. . 5. 在平行四边形 中，与交于点 ， 是线段 上的点．若，设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】可从出发，通过插点的方法，表示出. 【详解】如图所示，平行四边形 中， 与交于点O， 是线段 上的点，且， ，， 则. 故选：B 6. 已知角的终边经过点，则的值可能是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正切函数定义求得，然后由其取值范围得结论． 【详解】由题意，显然且，所以或，只有B满足． 7. 若向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算计算判断平行与垂直； 【详解】对于A，， 因为不一定为，所以两向量不一定垂直，A错误； 对于B，因为， 不一定等于零，所以两向量不一定平行，B错误； 对于C，因为， ，所以，C正确； 对于D，因为， ，结果不一定为零，所以与不一定平行，D错误； 故选：C. 8. 已知是两个不共线的单位向量，向量.则“”是“且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由是不共线的单位向量可得，由可得，进而讨论和且充分性和必要性即可. 【详解】已知是不共线的单位向量，故，设两向量夹角为， 则，即. 因为，所以不等式等价于. 充分性：若，无法推出且，例如满足， 但不满足且，充分性不成立； 必要性：若且，必有，即，必要性成立. 所以是且的必要不充分条件. 9. 若函数在区间内恰有两个最值点和三个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】按照的正负分类讨论，根据正弦函数的图象和性质列不等式求解即可. 【详解】当时，，则， 根据在的图象可知， 无法使得在区间内恰有两个最值点和三个零点，所以不能为正； 当时，，则， 由函数在区间内恰有两个最值点和三个零点， 故根据在的图象可知， 需满足，解得. 10. 在 中，，当时，的最小值为4.若，，其中，则的最小值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用的最小值求出，再由判断三角形的形状，接着把点 放在坐标原点，建立直角坐标系，写出点 和点的坐标，再求的最小值. 【详解】设向量， 则表示向量对应的点到向量所在直线的距离， 因此它的最小值等于在垂直于方向上的分量长度，也就是， 于是有，所以，从而， 又因为，所以，进而， 因此， 是以 为直角的等腰直角三角形. 下面建立坐标系：取，，， 则，，由， 可知 是 的中点，所以， 又因为，所以， 于是， 从而， 整理得， 设，则，且，所以， 化简得，继续配方得， 因此，所以， 当，也就是时，等号成立， 故的最小值为，因此正确答案为 A. 【点睛】 二､填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知单位向量满足，则向量与的夹角为__________. 【答案】 【解析】 【详解】，， ， ， ，，， 故向量与的夹角为. 12. 已知为锐角，，是第四象限角，，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】因为为锐角，， 所以， 又因为是第四象限角，， 所以， 所以. 13. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分钟转2圈，筒车的轴心 距离水面的高度为.设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间 （单位：）之间的关系为.则盛水筒出水后到达最高点的最短时间为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意求出的解析式，然后令，求解关于 的方程，取 的最小值即可. 【详解】由题意，筒车半径为，. 又筒车的轴心 距离水面的高度为，. 筒车每分钟转2圈，每分钟转过的角度为，. . 以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，. 即，，. 又，，. 盛水筒第一次到达最高点时用时最短，此时，解得. 故最短时间为. 14. 已知函数，给出下列四个结论： ①的定义域为； ②的图象关于点对称； ③若，则在区间上单调递增； ④若，则的最小值为. 其中所有正确结论的序号是__________. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据余弦函数的性质求定义域判断①，根据点对称的定义计算并判断②，取特殊值，结合特殊点判断的单调性进而判断③，设换元后结合函数单调性求解④. 【详解】①：由函数的解析式可知，所以本序号结论正确； ②：因为 所以的图象关于点对称，所以本序号结论正确； ③：当时，， 当时，，， 显然，不符合函数单调性的定义，所以本序号结论不正确； ④：当时，令，， 因为，函数在时单调递增， 所以，即的最小值为，本序号结论正确. 15. 已知平面向量满足，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用已知条件用坐标表示出向量（取特殊值即可），然后设，由数量积的坐标运算确定出点的轨迹方程，确定轨迹是圆，然后利用定点到圆上点的距离的最值求得结论． 【详解】因为，所以，，所以， 不妨取，， 设， 则， 整理得， 所以点在以为圆心，为半径的圆上， ，表示点到点的距离， 又， 所以的取值范围是． 三､解答题共5小题，共55分.解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程. 16. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 5 -5 0 （1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数的解析式； （2）作出函数在长度为一个周期的闭区间上的图象； （3）将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象.若函数图象的一条对称轴为，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据表格求得，，根据即可求出，将代入中即可求出，即可求出补全表格； （2）通过描点连线即可画出图象； （3）根据图象变化求出，根据对称轴为求出，即可求出答案. 【小问1详解】 从表格可知，， 则，即，解得， 当时，，解得， 所以， 补充表格为： 【小问2详解】 描点连线作出函数图象如下： 【小问3详解】 将函数图象上所有的点向左平移个单位长度， 得到， 因为函数图象的一条对称轴为， 所以，解得， 因为，所以当时，取得最小值，最小值为. 17. 已知向量满足求的取值范围. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，设，，从而可得方程一定有两正数根，即可得，即可得答案. 【详解】因为 所以， 即， 显然， 设，，则有， 此方程至少有一个正数根，又因为常数项为，所以方程一定有两正数根， 所以，解得，所以， 即. 18. 已知向量. （1）若且，求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量垂直数量积为0，以及特殊角三角函数值求解即可. （2）利用向量模的坐标公式，辅助角公式、两角和的余弦公式以及特殊角的三角函数值求解即可. 【小问1详解】 因为向量，且， 所以，即，又， 所以，所以. 【小问2详解】 因为，所以， 又，， 且，所以，即， 化简得：，所以，即， 所以 . 19. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式，写出的单调递增区间； （2）将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象. ①当时，关于 的方程恰有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是__________，的值为__________； ②已知 的三个顶点均在函数的图象上，且，点 在线段 上运动，则的取值范围是__________. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由三角函数图象的最大值与最小值，求出，得到最小正周期，求出，再代入特殊点的坐标，求出，得到函数解析式； （2）①先根据平移变换和伸缩变换得到，换元后利用整体法求出函数的单调性和端点值，得到的取值范围，再根据对称性进行求解即可；②根据平面向量数量积的运算性质，结合平面向量的线性运算性质、二次函数的最值性质进行求解即可. 【小问1详解】 由图示得：，解得：， 又，所以，所以， 所以. 又因为过点，所以，即， 所以，解得， 又，所以，所以. 【小问2详解】 ①图象上所有的点向右平移个单位长度，得到， 将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到， 当时，， 令，则， 令，在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增， 且， , 所以时，当时，方程恰有三个不相等的实数根. 因为有三个不同的实数根， 且关于对称，关于对称， 则， 两式相加得：， 即，所以. ②设， 因为， 所以， 因为，所以， 于是有， 所以， 即， 所以的取值范围是. 20. 已知数列，从 中选取第项、第项、…、第项构成数列， 称为 的项子列．记数列 的所有项的和为．当时，若 满足：对任意，，则称 具有性质．规定： 的任意一项都是 的项子列，且具有性质． （1）当时，比较 的具有性质的子列个数与不具有性质的子列个数的大小，并说明理由； （2）已知数列． （ⅰ）给定正整数，对 的项子列 ，求所有的算术平均值； （ⅱ）若 有 个不同的具有性质的子列，满足：，与都有公共项，且公共项构成 的具有性质的子列，求 的最大值． 【答案】（1） 的具有性质的子列个数大于不具有性质的子列个数；理由如下： 当时， 共有个子列， 其中具有性质的子列有个， 故不具有性质的子列有个， 所以 的具有性质的子列个数大于不具有性质的子列个数． （2）（ⅰ）； （ⅱ）为奇数时， 的最大值为；为偶数时， 的最大值为． 【解析】 【分析】（1）根据定义得出时， 共有个子列，结合性质的内容即可判断； （2）（ⅰ）根据是 的项子列，也是 的项子列，可得，又 有个项子列，即可求出结果； （ⅱ）设的首项为，末项为，记，则可得对任意，都有，故共有种不同的情况，又，所以分为奇数或者偶数两种情况进行分析即可. 【小问1详解】 的具有性质的子列个数大于不具有性质的子列个数，理由略 【小问2详解】 （ⅰ）若是 的项子列， 则也是 的项子列． 所以． 因为给定正整数， 有个项子列， 所以所有的算术平均值为． （ⅱ）设的首项为，末项为，记． 若存在，使，则与没有公共项，与已知矛盾． 所以，对任意，都有． 因为对于，，， 所以共有种不同的情况． 因为互不相同， 所以对于不同的子列，与中至多一个等式成立． 所以． 当是奇数时，取，， 共有个满足条件的子列． 当是偶数时，取，， 共有个满足条件的子列． 综上，为奇数时， 的最大值为；为偶数时， 的最大值为． 【点睛】方法点睛：（1）阅读理解能力考查；（2）分类讨论思想；（3）数列和集合概念的理解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $