精品解析：山西怀仁大地高中学校等部分学校2025-2026学年高一下学期4月期中数学试题

山西怀仁大地高中学校等部分学校2025-2026学年高一下学期4月期中数学试题 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】. 2. 已知向量，则与同方向的单位向量的坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，得， 则与同方向的单位向量为. 3. 已知平面和两条不同的直线、，则下列说法正确的是（ ） A. 若上有无数个点不在内，则 B. 若，则与内的任意一条直线都没有公共点 C. 若，则平行于内的任意一条直线 D. 若，且，则 【答案】B 【解析】 【详解】对于A选项，若上有无数个点不在内，则或与相交，A错； 对于B选项，若，则直线与平面没有公共点， 因为平面内的任意一条直线上的所有点都在平面内， 所以与内的任意一条直线一定没有公共点，B对； 对于C选项，若，则与内的任意一条直线平行或异面，C错； 对于D选项，若，且，则或，D错. 4. 设复数，则“”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】当时，，. “”是“”的充分条件. ，即，整理得， ，不能推导出. “”是“”的不必要条件. 综上，“”是“”的充分不必要条件. 5. 已知的三个顶点分别为，，，则是（ ）． A. 的直角三角形 B. 的直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 【答案】B 【解析】 【详解】，，，，，； ，， ； ，即； 是的直角三角形. 6. 在中，，，交于点，设，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算以及平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，解之即可. 【详解】如下图所示： 因为，，即， 故，所以， 又因为，即， 故， 因为、不共线，所以，解得. 7. 若直三棱柱的所有顶点均在半径为的球O的球面上，且，，则（ ）． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】先求出的外接圆半径，然后在中，利用勾股定理求出，最后求出. 【详解】如图所示，作出的外接圆圆心，连接. 中，，由正弦定理可得，. 又，. . 8. 在中，，，且的面积为，则（ ）． A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】延长到，使得，可得，由可得，进而求得，，在中，由余弦定理求得答案. 【详解】如图，延长到，使得， 由，可得，即，所以， 因为，所以，即，得， 由勾股定理可得，则， 在中，，则， 在中，由余弦定理得， 所以. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，若，则与的夹角为或 . 因为 ，所以，故A正确； 对于B，当时，不一定成立，故B错误； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，根据向量加法的三角形法则，可知成立，故D正确． 10. 下列关于复数，的说法正确的是（ ）． A. 若，则为实数或纯虚数 B. 若，则 C. 若，则 D. 【答案】AD 【解析】 【详解】设，（）， 选项A：计算得，若，则虚部，即或； 若，则；若，则，当时为纯虚数， 当时，故为实数或纯虚数，正确； 选项B：举反例：，，，但，错误； 选项C：举反例：，，，但，错误； 选项D： . ， 的共轭分别为，，两者相乘得： ，正确. 11. 在四棱锥中，底面，且，底面是边长为2的菱形，设，则下列说法正确的是（ ）． A. 当增大时，四棱锥的体积逐渐增大 B. 若，则三棱锥的体积为 C. 若四棱锥有外接球，则其外接球的表面积为 D. 若，则三棱锥的内切球半径为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，表示出四棱锥的体积，结合正弦函数的性质判断；对B，由结合选项A求解判断；对C，由题可得，将该四棱锥补形成长方体，则四棱锥的外接球即长方体的外接球，运算得解；对D，由分割体积，运算得解. 【详解】对于A，由题可知，， 当增大时，的值先增大后减小，所以四棱锥的体积先增大后减小，故A错误； 对于B，当时，，故B正确； 对于C，若四棱锥有外接球，即菱形有外接圆，则， 将该四棱锥补形成长方体，则四棱锥的外接球即长方体的外接球， 可得其外接球的半径，所以其外接球的表面积为，故C正确； 对于D，若，设三棱锥的内切球半径为， 则， 所以， 解得，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 用斜二测画法画出的水平放置的边长为2的正方形的直观图的面积为______． 【答案】 【解析】 【详解】画出正方形的直观图如下图所示： 由斜二测画法可知该正方形的直观图是平行四边形， 其中，作，垂足为点 又因为，所以, 所以平行四边形的面积为. 13. 已知某圆锥的底面半径为1，体积为，则该圆锥的侧面展开图对应扇形的圆心角的弧度数为______． 【答案】 【解析】 【详解】设该圆锥的高为，母线为, 依题意可得，解得， 所以圆锥的母线长为， 因此可得该圆锥的侧面展开图对应扇形的弧长为，半径为； 设对应圆心角的弧度数为，则，因此. 14. 如图，等边三角形是由三个全等的三角形（，，）与中间一个小等边三角形拼成的，且的面积是的面积的倍，设，则______． 【答案】 【解析】 【分析】可先通过面积倍数关系推导各线段长度比例，再借助坐标法对向量进行线性分解，求解系数后计算的值. 【详解】设小等边三角形的边长为，由， 设，则. ∵，且， ∴，即. 由中间小等边三角形性质，， ∴. ∵， ∴化简得， 解得正根，即，. 在中由余弦定理得 ， 解得. 以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图： 得各点坐标：，，. 在中，由正弦定理，得； 由余弦定理得. 又， 则， ， 因此点坐标为， ∴. 则， 所以， 解得，，因此. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数在复平面内对应的点位于第四象限． （1）求实数m的取值范围； （2）已知O为坐标原点，若m为整数，且z，在复平面内对应的点分别为A，B，求向量在向量上的投影向量的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数与复平面内点的对应关系，以及第四象限点的性质，列出不等式组，求出参数范围即可； （2）根据参数范围内的整数，求出复数z，，写出点的坐标，根据投影向量的坐标公式，求出结果即可. 【小问1详解】 复数在复平面内对应的点为， 可得，解得， 所以实数m的取值范围为. 【小问2详解】 由（1）可知，当m为整数时，， 则，， 所以，可得， 则向量在向量上的投影向量为. 16. 已知，为不共线的单位向量，，． （1）若且，求，的夹角的余弦值； （2）若，的夹角为，且，求实数的值． 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）利用向量垂直的数量积为零，求出，的夹角的余弦值即可； （2）利用的模长，以及向量的夹角为列出关于的方程求解即可. 【小问1详解】 则 则 , 则 , 则 , 则 . 【小问2详解】 , , , , , , 解得： 当时，，成立， 当时， 成立， 或. 17. 某海滨景区计划建造一座观光灯塔，其主体结构由下部的圆柱和上部的圆锥组合而成（如图所示）．已知圆柱的底面半径为3m，高为5m，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆锥的母线长为5m．（取的近似值为3） （1）求该灯塔主体结构的体积； （2）已知物料费用由两部分组成：①主体结构材料费为每立方米1000元，②外部装饰涂料费为每平方米外表面积200元（不包括底面）．人工施工费为总物料费用的．若景区预算为40万元，问：该预算是否够用？ 【答案】（1） （2）景区预算够用 【解析】 【分析】（1）利用圆柱和圆锥的体积公式即可求解； （2）根据题意计算物料费和人工施工费，进而求解. 【小问1详解】 设圆柱的底面半径为，圆柱的高为，圆锥的母线长为，圆锥的高为， 则，所以， 所以圆柱的体积为， 圆锥的体积为， 所以该灯塔主体结构的体积为； 【小问2详解】 由（1）得：主体结构材料费为(元)， 又外部的表面积为， 所以外部装饰涂料费为（元）， 所以总物料费为：（元）， 所以人工施工费为（元）， 所以总的费用为：（元）， 即总的费用为：万元万元， 所以景区预算够用. 18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． （1）求A． （2）已知AD平分且交BC于点D，． （ⅰ）若，求a； （ⅱ）求周长的最小值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由，利用正弦定理得到，再利用余弦定理求解； （2）（ⅰ）由，利用正弦定理得到，再根据AD平分，由求得b，c，再利用余弦定理求解； （ⅱ）由和得到，利用“1”的代换，得到的最小值，再由余弦定理，得到的最小值. 【小问1详解】 因为，所以，即， 所以，因为，所以； 【小问2详解】 （ⅰ）因为，由正弦定理得：， 因为AD平分， 所以， 因为， 所以， 将代入上式得，解得，， 由余弦定理得，解得. （ⅱ）由， 得， 将代入上式得，即，即， 则， 当且仅当时，等号成立，则的最小值为8； 由余弦定理得， ， 令，则， 因为 ，当时，的最小值为， 则的最小值为， 所以周长的最小值为. 19. 如图，圆O的半径为2，P，Q为圆O上两点． （1）若，向量与垂直，求实数a的值； （2）若过的重心的直线与边PQ，OP分别交于点M，N，且，，且，求的最小值； （3）设（且为常数），若的最小值为，求x的值． 【答案】（1） （2） （3）2 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，进而结合平面向量的数量积运算律求解即可； （2）连接交于点，根据平面向量的线性运算可得，根据三点共线的推论可得，再结合基本不等式“1”的代换求解即可； （3）由题意可得，进而结合平面向量的数量积运算律化简可得，进而结合二次函数的性质可得，进而求解即可. 【小问1详解】 因为向量与垂直， 所以， 则， 而，，则， 即，解得. 【小问2详解】 连接交于点，由于为的重心， 则， 而，， 则， 因为三点共线，所以， 则， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为. 【小问3详解】 由于，，则， 所以 ， 函数开口向上，对称轴为， 则时，取得最小值，而的最小值为， 则，又，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西怀仁大地高中学校等部分学校2025-2026学年高一下学期4月期中数学试题 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ）． A. B. C. D. 2. 已知向量，则与同方向的单位向量的坐标为（ ）． A. B. C. D. 3. 已知平面和两条不同的直线、，则下列说法正确的是（ ） A. 若上有无数个点不在内，则 B. 若，则与内的任意一条直线都没有公共点 C. 若，则平行于内的任意一条直线 D. 若，且，则 4. 设复数，则“”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知的三个顶点分别为，，，则是（ ）． A. 的直角三角形 B. 的直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 6. 在中，，，交于点，设，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 若直三棱柱的所有顶点均在半径为的球O的球面上，且，，则（ ）． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 在中，，，且的面积为，则（ ）． A. 3 B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 10. 下列关于复数，的说法正确的是（ ）． A. 若，则为实数或纯虚数 B. 若，则 C. 若，则 D. 11. 在四棱锥中，底面，且，底面是边长为2的菱形，设，则下列说法正确的是（ ）． A. 当增大时，四棱锥的体积逐渐增大 B. 若，则三棱锥的体积为 C. 若四棱锥有外接球，则其外接球的表面积为 D. 若，则三棱锥的内切球半径为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 用斜二测画法画出的水平放置的边长为2的正方形的直观图的面积为______． 13. 已知某圆锥的底面半径为1，体积为，则该圆锥的侧面展开图对应扇形的圆心角的弧度数为______． 14. 如图，等边三角形是由三个全等的三角形（，，）与中间一个小等边三角形拼成的，且的面积是的面积的倍，设，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数在复平面内对应的点位于第四象限． （1）求实数m的取值范围； （2）已知O为坐标原点，若m为整数，且z，在复平面内对应的点分别为A，B，求向量在向量上的投影向量的坐标． 16. 已知，为不共线的单位向量，，． （1）若且，求，的夹角的余弦值； （2）若，的夹角为，且，求实数的值． 17. 某海滨景区计划建造一座观光灯塔，其主体结构由下部的圆柱和上部的圆锥组合而成（如图所示）．已知圆柱的底面半径为3m，高为5m，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆锥的母线长为5m．（取的近似值为3） （1）求该灯塔主体结构的体积； （2）已知物料费用由两部分组成：①主体结构材料费为每立方米1000元，②外部装饰涂料费为每平方米外表面积200元（不包括底面）．人工施工费为总物料费用的．若景区预算为40万元，问：该预算是否够用？ 18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． （1）求A． （2）已知AD平分且交BC于点D，． （ⅰ）若，求a； （ⅱ）求周长的最小值． 19. 如图，圆O的半径为2，P，Q为圆O上两点． （1）若，向量与垂直，求实数a的值； （2）若过的重心的直线与边PQ，OP分别交于点M，N，且，，且，求的最小值； （3）设（且为常数），若的最小值为，求x的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $