5.2 简单的轴对称图形 课件 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

2 简单的轴对称图形 第五章 图形的轴对称 侵权必究 2 简单的轴对称图形 第1课时 等腰三角形的性质 第五章 图形的轴对称 侵权必究 目录页 讲授新课 当堂练习 课堂小结 新课导入 侵权必究 3 新课导入 教学目标 教学重点 侵权必究 4 情境导入 观察下列图片，它们有什么共同的特征？ 等腰三角形 侵权必究 5 等腰三角形 侵权必究 知识目标 1. 理解并掌握等腰三角形的性质；(重点)　 2. 探索并掌握等腰三角形的轴对称性及其相关性质，能初步运用其解决有关问题．(难点). 3. 了解等边三角形的概念，探索并掌握等边三角形的性质．(难点). 侵权必究 讲授新课 典例精讲 归纳总结 侵权必究 8 讲授新课 1 知识点 等腰三角形的性质 如图,在△ABC中,AB=AC，则三角形为等腰三角形. 它的各部分名称分别是什么？ A B C (1)相等的两条边都叫腰; 腰 腰 底边 (2)另一边叫底边; 顶角 底角 底角 (3)两腰的夹角∠A叫顶角; (4)腰与底边夹角∠B、∠C叫底角. 侵权必究 9 剪一剪：把一张长方形的纸按图中的红线对折，并剪去阴影部分（一个直角三角形），再把得到的直角三角形展开，得到的三角形ABC有什么特点？ 互动探究 侵权必究 A B C AB=AC 等腰三角形 侵权必究 折一折：△ABC 是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ A C D B 折痕所在的直线是它的对称轴. 等腰三角形是轴对称图形. 侵权必究 找一找：把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角. 重合的线段 重合的角 　 A C B D AB与AC BD与CD AD与AD ∠B 与∠C. ∠BAD 与∠CAD ∠ADB 与∠ADC 猜一猜： 由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想. 侵权必究 (1)等腰三角形是轴对称图形. (2)∠B =∠C. (3)∠BAD＝∠CAD，AD为顶角的平分线. (4)∠ADB=∠ADC=90°，AD为底边上的高. (5)BD=CD，AD为底边上的中线. A B C D 现象 侵权必究 A B C D 解：在ΔABC中，∵AD是角平分线, ∴∠BAD=∠CAD. 在ΔABD和ΔACD中, ∵AB=AC,∠BAD=∠CAD,AD=AD， ∴ΔABD≌ΔACD. ∴BD=CD, ∠ADB=∠ADC=90˚. ∴AD是ΔABC的角平分线、底边上的中线、底边上的高. 三线合一吗？ 侵权必究 等腰三角形是轴对称图形. 等腰三角形的顶角平分线、底边上的高和底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）. 归纳总结 等腰三角形的两个底角相等. 侵权必究 画出任意一个等腰三角形的底角平分线、这个底角所对的腰上的中线和高，看看它们是否重合？ 不重合！ 三线合一 为什么不一样? 侵权必究 1.等腰三角形的顶角一定是锐角. 2.等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、 钝角都可以. 3.钝角三角形不可能是等腰三角形. 4.等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边. 5.等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合. 6.等腰三角形底边上的中线一定平分顶角. （X） （X） （X） （X） （√） 明辨是非 （√） 侵权必究 1.按下面的步骤做一做： （1）将长方形纸片对折 （2）然后沿对角线折叠，在沿折痕剪开. 你有哪些办法可以得到一个等腰三角形？与同伴交流. 议一议 侵权必究 例1 已知等腰三角形的底角是顶角的 2 倍， 求这个三角形各个内角的度数． 典例精析 解： 设顶角为°，则底角为2°. 根据“三角形的三个内角的和等于180°”，得 解得． 所以，这个三角形三个内角的度数分别是°，°，°． 侵权必究 2.你能尝试用圆规吗？ 侵权必究 解 ∵AB=AC, BD=BC=AD,（已知） ∴∠ABC=∠C=∠BDC, ∠A=∠ABD.(等边对等角） 设∠A=x°,∵∠A+∠ABD+∠ADB=180°， 又∵∠BDC+∠ADB=180°， ∴∠BDC=∠A+∠ABD=2x°. ∵∠ABC=∠C=∠BDC=2x°， ∴x+2x+2x=180.（三角形内角和等于180°） 解得 x=36 .∴∠A=36°，∠C=72°. 例2 如图，在ΔABC中，AB=AC , 点D在AC上，且 BD=BC=AD , 求∠A和∠C的度数. C D B A 侵权必究 讲授新课 2 知识点 等边三角形的性质 (1)等边三角形有几条对称轴？ (2)你能发现它的哪些特征？与同伴进行交流. 思考·交流 3条 等边三角形是轴对称图形，三边相等，三个内角都是60°，满足“三线合一”的特征. 侵权必究 23 归纳总结 2.等边三角形的性质： (1)等边三角形的三条边都相等； (2)等边三角形的内角都相等,且等于 60 °; (3)等边三角形是轴对称图形，有三条对称； (4)等边三角形各边上中线，高和所对角的平分线都三线合一. 侵权必究 当堂练习 当堂反馈 即学即用 侵权必究 25 当堂练习 1.如图，在下面的等腰三角形中，∠A是顶角，分别求出它们的底角的度数. （来自《教材》） (1)(180°－60°)÷2＝60°；(2)(180°－90°)÷2＝45°；(3)(180°－120°)÷2＝30°. 解： 侵权必究 2.【中考·滨州】如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，则∠CDE的度数为(　　) A．50° B．51° C．51.5° D．52.5° D 侵权必究 3.如图，△ABC是等边三角形，AD是角平分线，△ADE是等边三角形，下列结论：①AD⊥BC；②EF＝FD；③BE＝BD. 其中正确结论的个数为(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 A 侵权必究 4.如图，是由大小不等的等边三角形组成的图案， 请找出它的对称轴. 侵权必究 解：∵OA=AB， ∴∠ABO=∠O=15°，∴∠BAO=150°, ∴∠BAC=∠ABO+∠O=30°. ∵AB=BC， ∴∠ACB=∠BAC=30°， ∴∠CBO=135°，∴∠CBD=∠O+∠ACB=45°. ∵BC=CD，∴∠D=∠CBD=45°，∴∠BCD=90°, ∴∠1=180°－∠BCD－∠BCO=60°. 5.如图，∠AOB=15°，且OA=AB=BC=CD.求∠1的度数. ⌒ 15° 1 C D B O A ⌒ 侵权必究 6.A、B是4×4网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长为1，请在图中标出使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C的位置． A B 分别以A、B、C为顶角 顶点来分类讨论！ 8个 这样分类就不会漏啦！ C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 拓展提升 侵权必究 课堂小结 归纳总结 构建脉络 侵权必究 32 课堂小结 等腰三角形的性质 等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）. 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高重合（三线合一）. 侵权必究 33 1.等腰三角形的性质总结： (1)性质1：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(或 底边上的高、底边上的中线)所在的直线是它的对 称轴． (2)性质2：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、 底边上的高重合(简写成“三线合一”)． (3)性质3：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边 对等角”)． 侵权必究 2.等边三角形的性质： (1)等边三角形的三条边都相等； (2)等边三角形的内角都相等,且等于 60 °; (3)等边三角形是轴对称图形，有三条对称； (4)等边三角形各边上中线，高和所对角的平分线都三线合一. 侵权必究 2 简单的轴对称图形 第2课时 线段垂直平分线的性质 及画法 第五章 图形的轴对称 侵权必究 目录页 讲授新课 当堂练习 课堂小结 新课导入 侵权必究 37 新课导入 教学目标 教学重点 侵权必究 38 复习巩固 1.什么样的图形叫作轴对称图形？ 如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称图形，这条直线叫作对称轴. 侵权必究 39 2.下列图形哪些是轴对称图形？ 侵权必究 线段是轴对称图形吗？如果是，请描述它的对称轴的特点. A B 问题引入 侵权必究 知识目标 1. 理解线段的垂直平分线的概念； 2. 理解并掌握线段垂直平分线的性质及画法．(重点） 3. 能够运用线段垂直平分线的性质解决实际问题．（难点） 侵权必究 讲授新课 典例精讲 归纳总结 侵权必究 43 讲授新课 1 知识点 线段垂直平分线的性质 按照下面的步骤做一做： （1）在纸片上画一条线段AB， A B 对折AB使点A，B重合； 折痕与AB的交点为O； O （2）在折痕上任取一点C， C 沿CA将纸折叠； （3）把纸展开， A O 得到折痕CA和CB. B C 尝试·思考 侵权必究 44 C A B C （1）CO与AB有怎样的位置关系？ （2）AO与BO相等吗？CA与CB呢？ 能说明你的理由吗？ 垂直 AO=BO CA=CB 思考·交流 （3）在折痕上另取一点，再试一试. A O B C O 侵权必究 1.线段是轴对称图形，它的一条对称轴就是 对折后能使之完全重合的那条折痕； 2.线段的对称轴过线段AB的 点； 中 3.线段的对称轴与线段AB ； （位置关系） 垂直 4.线段的对称轴上的任意一点C到线 段AB的两端点A,B的距离______. A A B B O C 相等 侵权必究 A A B B O C 线段的对称轴上任意一点到这条线段的两端点的距离相等. 侵权必究 A B O 1.垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫作 这条线段的垂直平分线（简称中垂线）. 线段的垂直平分线 2.线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点 到这条线段两个端点的 距离相等. 3 线段的对称轴是这条线段的垂直平分线. 侵权必究 典例精析 例1 利用尺规，作线段AB的垂直平分线(如图). 已知：线段AB. 求作：AB的垂直平分线. 作法： 1.分别以点A和B为圆心，以大 于 AB的长为半径作弧， 两弧相交于点C和D. 2.作直线CD. 直线CD就是线段AB的垂直平分线(如右图). 侵权必究 例2 如图，在△ABC中，AC＝5，AB的垂直平分线DE交AB，AC于点E，D， (1)若△BCD的周长为8，求BC的长； (2) 若BC＝4，求△BCD的周长． 由DE是AB的垂直平分线，得AD ＝BD，所以BD与CD的长度和等 于AC的长，所以由△BCD的周长 可求BC的长，同样由BC的长也 可求△BCD的周长． 导引： 侵权必究 因为DE是AB的垂直平分线， 所以AD＝BD，所以BD＋CD＝AD＋CD＝AC＝5. (1)因为△BCD的周长为8， 所以BC＝△BCD的周长－(BD＋CD)＝8－5＝3. (2)因为BC＝4， 所以△BCD的周长＝BC＋BD＋CD＝5＋4＝9. 解： 侵权必究 操作·思考 如图已知直线和上一点P，如何用尺规作得垂线，使它经过点P？能说明你的作法得道理吗？ N； 侵权必究 例3 如图，某地由于居民增多，要在公路l边增加一个公共汽车站，A，B是路边两个新建小区，这个公共汽车站C建在什么位置，能使两个小区到车站的路程一样长(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写画法)? 侵权必究 解：连接AB，作AB的垂直平分线交直线l于O，交AB于E.∵EO是线段AB的垂直平分线，∴点O到A，B的距离相等，∴这个公共汽车站C应建在O点处，才能使到两个小区的路程一样长． 侵权必究 当堂练习 当堂反馈 即学即用 侵权必究 55 当堂练习 1.【中考·义乌】如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 B 侵权必究 2.如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是(　　) A．AB＝AD　 B．CA平分∠BCD C．AB＝BD　 D．△BEC≌△DEC C 侵权必究 3.如图,AB是△ABC的一条边，DE是AB的垂直平 分线，垂足为E，并交BC于点D，已知AB=8cm, BD=6cm,那么EA=_______, DA=_______. A B E D C 4cm 6cm 侵权必究 4.如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝90°，线段AC的垂直平分线MN与AB交于点D，与AC交于点E，则∠BCD的度数是________． 在△ABC中，因为∠B＝90°，∠A＝40°， 所以∠ACB＝50°. 因为MN是线段AC的垂直平分线， 所以DC＝DA， 所以∠DCE＝∠A＝40°. 所以∠BCD＝∠ACB－∠DCA＝50°－40°＝10°. 导引： 10° 侵权必究 　解：∵AD⊥BC，BD =DC， ∴AD 是BC 的垂直平分线， ∴AB =AC． ∵点C 在AE 的垂直平分线上， ∴AC =CE．∴AB =AC =CE． ∴AB+BD=CE+CD,即AB+BD=DE. 5.如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的垂直 平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？ AB+BD与DE 有什么关系？ A B C D E 侵权必究 6.如图,A，B，C三点表示三个工厂，现要建一供水站，使它到这三个工厂的距离相等，请在图中标出供水站的位置P，请说明理由. 拓展提升 A ● B ● C ● 提示：连接AB,AC,分别作AB,AC的垂直平分线，两线交于一点，这点即为所求的点P. 侵权必究 6.如图,A，B，C三点表示三个工厂，现要建一供水站，使它到这三个工厂的距离相等，请在图中标出供水站的位置P，请说明理由. 拓展提升 解：如图所示：点P即为所求． 侵权必究 课堂小结 归纳总结 构建脉络 侵权必究 63 课堂小结 线段垂直平分线的性质 内容 线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等 作用 见垂直平分线，得线段相等 侵权必究 64 1.利用线段垂直平分线的性质可以说明线段相等，线 段的垂直平分线需满足垂直、平分线段． 2.应用性质时要注意两点： (1)点一定在垂直平分线上； (2)距离指的是点到线段两个端点的距离． 侵权必究 2 简单的轴对称图形 第3课时 角平分线的性质及画法 第五章 生活中的轴对称 侵权必究 目录页 讲授新课 当堂练习 课堂小结 新课导入 侵权必究 67 新课导入 教学目标 教学重点 侵权必究 68 新课导入 挑战第一关 情境引入 问题1：在纸上画一个角，你能得到这个角的平分 线吗？ 用量角器度量，也可用折纸的方法．　　 问题2：如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗？ 侵权必究 69 提炼图形 侵权必究 问题3：如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC= DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说明它的道理吗? A B C (E) D 其依据是SSS，两全等三角形的 对应角相等. 侵权必究 知识目标 1. 通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分 线的性质定理.（难点） 2. 理解并掌握角平分线的性质及画法．(重点） 3. 能运用角的平分线性质解决简单的几何问题. （重点） 侵权必究 讲授新课 典例精讲 归纳总结 侵权必究 73 1. 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表： 2. 观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结：__________ PD PE 第一次 第二次 第三次 C O B A PD=PE p D E 实验：OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的 任意一点 猜想：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 1 知识点 角平分线的性质 侵权必究 验证猜想 已知：如图， ∠AOC= ∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E. 试说明：PD=PE. P A O B C D E 解： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB， ∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °. 在△PDO和△PEO中， ∠PDO= ∠PEO， ∠AOC= ∠BOC， OP= OP， ∴ △PDO ≌△PEO(AAS). ∴PD=PE. 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 侵权必究 性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 应用所具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离. 定理的作用： 证明线段相等. 应用格式： ∵OP 是∠AOB的平分线， ∴PD = PE 推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个. 知识要点 PD⊥OA,PE⊥OB， B A D O P E C 侵权必究 判一判：（1）∵ 如下左图，AD平分∠BAC（已知）， ∴ = ，( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 BD CD × B A D C (2)∵ 如上右图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）. ∴ = , ( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 BD CD × B A D C 侵权必究 讲授新课 2 知识点 尺规做角平分线 问题：如果没有此仪器，我们用数学作图工具，能实现该仪器的功能吗？ 做一做：请大家找到用尺规作角的平分线的方法，并说明作图方法与仪器的关系. 侵权必究 78 A B O 提示： (1)已知什么？求作什么？ (2)把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等，怎样在作图中体现这个过程呢? (3)在平分角的仪器中，BC=DC，怎样在作图中体现这个过程呢？ (4)你能说明为什么OC是∠AOB的平分线吗？ 侵权必究 A B M N C O 已知:∠AOB. 求作：∠AOB的平分线. 仔细观察步骤 作角平分线是最基本的尺规作图,大家一定要掌握噢! 作法： （1）以点O为圆心，适当 长为半径画弧，交OA于 点M，交OB于点N. （2）分别以点MN为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C. （3）画射线OC.射线OC即为所求. 侵权必究 已知：平角∠AOB. 求作：平角∠AOB的角平分线. 结论：作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法. A B O C 侵权必究 例1:如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD=4cm，则PE=______cm. B A C P M D E 4 温馨提示：存在两条垂线段———直接应用 典例精析 侵权必究 A B C P 变式：如图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4, AB=14. （1）则点P到AB的距离为_______. D 4 温馨提示：存在一条垂线段———构造应用 侵权必究 A B C P 变式：如图，在Rt △ABC中，AC=BC,∠C＝900，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4，AB=14. （2）求△APB的面积. D （3）求∆PDB的周长. ·AB·PD=28. 由垂直平分线的性质，可知，PD=PC=4， = 侵权必究 1.应用角平分线性质： 存在角平分线 涉及距离问题 2.联系角平分线性质： 面积 周长 条件 知识与方法 利用角平分线的性质所得到的等量关系进行转化求解 侵权必究 典例精析 某地有两所大学和两条相交叉的公路，如图(点M，N表示大学，AO，BO表示公路)．现计划在∠AOB内修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等． (1)你能确定仓库应该建在什么位置吗？在所给的图形 中画出你的设计方案； (2)阐述你的设计理由． 侵权必究 到M，N两点的距离相等的点在线段MN的垂直平分线 上，到OA，OB距离相等的点在∠AOB的平分线上． (1)仓库应该建在MN的垂直平分线和∠AOB的平分线 的交点P处．如图. (2)MN的垂直平分线l上的点到 M，N两点的距离相等， ∠AOB的平分线OC上的点到 OA，OB的距离相等．P为l和OC的交点，因此P点 即为所求． 解： 导引： 侵权必究 当堂练习 当堂反馈 即学即用 侵权必究 88 当堂练习 1. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF= 度， BE= . 60 BF E B D F A C G 侵权必究 2.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（ ） A.SSS B.ASA C.AAS D.角平分线上的点到角两边的距离相等 A B M N C O A 侵权必究 3.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 D B C E A D 解析：过点D作DF⊥AC于F， ∵AD是△ABC的角平分线， DE⊥AB， ∴DF＝DE＝2， 解得AC＝3. F 方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法． 侵权必究 4.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，BC边上有一点E，连接DE，则AD与DE的关系为(　　) A．AD>DE B．AD＝DE C．AD<DE D．不确定 易错点：运用角的平分线的性质时，常因忽略“到角两边的距离”而导致错误 D 侵权必究 5.先任意画一个角， 然后将它四等分. （来自《教材》） 如图． 点拨： 画出已知角∠AOB.①作∠AOB的平分线OC. ②分别作∠BOC和∠AOC的平分线OD，OE. OC，OD，OE即将∠AOB四等分． 解： 侵权必究 6.如图，已知AD∥BC，P是∠BAD与 ∠ABC的平分线的交点，PE⊥AB于E，且PE=3，求AD与BC之间的距离. 解：过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N. ∵ AD∥BC， ∴ MN⊥BC，MN的长即为AD与BC之间 的距离. ∵ AP平分∠BAD, PM⊥AD , PE⊥AB， ∴ PM= PE. 同理， PN= PE. ∴ PM= PN= PE=3. ∴ MN=6.即AD与BC之间的距离为6. 侵权必究 课堂小结 归纳总结 构建脉络 侵权必究 95 课堂小结 角平分线 尺规作图 属于基本作图，必须熟练掌握 性质定理 一个点：角平分线上的点； 二距离：点到角两边的距离； 两相等：两条垂线段相等 辅助线 添加 过角平分线上一点向两边作垂线段 侵权必究 96 $