精品解析：江西安福中学、吉水中学等校2025-2026学年高三下学期4月测试数学试题

江西安福中学、吉水中学等校2025-2026学年高三下学期4月测试数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，且， 所以． 2. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以，所以， 该复数对应的点的坐标为，所以在复平面内对应的点位于第一象限． 3. 已知是定义域为的奇函数，当时，，则（ ） A. B. 6 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由奇函数性质得，令，求得，最后结合奇函数性质求解即可. 【详解】因为是定义域为的奇函数，所以， 令，得．令，得． 所以． 4. 在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】连接． 因为，所以异面直线与所成的角即为与所成的角，即． 因为，所以，， ， 所以． 5. 设双曲线的左焦点为，过作的一条渐近线的垂线，交轴于点，若，则的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，设直线的方程为，求得，由，求得 ，进而求得双曲线的离心率. 【详解】由双曲线，可得其渐近线方程为， 不妨设直线的方程为， 令，可得，即， 因为，可得， 可得，解得，所以的离心率为. 6. 如图，在中，，在边上，且，若，，则（ ） A. 26 B. 28 C. 36 D. 39 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，将问题转化为求，再结合已知条件进一步转化为求，最后根据求解即可. 【详解】因为在边上，方向相同，夹角为， 所以． 因为， 所以． 因为，所以，所以． 因为，且， 所以． 因为， 所以，即 7. 若，且，则（ ） A. -10 B. C. 10 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，且，，且.构造函数，利用导数分析其单调性，可得，从而得到. 【详解】由，且，得，且，即，且. 设，得， 当时，，所以在上单调递增，则在上有唯一解． 因为， 所以，所以，即． 8. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦定理，正弦定理，三角恒等变换得，进而得，再结合锐角三角形求得，最后求解范围即可. 【详解】因为，所以． 因为，所以， 所以，所以． 因为， 所以，即， 所以． 因为是锐角三角形，，， 所以，即． 因为， 所以，所以． 因为，所以， 所以． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某校为了解学生的体育锻炼情况，随机抽查了本校10名学生一周内的体育锻炼时长（单位：小时），数据如下：5，6，6，7，7，7，8，8，9，10．下列关于这组数据的说法不正确的是（ ） A. 中位数为7 B. 众数为8 C. 平均数为6.8 D. 极差为4 【答案】BCD 【解析】 【详解】数据已按从小到大的顺序排列，共10个样本．中位数为，故A正确； 众数为7，故B错误； 平均数为，故C错误； 极差为，故D错误． 10. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点中心对称 C. 在上单调递增 D. 的图象向左平移个单位长度后所得的图象关于轴对称 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，直接求解最小正周期判断；对于B，根据判断；对于C，整体代入检验判断；对于D，根据平移后的函数为奇函数判断. 【详解】对于A，的最小正周期为，故A正确； 对于B，因为，所以的图象关于点中心对称，故B正确； 对于C，当时，，而函数在上单调递增， 因此在该区间单调递增，故C正确； 对于D，将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象， 因为是奇函数，图象关于原点对称，不关于轴对称，所以D错误． 11. 已知椭圆，、分别为的左、右焦点，、为上两个动点，则（ ） A. 若，则的周长为 B. 若，直线过点，且线段的中点为，则的短轴长为 C. 若，，且，则的离心率为 D. 若为的下顶点，，则的离心率的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用椭圆的定义可判断A选项；利用点差法可判断B选项；利用余弦定理结合椭圆的离心率公式可判断C选项；利用平面内两点间的距离公式结合二次函数的基本性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，则直线过点， 所以的周长为，A对； 对于B选项，设点、， 若直线轴，则线段的中点在轴上，不符合题意，所以直线的斜率存在， 由题意可得，可得， 由作差得， 所以，即，即， 又因为直线过点和，所以， 因为，所以，且，解得，， 故该椭圆的短轴长为，B错； 对于C选项，因为，不妨设，则，所以， 故，所以， 由余弦定理可得， 由余弦定理可得， 所以，故该椭圆的离心率为，C对； 对于D选项，设点，则，易知点， 因为 ，当且仅当时，等号成立， 因为二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， 当时，函数在处取最大值，所以，即，即， 故，故该椭圆的离心率为，又因为，故， 因此椭圆的离心率的取值范围是，D对. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某班级进行了一次数学测试，题目分为选择题和填空题两类．已知某同学答对所有选择题的概率为0.8，在答对所有选择题的前提下，答对所有填空题的概率为0.75，则该同学同时答对所有选择题和填空题的概率为____________． 【答案】0.6## 【解析】 【详解】设事件“该同学答对所有选择题”，事件“该同学答对所有填空题”． 由题意知，故． 13. 已知，且，则______，______． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】根据题意，结合求得，进而结合二倍角公式求得，再结合，根据正弦差角公式求解即可. 【详解】因为，所以． 因为，所以． 因为， 所以. ． 因为， 所以 ． 14. 一个球被平面截下的一部分（不大于半球的部分）叫作球缺，截面叫作球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫作球缺的高，球缺的体积公式为，其中为球的半径，为球缺的高，则棱长为3的正四面体的一个侧面截其外接球所得的球缺的体积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据正四面体的性质求出外接球的半径，球缺的高，代入公式可得答案. 【详解】如图，记正四面体PABC外接球的球心为，半径为，外接圆的圆心为. 因为，所以，所以，得， 所以球缺的体积. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）设. （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）求的单调区间. （2）若恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）（i）；（ii）的单调递增区间为；单调递减区间为. （2） 【解析】 【分析】（1）（i）利用导数的几何意义求切线方程即可；（ii）令、即可求解； （2）（方法一）根据题意得，再令，利用导数求出的最值即可求解；（方法二）设，求导，得到，再解不等式即可． 【小问1详解】 函数，定义域为， 若，则， （i）， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （ii）令，得，所以的单调递增区间为； 令，得，所以的单调递减区间为. 【小问2详解】 （方法一）若恒成立，则，即恒成立. 设，则， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 所以， 则，即，所以的取值范围为. （方法二）设， 则. 令，得， 令，得， 则， 得． 16. 已知正项等比数列满足，且成等差数列． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等比数列的公比为，根据等差中项建立关于公比的方程，解方程即可得公比，再根据通项公式求解即可； （2）结合（1）得，进而根据分组求和与错位相减法求和求解即可. 【小问1详解】 设等比数列的公比为． 因为成等差数列，所以． 因为，所以，整理得， 解得或． 因为，所以， 故的通项公式为． 【小问2详解】 由（1）知． 记数列的前项和为，则． 因为， 所以两式相减得， 所以． 因为数列的前项和为， 所以． 17. 如图，在直三棱柱中，，且． （1）证明：平面. （2）在答题卡上，作出平面与AC的交点，并说明你的理由. （3）求平面与平面夹角的正切值. 【答案】（1）证明见解析 （2），理由见解析 （3）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，证得，得到，结合线面平行的判定定理，即可得证； （2）延长交延长线于点，连接交于点，证得平面，即可求解； （3）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 证明：因为，即得，所以， 又因为，所以， 因为平面，且平面，所以平面. 【小问2详解】 解：如图所示，延长交延长线于点，连接交于点， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以平面，所以为平面与的交点. 【小问3详解】 解：以为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则，可得. 设平面的法向量为，则， 令，可得 ，所以， 又由轴垂直平面，可得平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为，则， 可得，则， 故平面与平面夹角的正切值为. 18. 已知是抛物线的焦点，过的直线与交于，两点（在轴的上方）. （1）求的值； （2）若，求的方程； （3）记为坐标原点，为轴上异于的点，且，延长交于点，设直线，的斜率分别为，，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由抛物线的焦点坐标为，求得； （2）由（1）得抛物线的方程，设直线的方程为，并与抛物线方程联立，求出点的坐标，即可得参数，从而得到直线的方程； （3）设直线的方程为，，，联立抛物线方程，得坐标关系，进而用点坐标表示；用坐标表示出点坐标，写出直线的方程，联立抛物线方程，得坐标关系，进而可用表示，利用基本不等式即可得的最小值. 【小问1详解】 因为是的焦点，所以，得. 【小问2详解】 由（1）知，抛物线的方程为. 由题意可设的方程为，，. 由得， 则，. 因为，所以. 由，解得，， 则的方程为. 【小问3详解】 由题意可设的方程为，，. 由得， 则，. 由为轴上异于的点，且，得， 则直线的方程为， 即.设. 由得， 则，， 则. 由，得. 又， 所以， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 19. 某超市推出一款新玩具，每件玩具内有一张卡片，总共有种不同类型的卡片，且每件玩具内每种类型卡片出现的概率相同，甲每次从中随机购买一件玩具． （1）若，求甲恰好购买3件玩具就集齐2种不同类型的卡片的概率． （2）在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为，用表示事件首次发生时的试验次数，且的分布列为，，则随机变量服从几何分布，该几何分布的期望为．已知甲集齐种不同类型的卡片恰好需要购买的玩具数为． （i）求的数学期望； （ii）证明：． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）应用独立事件概率乘积公式计算求解； （2）（i）根据数学期望性质计算求解；（ii）先求出导函数，再根据导函数正负得出单调性，再应用累加法计算证明不等式. 【小问1详解】 甲第一次一定会得到一张卡片，甲第二次得到的卡片和第一次得到的卡片相同，甲第三次得到的卡片和第一次得到的卡片不同， 则甲恰好购买3件玩具就集齐2种不同类型的卡片的概率为． 【小问2详解】 （i）设表示在甲已获得第种类型的卡片后，获得第种类型卡片需要购买的玩具数，则． 甲第一次购买玩具得到第1种类型的卡片的概率为1， 在甲已获得第1种类型的卡片后，每次试验中获得第2种类型卡片的概率为， 在甲已获得第2种类型的卡片后，每次试验中获得第3种类型卡片的概率为， 依此类推，在甲已获得第种类型的卡片后，每次试验中获得第种类型卡片的概率为，则均服从几何分布， 所以． （ii）证明：． 设，则． 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以，得，当且仅当时，等号成立． 令，得，则．① 设，则． 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，得， 当且仅当时，等号成立． 令，得，则．② 由①②得， 所以， 即 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西安福中学、吉水中学等校2025-2026学年高三下学期4月测试数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知是定义域为的奇函数，当时，，则（ ） A. B. 6 C. D. 4 4. 在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 设双曲线的左焦点为，过作的一条渐近线的垂线，交轴于点，若，则的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 6. 如图，在中，，在边上，且，若，，则（ ） A. 26 B. 28 C. 36 D. 39 7. 若，且，则（ ） A. -10 B. C. 10 D. 8. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某校为了解学生的体育锻炼情况，随机抽查了本校10名学生一周内的体育锻炼时长（单位：小时），数据如下：5，6，6，7，7，7，8，8，9，10．下列关于这组数据的说法不正确的是（ ） A. 中位数为7 B. 众数为8 C. 平均数为6.8 D. 极差为4 10. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点中心对称 C. 在上单调递增 D. 的图象向左平移个单位长度后所得的图象关于轴对称 11. 已知椭圆，、分别为的左、右焦点，、为上两个动点，则（ ） A. 若，则的周长为 B. 若，直线过点，且线段的中点为，则的短轴长为 C. 若，，且，则的离心率为 D. 若为的下顶点，，则的离心率的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某班级进行了一次数学测试，题目分为选择题和填空题两类．已知某同学答对所有选择题的概率为0.8，在答对所有选择题的前提下，答对所有填空题的概率为0.75，则该同学同时答对所有选择题和填空题的概率为____________． 13. 已知，且，则______，______． 14. 一个球被平面截下的一部分（不大于半球的部分）叫作球缺，截面叫作球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫作球缺的高，球缺的体积公式为，其中为球的半径，为球缺的高，则棱长为3的正四面体的一个侧面截其外接球所得的球缺的体积为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）设. （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）求的单调区间. （2）若恒成立，求的取值范围. 16. 已知正项等比数列满足，且成等差数列． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 17. 如图，在直三棱柱中，，且． （1）证明：平面. （2）在答题卡上，作出平面与AC的交点，并说明你的理由. （3）求平面与平面夹角的正切值. 18. 已知是抛物线的焦点，过的直线与交于，两点（在轴的上方）. （1）求的值； （2）若，求的方程； （3）记为坐标原点，为轴上异于的点，且，延长交于点，设直线，的斜率分别为，，求的最小值. 19. 某超市推出一款新玩具，每件玩具内有一张卡片，总共有种不同类型的卡片，且每件玩具内每种类型卡片出现的概率相同，甲每次从中随机购买一件玩具． （1）若，求甲恰好购买3件玩具就集齐2种不同类型的卡片的概率． （2）在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为，用表示事件首次发生时的试验次数，且的分布列为，，则随机变量服从几何分布，该几何分布的期望为．已知甲集齐种不同类型的卡片恰好需要购买的玩具数为． （i）求的数学期望； （ii）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $