清华大学附属中学上地学校2025-2026学年高一第二学期期中试卷数学

高一第二学期期中试卷 数学 （清华附中上地学校高25级） 2026.4 第一部分（选择题共40分） 一､选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数区间上的平均变化率为（ ） A. 2 B. 4 C. c D. 2c 3. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. 4 D. 5 4. 下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 6. 已知△ABC两内角A，B的对边边长分别为a，b，则“A＝B”是“acos A＝bcos B”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知函数的图象关于点对称，且在上单调，则的取值集合为（ ） A. B. C. D. 8. 记的内角，，的对边分别为，，，，，，则的面积为（ ） A. 1 B. C. D. 9. 已知函数在定义域上单调递减，且函数的图象关于点对称，不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 10. 在直角梯形中，,,,,分别为 的中点，点在以为圆心，为半径的圆弧上运动（如图所示）．若，其中，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题共110分） 二､填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，点（）在角终边上，且，则的值可以是______.（写一个即可） 12. 平面向量，满足：，，，则与的夹角的余弦值是__________. 13. 已知函数，则______． 14. 设函数 （1）如果，那么实数 ___； （2）如果函数有且仅有两个零点，那么实数 的取值范围是___. 15. 已知函数存在两个极值点，给出下列四个结论： ①函数有零点； ②a的取值范围是； ③； ④． 其中所有正确结论的序号是___________． 三､解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知函数． （1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）求函数在区间上的最大值和最小值，并求相应的的值． 17. 已知函数． （1）若，求函数在上的最值； （2）求函数的单调区间． 18. 为响应国家提出的“大众创业万众创新”的号召，小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业，生产某小型电子产品.经过市场调研，生产该小型电子产品需投入年固定成本2万元，每生产万件，需另投入流动成本万元.已知在年产量不足4万件时，，在年产量不小于4万件时，.每件产品售价6元.通过市场分析，小王生产的产品当年能全部售完. （1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式.（年利润=年销售收入-年固定成本-流动成本.） （2）年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？ 19. 在中，. （1）求； （2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得满足条件的有两个，求这两个三角形的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 20. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求证：当时，； （3）设实数使得对恒成立，求的取值范围． 21. 给定正整数，设集合．对于集合中的任意元素和，记．设，且集合，对于中任意元素，若则称具有性质． （1）判断集合是否具有性质？说明理由； （2）判断是否存在具有性质的集合，并加以证明； （3）若集合具有性质，证明：． 高一第二学期期中试卷 数学 （清华附中上地学校高25级） 2026.4 第一部分（选择题共40分） 一､选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】B 【9题答案】 【答案】B 【10题答案】 【答案】B 第二部分（非选择题共110分） 二､填空题共5小题，每小题5分，共25分． 【11题答案】 【答案】（，，均可） 【12题答案】 【答案】## 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】或4； 【15题答案】 【答案】①④ 三､解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 【16题答案】 【答案】（1）最小正周期，单调递减区间为 （2）函数最小值为，此时；函数最大值为，此时 【17题答案】 【答案】（1） 最小值，最大值. （2）时，在上单调递减； 时，单调递减区间，单调递增区间； 时，单调递增区间，单调递减区间. 【18题答案】 【答案】（1）； （2）当年产量为8万件时，所获年利润最大，为9万元. 【19题答案】 【答案】（1）； （2）满足条件①的三角形有且只有1个；满足条件②或③的三角形有两个，这两个三角形的面积分别为和. 【20题答案】 【答案】（1） （2）证明：令， 则， 由，故，故在上单调递减， 所以， 即当时，； （3） 【21题答案】 【答案】（1）具有，理由如下： 因为，同理． 又，同理． 所以集合具有性质． （2）不存在，证明如下： 当时，集合中的元素个数为．由题设． 假设集合具有性质，则 ①当时，，矛盾． ②当时，，不具有性质，矛盾． ③当时，． 因为和至多一个在中；和至多一个在中； 和至多一个在中，故集合中的元素个数小于，矛盾． ④当时，，不具有性质，矛盾． ⑤当时，，矛盾． 综上，不存在具有性质的集合． （3） 记，则． 若，则，矛盾．若，则，矛盾．故． 假设存在使得，不妨设，即． 当时，有或成立． 所以中分量为的个数至多有． 当时，不妨设． 因为，所以的各分量有个，不妨设． 由时，可知，，中至多有个， 即的前个分量中，至多含有个． 又，则的前个分量中，含有 个，矛盾． 所以． 因为， 所以． 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $