精品解析：江西南昌中学三经路校区2025～2026学年度高三第二学期考前测试数学试卷

2025~2026学年度第二学期南昌中学三经路校区三模测试卷 高三数学 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 且是的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知样本数据的平均数为6，方差为11；样本数据的平均数为9，方差为20，现将两组样本数据合并，则新的样本数据的方差为（ ） A. 19 B. 20 C. 26 D. 30 3. 已知函数 ，若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 注意力机制是一种让模型在处理信息时，能够“有选择地聚焦”于最关键部分的技术，其核心是用数学中的向量来解决问题，设计三个关键向量：查询向量（表示我在寻找什么？）､键向量（表示我有什么可提供？）和值向量（表示我实际提供的内容是什么）.在计算注意力时，首先用与各个计算相似度，然后求权重，记，则注意力输出向量为 现有，则注意力输出向量为（ ） A. B. C. D. 5. 的展开式中的系数是（ ） A. 120 B. 220 C. 260 D. 280 6. 已知双曲线的左､右焦点分别为是双曲线上一点，，的平分线与轴交于点，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知正方体的棱长为，若球同时满足条件：①与平面，平面均相切，②与棱相切（即与棱仅有一个公共点），则球的表面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数与函数在区间上只有一个公共点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 我校举办2026年“南中杯”青年教师说课竞赛，已知9位评委对某老师的评分具体如下（满分10分）：则下列说法正确的是（ ） A. 第75百分位数为9.5 B. 极差为1.3 C. 中位数为9.5 D. 去掉最高分和最低分，不会影响到这位选手的平均得分 10. 已知内角所对的边分别为.则下列说法正确的是（ ） A. 若，则为钝角三角形. B. 若，则为等腰三角形 C. 在锐角中，不等式恒成立 D. 若，则的取值范围为 11. 设为坐标原点，直线过抛物线：的焦点且与交于两点（点在第一象限），，为的准线，，垂足为，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 若，则 D. 轴上存在一点，使为定值 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是_________. 13. 如图，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的等边三角形的中心为为圆上的点，分别是以为底边的等腰三角形､沿虚线剪开后，分别以为折痕折起，使得重合，得到三棱锥.当的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：）的最大值为_________. 14. 已知是8个正整数，记，其中，若，则这8个正整数中的最大数与最小数的积为_________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 中，． （1）求角C； （2）若角C为锐角，M是BC边上的一点，，，求的面积． 16. 如图，已知圆台，，，均为母线，四边形为圆台的轴截面，且，. （1）求异面直线与所成角； （2）已知二面角的余弦值为，求圆台的高的长. 17. 某中学航天科技小组利用假期进行一项新型火箭模型的发射试验，根据以往数据可知，单次发射成功的概率为，失败的概率为，发射结果相互独立．计划发射多次． （1）若某次发射失败，则整个试验终止；若发射成功，则继续发射且至多发射4次．记发射的次数为，求的分布列与期望； （2）若在一次发射中发射失败，能够成功进行现场修复并确保后续发射不受此次失败影响的概率为（即修复后，系统恢复到正常发射状态）．修复失败的概率为．考虑一个简化的连续发射模型，从第1次发射开始．若发射成功，则继续进行下一次发射；若发射失败但成功修复．则继续进行下一次发射；若发射失败且修复失败，则试验终止；此外，若连续2次发射失败，试验也终止． ①求至少发射3次的概率； ②定义为第次发射成功的概率，是否存在实数使得数列为等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有极小值，且，求的取值范围. 19. 已知为椭圆：的左，右顶点，为上的一点，N为双曲线：上的一点（两点不同于两点），设直线的斜率分别为，且． （1）设为坐标原点，证明：三点共线． （2）设的右焦点分别为，均在第一象限，直线与直线相交于点，． ①判断直线与直线的位置关系，并证明你的结论； ②证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期南昌中学三经路校区三模测试卷 高三数学 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 且是的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由不等式性质，结合充分、必要性定义判断条件间的关系. 【详解】由且，则，充分性成立； 由，若满足，但且不成立，必要性不成立； 故且是的充分不必要条件. 故选：B 2. 已知样本数据的平均数为6，方差为11；样本数据的平均数为9，方差为20，现将两组样本数据合并，则新的样本数据的方差为（ ） A. 19 B. 20 C. 26 D. 30 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得，， ， 利用分层抽样的方差公式可得新的样本数据的方差为 . 3. 已知函数 ，若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简，再应用对数函数单调性及复合函数单调性规则得出单调性即可判断. 【详解】函数 ， 因为是减函数， 是增函数，所以是减函数， 又因为，所以 ，故，即. 4. 注意力机制是一种让模型在处理信息时，能够“有选择地聚焦”于最关键部分的技术，其核心是用数学中的向量来解决问题，设计三个关键向量：查询向量（表示我在寻找什么？）､键向量（表示我有什么可提供？）和值向量（表示我实际提供的内容是什么）.在计算注意力时，首先用与各个计算相似度，然后求权重，记，则注意力输出向量为 现有，则注意力输出向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量数量积坐标运算公式计算求解． 【详解】由题意可得 ， ，， ， 则，所以 ， ， 所以注意力输出向量为. 5. 的展开式中的系数是（ ） A. 120 B. 220 C. 260 D. 280 【答案】B 【解析】 【详解】的通项公式为， 故展开式中的系数为， 故的展开式中的系数是 . 6. 已知双曲线的左､右焦点分别为是双曲线上一点，，的平分线与轴交于点，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先应用角平分线定理得出，再结合双曲线定义得出，最后应用离心率公式求值即可. 【详解】因为的平分线与轴交于点，所以， 因为，A在双曲线右支上，设 ， 因为，所以 ， 又因为，所以 ， 所以. 7. 已知正方体的棱长为，若球同时满足条件：①与平面，平面均相切，②与棱相切（即与棱仅有一个公共点），则球的表面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，分别求出平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，及.再由向量的数量积的几何意义，分别计算点到向量，，的距离得 ，，，联立方程消去得关于的一元二次方程：，令可得，从而可得的最小表面积. 【详解】以正方体的点为原点，分别以所在直线为轴， 建立空间直角坐标系，如图： 则， 所以平面的一个法向量为，， 所以球心到平面距离： ，即 ①. 同理平面​的一个法向量为， 所以球心到平面距离： ，即②. 因为球与平面，平面均相切，且与棱相切， 所以球心必在平面的上方及平面的下方，因此且 所以①②去掉绝对值得，，即，③ 又因为球与棱相切，， 所以球心到的距离： ， 即④，将③代入④得：， 化简整理，得关于的一元二次方程：， 由二次方程有实根，判别式 ，即， 解得，即，球的表面积 . 因此，球表面积的最小值为. 【点睛】本题的关键计算点到面的距离及点到线的距离，由三个距离得一个三元一次方程组， 再消去两个变量得一个一元二次方程用判别式可得球半径的范围，再得球表面积的最小值. 8. 已知函数与函数在区间上只有一个公共点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，可得，换元令，原题意等价于在内恰有一个零点，分和两种情况，利用单调性判断在内的单调性，结合单调性分析零点即可． 【详解】令，即，可得， 因为，记，， 原题意等价于在内恰有一个零点， 因为， ①当时，则，可知在单调递减， 又，所以在区间上无零点，不合题意； ②当时，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，当趋近于时，趋近于， 所以，又，所以. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 我校举办2026年“南中杯”青年教师说课竞赛，已知9位评委对某老师的评分具体如下（满分10分）：则下列说法正确的是（ ） A. 第75百分位数为9.5 B. 极差为1.3 C. 中位数为9.5 D. 去掉最高分和最低分，不会影响到这位选手的平均得分 【答案】AB 【解析】 【分析】计算出9位评委对某位选手评分的中位数、极差、以及的分位数，判断A，B，C；根据平均数的计算可判断D. 【详解】由题意，评分从低到高依次为， 由，故第75百分位数为第7个数，即为，A正确； 极差为，B正确； 显然第5个数据为中位数，即为，C错误； 这位同学的平均分为， 去掉最高分和最低分后的平均分为， 即去掉最高分和最低分，显然会影响到这位同学的平均得分，D错误； 10. 已知内角所对的边分别为.则下列说法正确的是（ ） A. 若，则为钝角三角形. B. 若，则为等腰三角形 C. 在锐角中，不等式恒成立 D. 若，则的取值范围为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用余弦定理边化角判断A；由题设，结合三角形内角性质判断B；利用正弦函数单调性推理判断C；利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式及正切函数性质求解判断D. 【详解】对于A，由及余弦定理，得，为钝角，故为钝角三角形，A正确； 对于B，由中，则，故或， 所以或，均不能说明为等腰三角形，B错误； 对于C，在锐角中，则， 所以，即，C错误； 对于D，由，，得，，， 由正弦定理得，D正确. 11. 设为坐标原点，直线过抛物线：的焦点且与交于两点（点在第一象限），，为的准线，，垂足为，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 若，则 D. 轴上存在一点，使为定值 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，利用过焦点的弦长最短时是通径的结论即得；对于B，利用抛物线上点的性质进行转化再结合图象，三点共线时，对应线段和最小即得；对于C，由条件推理得点A的坐标，得到直线的方程，与抛物线方程联立求得两点即得；对于D，设出直线的方程，与抛物线方程联立，得到韦达定理，将所求式代入化简，分析推理即得． 【详解】 对于A，因为直线经过点，所以当且仅当轴时，最短，即，解得，A错误； 对于B，由抛物线定义知，所以， 由图知，当且仅当三点共线时，取得最小值， 即，B正确； 对于C，在中， ，， 所以，即点， 由，得，解得，， 即得，， 所以，C正确； 对于D，设直线：， 由，得，设，， 所以，， 设轴上存在一点， 则 ， 当时，，即存在点时，使得为定值，D正确． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是_________. 【答案】 【解析】 【详解】因为， 所以， ， 所以向量在向量上的投影向量的坐标为. 13. 如图，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的等边三角形的中心为为圆上的点，分别是以为底边的等腰三角形､沿虚线剪开后，分别以为折痕折起，使得重合，得到三棱锥.当的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：）的最大值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】首先画图并设好未知量，根据等边三角形的性质和勾股定理表示出三棱锥的底面和高，从而得到三棱锥体积的表达式，然后构建辅助函数，通过导数来研究函数的极值从而找到三棱锥体积的最大值. 【详解】连接交于点，如下图所示 设重合于点，正三角形的边长为，则， 所以， 所以， 因此三棱锥的体积， 设函数，求导可得， 令，即，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以在时取得极大值， 因此. 14. 已知是8个正整数，记，其中，若，则这8个正整数中的最大数与最小数的积为_________. 【答案】120 【解析】 【分析】根据题意表示出集合的元素，通过整除性求出重复值和总和，进而可得答案. 【详解】由题意可知：从8个数中任取7个数的和共有种不同的值， 但是，，，，，，只有7个数， 可知必有两种7个数的和相等，设这个和为， 令，那么，任取7个数的和就等于，，，，，这8个取值和的集合为， 且 则. 因为为整数，所以是7的倍数，由可知，是7的倍数， 再因为，所以.可知. 因此，，，，中最大数为：，最小数为：， 因此，他们的积为. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 中，． （1）求角C； （2）若角C为锐角，M是BC边上的一点，，，求的面积． 【答案】（1）或； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用和差角的正弦公式化简求解. （2）由（1）的结论，利用正弦定理求出，再利用和角的正弦及三角形面积公式求解. 【小问1详解】 在中，，得， 整理得，即， 而，解得，又，所以或. 【小问2详解】 由（1）及角C为锐角，得， 在中，由正弦定理得，而， 则，， 因此， 所以的面积为. 16. 如图，已知圆台，，，均为母线，四边形为圆台的轴截面，且，. （1）求异面直线与所成角； （2）已知二面角的余弦值为，求圆台的高的长. 【答案】（1）； （2）1. 【解析】 【分析】（1）先证明直线，，两两垂直，再以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法证明线线垂直，即可得解； （2）由（1）所建空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，结合二面角的余弦公式，即可求解. 【小问1详解】 连接，，由直线为圆台的轴，得，延长线交于一点， 又平面平面，平面平面，平面平面， 所以， 由，，得， 则，而， 因此，所以直线，，两两垂直， 以为坐标原点，直线，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 设，则，，，，，，，所以，， 则 ，所以， 所以异面直线与所成角为； 【小问2详解】 由（1）得，，， 设平面与平面的法向量分别为，， 则，即，取，得，， 故平面的一个法向量为， 又，即，取，得， 故平面的一个法向量为， 由二面角的余弦值为， 得，解得， 所以圆台的高的长为1. 17. 某中学航天科技小组利用假期进行一项新型火箭模型的发射试验，根据以往数据可知，单次发射成功的概率为，失败的概率为，发射结果相互独立．计划发射多次． （1）若某次发射失败，则整个试验终止；若发射成功，则继续发射且至多发射4次．记发射的次数为，求的分布列与期望； （2）若在一次发射中发射失败，能够成功进行现场修复并确保后续发射不受此次失败影响的概率为（即修复后，系统恢复到正常发射状态）．修复失败的概率为．考虑一个简化的连续发射模型，从第1次发射开始．若发射成功，则继续进行下一次发射；若发射失败但成功修复．则继续进行下一次发射；若发射失败且修复失败，则试验终止；此外，若连续2次发射失败，试验也终止． ①求至少发射3次的概率； ②定义为第次发射成功的概率，是否存在实数使得数列为等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）的分布列为 1 2 3 4 期望为 （2）① ；②存在； 【解析】 【分析】（1）依题意，确定的取值可能为1，2，3，4，分别求出其对应的概率，列出分布列，利用数学期望公式计算即可； （2）①记第次发射成功为事件，第次发射失败后修复成功为事件，至少发射3次为事件，则，根据概率乘法公式求解； ②第次发射成功有2种情形：第次、第次发射成功，或第次发射成功，第次发射失败且发射失败后修复成功，第次发射成功，则，再构造等比数列求解. 【小问1详解】 由题知，的所有可能取值分别为1，2，3，4， 则， ， 所以的分布列为 1 2 3 4 ． 【小问2详解】 ①记第次发射成功为事件，第次发射失败后修复成功为事件， 则，，， 记至少发射3次为事件，则， 所以 ． ②第次发射成功有2种情形：第次、第次发射成功， 或第次发射成功，第次发射失败且发射失败后修复成功，第次发射成功， 所以， 设，则， 所以，解得，或， 因为，，所以时 ， 是等比数列， 所以． 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有极小值，且，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先对函数求导得到导函数表达式，代入已知条件确定参数后，算出处的导数值即切线斜率，再求出对应的函数值即切点坐标，最后用点斜式列出切线方程并整理成一般式即可. （2）先对分类讨论的单调性，确定时函数在处取极小值也是最小值，代入求出最小值表达式；由恒成立转化为最小值大于等于0，化简不等式后构造新函数；通过求导判断新函数单调递减，结合特殊点，利用单调性分析出使不等式成立的的取值区间. 【小问1详解】 当时，，所以 所以切线方程为即， 【小问2详解】 ， 若，可得时，，所以在上单调递增，无极小值； 若时，当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 此时有极小值，极小值为， 且该极小值也是最小值，由，可得，， 又，所以 令，求导得， 所以在上单调递减，又， 当时，，当时，， 所以时，，此时满足， 所以a的取值范围 19. 已知为椭圆：的左，右顶点，为上的一点，N为双曲线：上的一点（两点不同于两点），设直线的斜率分别为，且． （1）设为坐标原点，证明：三点共线． （2）设的右焦点分别为，均在第一象限，直线与直线相交于点，． ①判断直线与直线的位置关系，并证明你的结论； ②证明：． 【答案】（1）设，，则，， 因为 ，所以， ，, 因为 ，所以， 则， 由，可知， 所以，因此，三点共线； （2）①由，得， 由（1）可知：， 由，得，且都在第一象限， 所以， ， 由（1）知：， ，， 由式结合 ， ， 所以， 则，， 所以 ， 所以，即； ②由①可知 ， ， 则；直线，直线， 设点，于是， 则 ，即， 则点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 则，又，则， 于是，则． 【解析】 【分析】（1）先分别写出椭圆上点、双曲线上点与两顶点连线的斜率和与斜率积，利用曲线方程化简，结合斜率和为的条件，推出向量与共线，证得三点共线； （2）①由斜率平方和为，结合（1）中斜率和为、斜率积互为相反数，求出斜率和的具体值，得到坐标比例关系，算出坐标后代入向量，证明向量平行，得出； ②先求的斜率，证两线垂直，联立方程得点满足圆方程，利用直径所对圆周角为直角，推出两个直角共余角，从而证得两角相等． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $