2026年高考数学临考实战仿真卷02（全国二卷）

**基本信息** 聚焦高考核心模块，以新型环保材料降解、斯诺克比赛等真实情境为载体，通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，凸显数学眼光、思维与语言的综合素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合、复数、充要条件、双曲线等|第7题指数衰减模型关联环保科技，第8题双曲线与圆相切考查逻辑推理| |填空题|3题/15分|条件概率、不等式最值、函数零点|第12题电池检测概率问题体现数据观念| |解答题|5题/77分|解三角形、立体几何、函数零点、椭圆、概率统计|第19题斯诺克比赛情境构建概率模型，考查数学建模与应用能力|

2026年高考临考实战仿真卷 高三数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先通过解一元二次不等式，求出集合的取值范围，再根据集合中的元素，筛选出同时满足集合条件的元素，得到两个集合的交集即可. 【详解】由，解得 或 ， 所以或， 又因为， 所以. 2．已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的除法及共轭复数求解即可. 【详解】由， 得， 所以． 3．对于实数、，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】当，时，满足，但，所以”推不出“，充分性不成立， 因为，所以，又因为，所以，即 “能推出“”，必要性成立， 综上“”是“”的必要不充分条件. 4．已知直线：与直线：平行，则实数的值为（   ） A．-1 B．0 C．3 D．-1或3 【答案】A 【详解】当时，直线：与直线：，显然直线与不平行； 当时，因为直线：与直线：平行， 所以，解得，检验符合. 5．若的展开式中的系数为40，则正整数（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据二项展开式通项公式，结合已知条件逐项判断即可. 【详解】通项公式为， 由，得.  又，所以r是偶数． 当时，，不是整数，舍去； 当时，，系数为，符合条件； 当时，，不是整数，舍去； 当时，，不是整数，舍去. 6．设数列的前n项和为，且对任意正整数n，点都在直线上，则的值是（   ） A． B．16 C． D．32 【答案】C 【详解】解法1：因为点都在直线上， 所以①， 当时，②， ①-②得，，即，又， 所以． 解法2：因为点都在直线上， 所以①， 当时，②， ①-②得，，即， 当时，，即， 所以是一个首项和公比都为的等比数列． 所以． 7．某科研团队研发了一款新型环保材料，其降解过程遵循指数衰减模型，实验测得，该材料在自然环境下的质量（单位：克）与时间t（单位：天）满足关系式，其中为初始质量，为一个大于1的常数，已知该材料在第10天时，其质量的常用对数值（以10为底）比初始质量的常用对数值小0.15，若要将材料质量降解至初始质量的，至少需要经过（   ）天 A．198天 B．199天 C．200天 D．201天 【答案】C 【分析】根据题意，先求出，再根据，解出即可． 【详解】解：， ， 解得，则， ， ，解得． 8．已知双曲线的左、右焦点分别为、，点是双曲线右支上一点，且轴，若直线与以为圆心，为半径的圆相切，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知得出，再轴，代入计算得出，最后应用定义得出齐次式计算离心率. 【详解】因为直线与以为圆心，为半径的圆相切，所以圆的半径， 又，所以，所以， 因为轴，所以当时，有，解得，所以， 因为，所以， 所以，整理得， 因为，所以，解得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知平面向量，若，则（   ） A． B．向量与平行 C．向量与的夹角的余弦值为 D．当时， 【答案】ACD 【详解】由得，所以A正确； 因为， 又，所以与不平行，故B错误； ，故C正确； 由，得， 所以，所以，故D正确． 10．已知函数，若的解集为或，则（   ） A． B．在上单调递增 C．的图象的对称中心的纵坐标为 D．不等式的解为 【答案】ABD 【分析】先由的解集可得是函数的极值点也是函数的零点，进而可得值及函数解析式，再根据函数的解析式判断函数的单调性及对称中心，以及解不等式可得. 【详解】因为的解集为或，所以为的极值点也是的零点，如图: 由题意得，则，解得，故A正确. 又因为为的零点,所以，解得， 故，则， 当时，，故在上单调递增，故B正确. 假设的图象的对称中心为，则对， ，则， 即，所以,解得， 而， 所以的图象的对称中心的纵坐标为，故C错误. 又因为，得，， 所以，得，故D正确. 11．在棱长为1的正方体中，为棱AD的中点，则（   ） A． B．点到平面的距离为 C．直线与平面所成角的正弦值为 D．动点在正方体内部或表面上，且平面，则动点的轨迹所形成区域的面积是 【答案】ABD 【分析】ABC选项，建立空间直角坐标系，利用点到平面的距离公式，线面角的夹角正弦公式进行求解；D选项，先证明面面平行，进而得到线面平行，从而得到动点的轨迹，求出区域面积 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 则， 故， 则，，A正确； B选项，，，， 设平面的法向量为， 则， 令得，故， 点到平面的距离为，B正确； C选项，由B知，平面的法向量为， 设直线与平面所成角的夹角为， 则， 直线与平面所成角的正弦值为，C错误； D选项，分别取的中点，连接，， 则， 因为，，所以四边形为平行四边形，故， 所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证平面， 又，平面，所以平面平面， 当动点平面时，平面， 则动点的轨迹所形成区域为及其内部， 为等边三角形，边长为，故面积是，D正确.    第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某新能源汽车公司的电池由甲、乙两个厂家独立供货，汽车装配电池前，公司要对两个厂家所供电池进行严格检测，从甲厂家供货的件电池中检测出不达标的有件，从乙厂家供货的件电池中检测出不达标的有件．现从两个厂家等可能随机挑选一家，从所供货的电池中随机选择一件，检测结果不达标，则该件电池来自乙厂家的概率为________． 【答案】 【分析】利用全概率公式和贝叶斯公式求解即可. 【详解】记事件“任取一件电池检测不达标”，“电池是从甲厂取出的”，“电池是从乙厂取出的”． 依题意可知，，，， 由全概率公式，得， 则． 13．已知正数x，y满足，则的最小值为______. 【答案】 【分析】根据题意得，再结合基本不等式“1”的用法求解即可. 【详解】因为正数x，y满足，所以，即， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 14．已知函数，，若在区间内恰有个零点，则实数a的值为______________. 【答案】1 【分析】分析得到需满足在每个区间内只有1个零点，进而只需研究与的解个数问题，对进行分类讨论，得到答案 【详解】 ， 所以的一个周期为， 当时， ， 由于在上恒成立， 故在上的零点个数，即为的解的个数， ，显然无解，舍去， ， 由，得，所以， 在上单调递减， 当时， ， 因为在上恒成立， 故在上的零点个数，即为的解的个数， ，显然无解，舍去， ， 由，得，所以， 且在上单调递减， 在区间内恰有个零点， 需满足在每个区间内只有1个零点， 若，则，满足 即有且只有1个解， ，满足 即有且只有1个解， 综上，函数在每个区间内各有2个零点，舍去； 若，则，满足， 即有且只有1个解， ，满足 即有且只有1个解， 综上，函数在每个区间内各有2个零点，舍去； 若且，其中，则， 不满足，无解， 同理，不满足， 无解， 综上，函数在各个区间内各有0个零点，舍去； 若，则，满足， 即有且只有1个解， ，不满足，无解， 故函数在各个区间内各有1个零点， 在区间内恰有2026个零点，满足要求； 若，则，不满足， 即无解， ，满足，有且只有1个解， 故函数在内各有1个零点， 但在内无零点， 故在区间内恰有2025个零点，不合要求； 综上， 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，． (1)求； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，结合三角恒等变换得，进而求得答案； （2）根据正弦定理得，，再结合三角恒等变换得，最后结合求解值域即可得答案. 【详解】（1）在中，， 又，所以， 又，所以， 由，得． （2）由正弦定理有， 所以，， ， 由，有，可得， 所以，即的取值范围为． 16．各棱长均相等的正三棱柱中，为中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用二面角的向量求法求解即可. 【详解】（1）证明：连接，交于点，连接． 因为正三棱柱各棱长均相等，所以侧面为正方形，所以为中点， 又为中点，所以. 又平面，平面， 所以平面. （2）因为为正三角形，为中点，所以. 以为原点，，分别为轴，轴建立如图所示空间直角坐标系， 设正三棱柱各棱长为2， 则，，，， 所以，，. 设平面的法向量为， 所以，即，令，则，，所以. 设平面的法向量为， 所以，即，令，则，，所以. 设平面与平面夹角为， 则. 故平面与平面夹角的余弦值． 17．已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2) 【分析】（1）利用导数分析函数的单调性即可； （2）令，分离参数，构造函数，将问题转化为与函数有两个交点；利用导数分析函数的单调性及取值情况，可得的取值范围，从而得到实数的取值范围. 【详解】（1）的定义域为. 时，，， 令，易知在上单调递减，且， 所以当时，；当时，. 所以时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）由有两个零点得，方程在上有两个根， 所以，所以在上有两个根. 设，，则， 当时，；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减， 且的极大值为， 又，当时，，且时，. 所以要使方程在上有两个根， 则直线与的图象有两个交点， 所以，故实数的取值范围为. 18．已知椭圆：的离心率为，点在上． (1)求的方程； (2)若斜率为的直线交于，两点，点不在直线上． （ⅰ）求弦长的取值范围； （ⅱ）设直线，直线与直线分别交于点，，试问的中点是否是定点？若是，请求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）是定点 【分析】（1）根据离心率及椭圆上的点代入求解即可. （2）（ⅰ）设出直线方程，与椭圆方程联立，结合即已知条件求出的范围，设出，坐标，利用两点间距离公式即韦达定理得到，进一步求范围即可. （ⅱ）直线方程与联立，求出点坐标，直线方程与联立，求出点坐标，结合韦达定理化简求解即可. 【详解】（1）设的半焦距为，离心率，，所以，． 又点在上，所以，所以， 所以，，的方程是． （2）（ⅰ）设斜率为的直线的方程是． 由不在上，知，所以， 联立，消去化简得． 则判别式，解得，所以． 设点，，则由韦达定理得，． 所以由弦长公式，得 ． 因为，所以，所以， 所以，所以． 所以弦长的取值范围是． （ⅱ）由（ⅰ），， 直线的方程为，直线的方程与联立，解得． 直线的方程为，直线的方程与联立，解得， 所以的中点的坐标为， 因为直线的方程为，，，，， 所以 ， 所以的中点是定点． 19．斯诺克是一项流行的台球运动．其大致规则为：两人比赛，其中一人上场击球，按一颗红球，一颗彩球的顺序循环击打．台面上共有15颗红球，6颗彩球，其分值如下表．若一人击球未进，则该人下场换对方上场击球．规定每次上场的第一颗球只能击打红球．今甲和乙进行练习赛． 红球 黄球 绿球 咖啡球 蓝球 粉球 黑球 分值 1 2 3 4 5 6 7 (1)若甲进球概率为，乙进球概率为．甲先击球，且二人击打彩球时只击打黑球，设为双方从开始至击打完成三杆球后甲的得分，求的分布列和数学期望． (2)丙加入了比赛．但由于球桌有限，当三人中两人比赛时，另一人在场下坐冷板凳．当对局结束，获胜者留在场上，失败者下场，并由坐冷板凳者上场．甲乙丙三人实力相当，故彼此对局时获胜概率均等．若第一场比赛由乙对战丙，设第场比赛时甲坐冷板凳的概率为． （ⅰ）求； （ⅱ）从比赛公平性的角度，简要说明当充分大时，的实际含义． 【答案】(1) 甲得分 0 1 8 9 概率 数学期望为 (2)（ⅰ）；（ⅱ）答案见解析 【分析】（1）根据题意理解比赛规则，分析甲可能得分的情况及对应的概率，列出得分分布列，并求出期望； （２）（i）根据题意列出递推关系式并确定，再利用递推关系构造等比数列求出；（ii）根据表达式分析充分大时的实际含义． 【详解】（1）由题意可知，甲先击球，双方累计3次，规则如下： 首次上场必须先打红球，若打进后打黑球，若未进球换对方上场，必须击打红球； 甲进球概率为，乙进球概率为． 分析可知，甲的可能得分为， 即当时，可能情况为：①甲未进，乙未进，甲未进，②甲未进，乙进球，乙进球，③甲未进，乙进球，乙未进． 概率为：． 当时，可能情况为：①甲进球，甲未进，乙未进，②甲未进，乙未进，甲进球，③甲进球，甲未进，乙进球． 概率为：． 当时，可能情况为：甲进球，甲进球，甲未进． 概率为：． 当时，可能情况为：甲进球，甲进球，甲进球． 概率为：． ∴甲的得分情况的分布列为： 甲得分 0 1 8 9 概率 数学期望为：． （2）（ⅰ）已知3人实力相当，则获胜概率均为， ∵第一场比赛乙对战丙，甲坐冷板凳，， 分析状态转移规律：从任何状态，下一场比赛坐冷板凳者变为当前比赛失败者，概率各， 则递推关系为：， 对展开并移项得：， 假设存在常数使得构成等比数列，即， 则，所以，解得， 令，则， 是首项为，公比为的等比数列，则， ， ，即． （ⅱ）当时，，故，这表明在长期比赛中，甲、乙、丙三人坐冷板凳的概率趋于， 体现了比赛的公平性，由于3人实力相等且转移概率对称，系统稳定时每人坐冷板凳机会均等． 2 / 20 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考临考实战仿真卷 高三数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 3．对于实数、，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知直线：与直线：平行，则实数的值为（   ） A．-1 B．0 C．3 D．-1或3 5．若的展开式中的系数为40，则正整数（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．设数列的前n项和为，且对任意正整数n，点都在直线上，则的值是（   ） A． B．16 C． D．32 7．某科研团队研发了一款新型环保材料，其降解过程遵循指数衰减模型，实验测得，该材料在自然环境下的质量（单位：克）与时间t（单位：天）满足关系式，其中为初始质量，为一个大于1的常数，已知该材料在第10天时，其质量的常用对数值（以10为底）比初始质量的常用对数值小0.15，若要将材料质量降解至初始质量的，至少需要经过（   ）天 A．198天 B．199天 C．200天 D．201天 8．已知双曲线的左、右焦点分别为、，点是双曲线右支上一点，且轴，若直线与以为圆心，为半径的圆相切，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知平面向量，若，则（   ） A． B．向量与平行 C．向量与的夹角的余弦值为 D．当时， 10．已知函数，若的解集为或，则（   ） A． B．在上单调递增 C．的图象的对称中心的纵坐标为 D．不等式的解为 11．在棱长为1的正方体中，为棱AD的中点，则（   ） A． B．点到平面的距离为 C．直线与平面所成角的正弦值为 D．动点在正方体内部或表面上，且平面，则动点的轨迹所形成区域的面积是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某新能源汽车公司的电池由甲、乙两个厂家独立供货，汽车装配电池前，公司要对两个厂家所供电池进行严格检测，从甲厂家供货的件电池中检测出不达标的有件，从乙厂家供货的件电池中检测出不达标的有件．现从两个厂家等可能随机挑选一家，从所供货的电池中随机选择一件，检测结果不达标，则该件电池来自乙厂家的概率为________． 13．已知正数x，y满足，则的最小值为______. 14．已知函数，，若在区间内恰有个零点，则实数a的值为______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，． (1)求； (2)求的取值范围． 16．各棱长均相等的正三棱柱中，为中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 17．已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若有两个零点，求实数的取值范围. 18．已知椭圆：的离心率为，点在上． (1)求的方程； (2)若斜率为的直线交于，两点，点不在直线上． （ⅰ）求弦长的取值范围； （ⅱ）设直线，直线与直线分别交于点，，试问的中点是否是定点？若是，请求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由． 19．斯诺克是一项流行的台球运动．其大致规则为：两人比赛，其中一人上场击球，按一颗红球，一颗彩球的顺序循环击打．台面上共有15颗红球，6颗彩球，其分值如下表．若一人击球未进，则该人下场换对方上场击球．规定每次上场的第一颗球只能击打红球．今甲和乙进行练习赛． 红球 黄球 绿球 咖啡球 蓝球 粉球 黑球 分值 1 2 3 4 5 6 7 (1)若甲进球概率为，乙进球概率为．甲先击球，且二人击打彩球时只击打黑球，设为双方从开始至击打完成三杆球后甲的得分，求的分布列和数学期望． (2)丙加入了比赛．但由于球桌有限，当三人中两人比赛时，另一人在场下坐冷板凳．当对局结束，获胜者留在场上，失败者下场，并由坐冷板凳者上场．甲乙丙三人实力相当，故彼此对局时获胜概率均等．若第一场比赛由乙对战丙，设第场比赛时甲坐冷板凳的概率为． （ⅰ）求； （ⅱ）从比赛公平性的角度，简要说明当充分大时，的实际含义． 2 / 20 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $