精品解析：吉林省名校调研系列卷2025-2026学年八年级数学下学期期中试题

八年下期中检测数学 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列函数中，y是x的正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 若有意义，那么x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 若反比例函数的图象在第二、第四象限内，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 任意实数 4. 在平面直角坐标系中，如果点在y轴上，则点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，为平面直角坐标系内一点，M是x轴上一点，直线的函数表达式为，当y的值随着x值的增大而增大时，点M的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 6. 若分式 中，x、y都扩大为原来的3倍，则该分式的值（ ） A. 扩大到原来的3倍 B. 缩小到原来的 C. 扩大到原来的9倍 D. 不变 7. 如图，均匀地向一个鱼缸内注水直至注满，鱼缸中水面的高度是注水时间的函数．下列函数图象中，能反映随变化规律的是（ ） A. B. C. D. 8. 双曲线和在第二象限内的图象如图所示，过上任意一点A作y轴的平行线交于点B．若，则（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. “冰冻三尺，非一日之寒．”这句谚语体现了冰的厚度随时间的变化而变化．在这个变化过程中，自变量为___________．（填“冰的厚度”或“时间”） 10. 通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．将数据“0.000074”用科学记数法表示为________． 11. 若点 在反比例函数 的图象上，则与的大小关系是 ___________ (填“>”“<”或“=”) 12. 在平面直角坐标系中，点A在第二象限，且到x轴，y轴的距离分别为3，4，则点A的坐标为______． 13. 定义一种新运算*，规定运算法则为，则计算的结果是_______． 14. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小颖根据图象得到如下结论：①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而减小；②方程的解为；③；④．其中正确结论的序号是______． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 解方程：． 16. 已知反比例函数的图象经过点． （1）求a的值． （2）当时，求y的取值范围． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 已知与x成正比例，且当时，． （1）求y关于x的函数表达式； （2）判断点是否在函数的图像上，并说明理由． 19. 昆一中西山学校“让体育成为最好的答案”的教育案例入选2025全国“以体树人”教育案例、学校依托体育特色，开展校园足球耐力跑训练，每个队员需完成一段1500米的跑圈训练，已知甲队员的平均速度是乙队员的倍，甲跑完这段路程比乙少用1分钟，那么甲、乙的平均速度分别是多少米/分钟？ 20. 某生物兴趣小组在实验室用一个装有培养液的锥形瓶培养一种单细胞藻类．培养过程中发现，在一定范围内，平均每亿个细胞占有的培养液体积（单位：升）是瓶内藻类细胞总数量（单位：亿个）的反比例函数．兴趣小组成员根据收集的实验数据绘制出如下图象． （1）求与之间的关系式； （2）当瓶内藻类细胞总数量不少于亿个时，平均每亿个细胞占有的培养液体积最多是多少升？ 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线l经过点A(0，2)、B(﹣3，0)． （1）求直线l所对应的函数表达式． （2）若点M(3，m)在直线l上，求m的值． （3）若过点B，交y轴于点C，求ABC的面积． 22. 甲、乙两车从A地开往B地，甲车比乙车早出发2小时，并且在途中休息了小时，休息前后速度相同，如图是甲、乙两车行驶的距离与甲车行驶时间的函数图象．解答下列问题： （1）图中的值为_____； （2）当时，求甲车行驶距离与时间的函数关系式； （3）当时，直接写出当甲车行驶多长时间后两车恰好相距． 23. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接，，延长交反比例函数图象于点． （1）求一次函数的表达式与反比例函数的表达式； （2）当时，直接写出自变量的取值范围为 ； （3）点是轴上一点，当时，求出点的坐标． 24. 已知直线与轴、轴分别交于点、，点是线段上的动点，点是轴上的动点，作直线． （1）求A，B两点的坐标； （2）如图①，连结，若是以为斜边的等腰直角三角形，求直线的函数关系式； （3）如图②，作轴于点，以为边向右作正方形，边交直线于点．若，直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年下期中检测数学 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列函数中，y是x的正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的定义，，正比例函数的定义为形如（为常数且）的函数，据此求解即可． 【详解】选项A：，x位于分母，不是正比例函数，不符合定义． 选项B：，x的次数为2，不是正比例函数，不符合定义． 选项C：，含常数项，属于一次函数但非正比例函数． 选项D：，可化简为，符合的形式，k为，是正比例函数． 故选：D． 2. 若有意义，那么x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据零指数幂的底数不能为，求解即可. 【详解】解：∵有意义， ∴ ，解得 3. 若反比例函数的图象在第二、第四象限内，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 任意实数 【答案】B 【解析】 【分析】当反比例函数图象分布在第二、第四象限时，其比例系数小于0，据此列出不等式求解即可得到k的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、第四象限内， ∴，解得． 4. 在平面直角坐标系中，如果点在y轴上，则点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，根据y轴上点的坐标特征，横坐标为0，求出参数a的值，再代入纵坐标计算即可． 【详解】解：∵点在y轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标是， 故选：B． 5. 如图，为平面直角坐标系内一点，M是x轴上一点，直线的函数表达式为，当y的值随着x值的增大而增大时，点M的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据函数表达式为，当y的值随着x值的增大而增大，得出直线一定经过第一、三象限，根据，M是轴上一点，得出点M一定在x轴负半轴上，从而得出答案． 【详解】∵直线的函数表达式为，当y的值随着x值的增大而增大， ∴该函数图象一定经过一、三象限，即直线一定经过一、三象限， ∵，M是x轴上一点， ∴M一定在x轴负半轴上， 故选：A 6. 若分式 中，x、y都扩大为原来的3倍，则该分式的值（ ） A. 扩大到原来的3倍 B. 缩小到原来的 C. 扩大到原来的9倍 D. 不变 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把分式中的x、y分别用替换，求出替换后的结果即可得到答案． 【详解】解：把分式中的x、y分别用替换后得到的分式为， ∴分式 中，x、y都扩大为原来的3倍，则该分式的值扩大到原来的3倍， 故选：A． 7. 如图，均匀地向一个鱼缸内注水直至注满，鱼缸中水面的高度是注水时间的函数．下列函数图象中，能反映随变化规律的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：鱼缸的横截面面积从底面到缸口，先变大再变小，故注水时水面升高的速度先变慢，再变快， 其中A选项，速度为匀速，且有一段不升高，不合题意； B选项，速度为匀速，不合题意； C选项，速度变化为先变快，再变慢，不合题意； D选项，速度变化为先变慢再变快，符合题意 ． 8. 双曲线和在第二象限内的图象如图所示，过上任意一点A作y轴的平行线交于点B．若，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的综合，设，则点到的距离为，点的横坐标为，则纵坐标为，可求出，由，即可求解． 【详解】解：设，则点到的距离为， ∵轴， ∴点的横坐标为， ∴点的纵坐标为， ∴， ∴， 解得， 故选：C ． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. “冰冻三尺，非一日之寒．”这句谚语体现了冰的厚度随时间的变化而变化．在这个变化过程中，自变量为___________．（填“冰的厚度”或“时间”） 【答案】时间 【解析】 【分析】根据函数的定义，在冰的厚度随时间变化的过程中，时间是独立变化的量，因此是自变量． 本题主要考查自变量的概念：在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说y是x的函数，其中x叫做自变量，y叫做因变量。熟记函数的概念是解题的关键． 【详解】在冰的厚度随时间变化的过程中，时间不断变化，冰的厚度随之变化，所以自变量是时间． 故答案为：时间． 10. 通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．将数据“0.000074”用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故答案为：． 11. 若点 在反比例函数 的图象上，则与的大小关系是 ___________ (填“>”“<”或“=”) 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数值的大小比较．将点A和点B的横坐标代入反比例函数解析式，分别求出和的值，再比较大小，即可作答． 【详解】解：∵点 在反比例函数 的图象上， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，点A在第二象限，且到x轴，y轴的距离分别为3，4，则点A的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据点到坐标轴的距离等于横纵坐标的绝对值，结合第二象限的点的符号特征进行求解即可. 【详解】解：由题意，点的横坐标为负，纵坐标为正， ∵点到x轴，y轴的距离分别为3，4， ∴. 13. 定义一种新运算*，规定运算法则为，则计算的结果是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据已知条件中的新定义，求出，，再代入，进行约分即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ． 14. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小颖根据图象得到如下结论：①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而减小；②方程的解为；③；④．其中正确结论的序号是______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，掌握一次函数图象的增减性，两直线的交点坐标的意义是解题的关键． 根据图示得到，，两直线交点坐标为，根据一次函数图象的性质即可求解． 【详解】解：根据图示，一次函数的图象经过第一、二、三象限， ∴， ∴一次函数的图象中，的值随着值的增大而减小，故①正确； ∵两直线交点坐标为， ∴方程的解为，故②正确； 一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴， ∴，故③错误，④正确； 综上所述，正确的有①②④． 故答案为：①②④． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】根据解分式方程的步骤进行求解即可． 【详解】解：方程两边同时乘以，得， 解得：， 检验，当时，， ∴分式方程的解为． 16. 已知反比例函数的图象经过点． （1）求a的值． （2）当时，求y的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代入解析式，计算即可． （2）计算对应的函数值，根据函数的增减性，确定函数值的范围即可． 本题考查了图象过点，反比例函数的增减性，熟练掌握性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象经过点， 把点代入， 得， 解得． 【小问2详解】 解：当时，； 当时，． ∴在时，随的增大而减小， 当时， ． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式的运算化简，再将代入求解即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 已知与x成正比例，且当时，． （1）求y关于x的函数表达式； （2）判断点是否在函数的图像上，并说明理由． 【答案】（1） （2）不在函数图像上，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了正比例的性质，求一次函数解析式，求函数值． （1）根据正比例关系设出函数表达式，利用给定点求比例系数，得到函数解析式； （2）将代入（1）中的解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：∵与成正比例， ∴设（为比例常数）， 将，，代入得，即， 解得， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：点不在函数图像上． 理由：由（1）知函数表达式为， 当时，， ∵， ∴点不在函数图像上． 19. 昆一中西山学校“让体育成为最好的答案”的教育案例入选2025全国“以体树人”教育案例、学校依托体育特色，开展校园足球耐力跑训练，每个队员需完成一段1500米的跑圈训练，已知甲队员的平均速度是乙队员的倍，甲跑完这段路程比乙少用1分钟，那么甲、乙的平均速度分别是多少米/分钟？ 【答案】甲的平均速度是米/分钟，乙的平均速度是米/分钟 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 设乙队员的平均速度为x米/分钟，则甲队员的平均速度为米/分钟，然后表示出各自的时间，再由“甲跑完这段路程比乙少用1分钟”建立分式方程求解． 【详解】解：设乙队员的平均速度为x米/分钟，则甲队员的平均速度为米/分钟， 根据题意列方程得 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴原方程的解为， 则 答：甲的平均速度是米/分钟，乙的平均速度是米/分钟． 20. 某生物兴趣小组在实验室用一个装有培养液的锥形瓶培养一种单细胞藻类．培养过程中发现，在一定范围内，平均每亿个细胞占有的培养液体积（单位：升）是瓶内藻类细胞总数量（单位：亿个）的反比例函数．兴趣小组成员根据收集的实验数据绘制出如下图象． （1）求与之间的关系式； （2）当瓶内藻类细胞总数量不少于亿个时，平均每亿个细胞占有的培养液体积最多是多少升？ 【答案】（1） （2）当时，，即的最大值为 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用、求反比例函数的解析式． (1)设与之间的关系式为，由函数图像可知点的坐标为，用待定系数法求出反比例函数的解析式； (2)把代入反比例函数的解析式即可求出，由反比例函数的性质可知当时，随的增大而减小，可得的最大值为． 【小问1详解】 解：设与之间的关系式为， 将代入， 可得：， ， 与之间的关系式为； 【小问2详解】 解：当时， 可得：， ， 当时，随的增大而减小， 当时，，即的最大值为． 答：当瓶内藻类细胞总数量不小于亿个时，平均每亿个细胞占有的培养液体积最多是升． 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线l经过点A(0，2)、B(﹣3，0)． （1）求直线l所对应的函数表达式． （2）若点M(3，m)在直线l上，求m的值． （3）若过点B，交y轴于点C，求ABC的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法求函数解析式． （2）根据一次函数图象上的点的坐标特征将的坐标代入，即可求解； （3）先确定点的位置，再求的面积． 【小问1详解】 设直线的解析式为． 由题意得 直线的表达式为：． 【小问2详解】 当，． ． 【小问3详解】 当，． ． ． 当，． ． 过点， ． ． ． 当，． ． 在平面直角坐标系的位置如图所示： ，，， ，． ． 【点睛】本题主要考查运用待定系数法求函数解析式、一次函数上的点的坐标特征，熟练掌握运用待定系数法求函数解析式是解决本题的关键． 22. 甲、乙两车从A地开往B地，甲车比乙车早出发2小时，并且在途中休息了小时，休息前后速度相同，如图是甲、乙两车行驶的距离与甲车行驶时间的函数图象．解答下列问题： （1）图中的值为_____； （2）当时，求甲车行驶距离与时间的函数关系式； （3）当时，直接写出当甲车行驶多长时间后两车恰好相距． 【答案】（1） （2） （3）甲车行驶小时或小时，两车恰好相距 【解析】 【分析】（1）根据题意，甲用小时走了，则1小时走，即可求解； （2）当 时，设与之间的函数关系式为，其中，将 代入上式得： ，即可求解； （3）乙车小时走了米，故其速度为，则设乙车行驶的过程与时间之间的解析式为 ，乙到达终点前，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解，乙到达终点后，根据题意列出算式，即可求解． 【小问1详解】 解：甲车比乙车早出发小时，并且在途中休息了小时， ∴甲用 小时走了，则小时走； 【小问2详解】 解：当 时，设与之间的函数关系式为，其中， 将 代入上式得： ， 解得， ． 【小问3详解】 解：乙车小时走，故其速度为， 则设乙车行驶的过程与时间之间的解析式为 ， 将 代入上式并解得： ， ． 当乙车到达之前： 当 时，解得． 当 时，解得． 当乙车到达之后： 甲距离乙公里时，甲需要1个小时到达，此时 甲一共个小时到达，现在距离终点（乙）要， 所以， 甲车行驶小时或小时或小时，两车恰好相距 ． 23. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接，，延长交反比例函数图象于点． （1）求一次函数的表达式与反比例函数的表达式； （2）当时，直接写出自变量的取值范围为 ； （3）点是轴上一点，当时，求出点的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）或. 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题、利用待定系数法求函数解析式；熟练的利用数形结合的方法解题是关键； （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据图象求解即可； （3）先求得，再根据，求得，根据中心对称的性质得出，进而求得，即可求解． 【小问1详解】 解：将代入得， 解得， 反比例函数的解析式为， 将，代入得， 解得， 一次函数为； 【小问2详解】 解：由图象可知，当时，自变量的取值范围为：或， 故答案为：或； 【小问3详解】 解：由题意可知， ， 把代入得，， 解得， ， ， ， ， ， ，即， ， 或． 24. 已知直线与轴、轴分别交于点、，点是线段上的动点，点是轴上的动点，作直线． （1）求A，B两点的坐标； （2）如图①，连结，若是以为斜边的等腰直角三角形，求直线的函数关系式； （3）如图②，作轴于点，以为边向右作正方形，边交直线于点．若，直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）由题意可得：当时，，当时，，可得，； （2）如图，过作于，设，证明，可得，求解，得到点P的坐标，再运用待定系数法求解即可； （3）设，则，，，可得，进而得出点Q是的中点，从而证明，得到．分两种情况讨论：①当点C在点M的左侧；②当点C在点M的右侧，分别表示出，，根据列出方程，求解即可． 【小问1详解】 解：∵对于直线，令，则， 令，则，解得， ∴，． 【小问2详解】 解：如图，过作于，设， ∴， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵在直线上， ∴， 解得：， ∴，， 设直线的解析为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的函数关系式为． 【小问3详解】 解：设，在线段上， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴点Q的横坐标为， 把代入函数，得， ∴， ∴， ∵， ∴，即点Q是的中点， ∴， ∵在正方形中，轴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． ①当点C在点M的左侧时，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴，解得， ∴． ②当点C在点M右侧时，如图所示： 同理可得：，， ∵， ∴，解得， ∴， 综上所述，点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $