精品解析：重庆市秀山土家族苗族自治县2025-2026学年下学期一诊数学试题

数学试题 (全卷共四个大题全卷共四个大题，满分 150 分，考试时间 120 分钟) 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色铅笔或签字笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为 A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 实数的绝对值是（ ） A. B. C. D. 2. 剪纸是中国优秀的传统文化．下列剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. “随意打开九年级下册数学教科书，正好是25页”这个事件是（ ） A. 确定性事件 B. 随机事件 C. 必然事件 D. 不可能事件 4. 如图，点A，B，C在上，点是劣弧的中点，若，则 的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 有黑白两种颜色的正五边形图案所示的规律拼成若干个图案，那么第⑧个图案中有白色地砖（　　） A. 17块 B. 20块 C. 23块 D. 26块 6. 某劳动实践基地2025年第一季度共接待参加劳动实践人数约为人，这个数的原数是（ ） A. B. C. D. 7. 若点，，都在反比例函数的图象上，且，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 某电商服务中心决定改善运营方式，计划经过两年时间营业额增加44%，那么这两年该服务中心平均每年营业额的增长率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，点E在边上，作平分交于点F．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 已知两个多项式，，均为正整数，为实数．下列说法： ①若，则存在实数使得； ②若，关于的方程有唯一解，这个解为； ③若，，，则满足条件的多项式共有4个． 其中正确的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）将每小题的答案直接填在题中对应的横线上． 11. 口袋里有除颜色外完全相同的10个球，其中有5个红球，2个白球，3个绿球．从口袋里随机摸出一个球，摸出红球的可能性大小是__________． 12. 如图，直尺和带直角的三角板摆放在课桌面上，直尺的边缘，带直角三角板中角的顶点在上，直角顶点在上，三角板与直尺边缘形成的，则的度数是________． 13. 若，是两个连续整数，且，则的值为_______． 14. 我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样的一个问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中长与宽和为60步，问长比宽多多少步？若设长比宽多步，则可列方程为__________． 15. 如图，为的直径，点A在上，的平分线交于点D，连接．已知，，则的长为________，过点D作，交的延长线于点E，则的长为____________． 16. 若一个四位数各个数位上的数字互不相等且均不为零，且满足千位数字与百位数字的和的平方等于这个四位数去掉千位与百位数字后得到的两位数，则称这个四位数为“和方数”．例如：四位数6149，因为，所以6149是“和方数”；又如：四位数3562，因为，所以3562不是“和方数”．最小的“和方数”为______；已知为“和方数”，A去掉千位数字后所得的三位数记为，记，，在能被11整除的情况下，当取得最大值时，满足条件的“和方数”A等于_______． 三、解答题（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形(包括辅助线)，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组的所有整数解． 18. 学习了等腰三角形后，小雯在用尺规作等腰三角形顶角的角平分线时，发现这条角平分线与底边的交点到两腰中点的距离相等．她的解题思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： 如图，用直尺和圆规作的平分线交于点D，连接，．（要求：只保留作图痕迹）已知：如图，等腰中，，平分，E，F分别是，的中点．求证：． 证明：∵E，F分别是，的中点， ∴，． ∵， ∴ ①． ∵平分， ∴ ②． ∵， ∴ ③． ∴． 小雯进一步研究，发现角平分线上任意一点均有此特征． 请你依照题意补全命题：等腰三角形的顶角平分线上的点 ④． 四、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形(包括辅助线)，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 为加强暑期安全教育，由中国教育电视台制作了“暑期安全一直在行动”系列科普宣传视频内容在多媒体平台播出，广大学生家长及时选择内容进行了观看．为了解学生对暑期安全知识的学习情况，现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生进行问卷测试（测试成绩为百分制，学生得分均为整数且用表示），并对测试数据（成绩）进行如下收集、整理和分析： 【收集数据】 七年级10名学生测试成绩： 75，83，76，82，75，83，95，80，68，83． 八年级的成绩整理如表： 其中分布在这一组的成绩是：85，85，86，84，85． 【整理数据】 年级 七年级 1 4 1 八年级 0 4 5 1 【分析数据】 年级 平均数 中位数 众数 七年级 80 81 八年级 81 85 【解决问题】根据以上信息，解答下面问题： （1）填空：______，______，______； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对安全知识的学习情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校七年级的学生有540人，八年级的学生有500人，请估计该校七、八年级安全知识学习优秀（）的共有多少人？ 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 列方程解下列问题： 重庆小面是重庆的特色美食，某小店推出两款重庆小面，一款是“经典臊子面”，另一款是“特色黄牛面”．已知2份“经典臊子面”和3份“特色黄牛面”需44元；4份“经典臊子面”和5份“特色黄牛面”需78元． （1）求“经典臊子面”和“特色黄牛面”的单价； （2）面粉是制作面条的原材料，该小店老板发现今年第三季度平均每千克面粉的价格比第二季度上涨了，第三季度花600元买到的面粉数量比第二季度花同样的钱买到的面粉数量少了10千克，求第三季度面粉的单价． 22. 如图1，在中，，点是的中点．动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿运动，同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿运动．连接，设运动时间为秒．若的面积为长的与的长之比为． （1）请直接写出分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）如图2，在给定的平面直角坐标系中画出的图象，并分别写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 23. 小明和小玲游览一处景点，如图，两人同时从景区大门出发，小明沿正东方向步行60米到一处小山处，再沿着前往寺庙处，在处测得亭台在北偏东方向上，而寺庙在的北偏东方向上，小玲沿着的东北方向上步行一段时间到达亭台处，再步行至正东方向的寺庙处． （1）求小山与亭台之间的距离；（结果保留根号） （2）若两人步行速度一样，则谁先到达寺庙处．（结果精确到个位，参考数据：，，） 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A和点两点，与轴交于点，连接． （1）求该抛物线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上一动点，过点作交于点，过点作交轴于点，为轴上一动点，连接，当取得最大值时，求点的坐标及的最小值； （3）将抛物线沿方向平移个单位长度，得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点，连接，点是新抛物线上一点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 25. 如图，在中，． （1）如图，若，将绕点顺时针旋转得到线段，连接，，求的度数； （2）如图，若，将绕点顺时针旋转得到线段，连接，，点是的中点，连接交于点，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； （3）如图，若，将绕点旋转得到线段，连接，当取最大值时，在直线上取一点，连接，将沿翻折到所在的平面内，得到，连接．当取最小值时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 (全卷共四个大题全卷共四个大题，满分 150 分，考试时间 120 分钟) 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色铅笔或签字笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为 A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 实数的绝对值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：． 2. 剪纸是中国优秀的传统文化．下列剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，“图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心”，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故该选项错误； B、不是中心对称图形，故该选项错误； C、不是中心对称图形，故该选项错误； D、是中心对称图形，故该选项正确 故选：D． 3. “随意打开九年级下册数学教科书，正好是25页”这个事件是（ ） A. 确定性事件 B. 随机事件 C. 必然事件 D. 不可能事件 【答案】B 【解析】 【详解】解：“随意打开九年级下册数学教科书，正好是25页”这个事件是随机事件． 4. 如图，点A，B，C在上，点是劣弧的中点，若，则 的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等弧对等角，圆周角定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据点是劣弧的中点即可求解． 【详解】解：连接， ∵点是劣弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴． 5. 有黑白两种颜色的正五边形图案所示的规律拼成若干个图案，那么第⑧个图案中有白色地砖（　　） A. 17块 B. 20块 C. 23块 D. 26块 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现白色地砖的块数依次增加3是解题的关键． 依次求出图形中白色地砖的块数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 图①中白色地砖的块数为：； 图②中白色地砖的块数为：； 图③中白色地砖的块数为：； …， 所以图n中白色地砖的块数为块， 当时， （块）， 即图⑧中白色地砖的块数为26块． 故选：D． 6. 某劳动实践基地2025年第一季度共接待参加劳动实践人数约为人，这个数的原数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查将科学记数法表示的数还原为原数，根据科学记数法的规则，对，将的小数点向右移动位即可得到原数． 【详解】． 7. 若点，，都在反比例函数的图象上，且，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据比例系数的符号判断函数图象所在象限，再根据点的横坐标范围判断点所在象限，结合同一象限内随的变化规律即可比较大小． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每一象限内，随的增大而减小， ∵， ∴点在第三象限，可得， ∵， ∴点，都在第一象限，可得， 综上可得． 8. 某电商服务中心决定改善运营方式，计划经过两年时间营业额增加44%，那么这两年该服务中心平均每年营业额的增长率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出初始营业额和平均增长率，根据两年后的营业额关系列方程求解，舍去不符合题意的负根即可得到结果． 【详解】解：设原营业额为，平均每年营业额的增长率为， ∵两年后营业额增加，即两年后营业额为 ， 根据平均增长率的增长关系可得： ， ∵，两边同时除以得： ， 开平方得， ∵增长率为正数， ∴取， 解得：． 9. 如图，在正方形中，点E在边上，作平分交于点F．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作于点，由角平分线性质定理得，运用证明得,求出，设，则，，在和中运用勾股定理可得，求出的值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形是正方形， ， 过点作于点，连接，如图： ∵平分，且，， ∴，, 又， ∴， , 在中，，， 由勾股定理得：， ∴， 设，则，， 在中，，， 由勾股定理得：； 在中， ，， 由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴的长为8． 10. 已知两个多项式，，均为正整数，为实数．下列说法： ①若，则存在实数使得； ②若，关于的方程有唯一解，这个解为； ③若，，，则满足条件的多项式共有4个． 其中正确的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】分别对三个说法，利用一元一次方程解的性质，一元二次方程根的判别式，因式分解求正整数解，逐一判断即可得到正确个数． 【详解】解： ① 根据题意，得： 当时， ， 若存在实数使，需判别式 取正整数，得 ，此时不存在满足条件的，故①错误； ② 当时，整理方程得： 若方程有唯一解，则，此时，仅当时，不是所有情况都满足，例如 时，，故②错误； ③ 对等式，变形因式分解得： 均为正整数， ， ，即， 21的正整数分解中符合条件的只有，： 可得 ， 为正整数，正整数解为，，，共4组，对应4个不同的多项式 ，故③正确； 综上，正确的说法共1个，故选B． 二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）将每小题的答案直接填在题中对应的横线上． 11. 口袋里有除颜色外完全相同的10个球，其中有5个红球，2个白球，3个绿球．从口袋里随机摸出一个球，摸出红球的可能性大小是__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：口袋中总球数为个，红球有个， 摸出红球的可能性为． 12. 如图，直尺和带直角的三角板摆放在课桌面上，直尺的边缘，带直角三角板中角的顶点在上，直角顶点在上，三角板与直尺边缘形成的，则的度数是________． 【答案】 【解析】 【分析】由两直线平行，内错角相等可得，再利用平角求解即可． 【详解】解：如图， ，，， ， ， ． 13. 若，是两个连续整数，且，则的值为_______． 【答案】7 【解析】 【分析】先计算化简得到的结果，再估算无理数的大小，确定，的值，再代入计算即可． 【详解】解： 又且 ，且，是两个连续整数， 14. 我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样的一个问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中长与宽和为60步，问长比宽多多少步？若设长比宽多步，则可列方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据长与宽的和以及长比宽多步，表示出长和宽，再结合矩形面积公式即可列出方程． 【详解】解∶ 设长比宽多步，由题意得，长+宽，长宽， 所以长，宽． ∵矩形面积为平方步， ∴可得方程． 15. 如图，为的直径，点A在上，的平分线交于点D，连接．已知，，则的长为________，过点D作，交的延长线于点E，则的长为____________． 【答案】 ①. 6 ②. 【解析】 【分析】连接，过点作于点，根据圆周角定理得到，由角平分线的性质得到，在中，，利用勾股定理求出、，进而求出的长，根据平行线的性质得到，根据角平分线性质和圆周角定理得到，证明，则，进而得到、，利用列出等式，求解即可． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， ， 为的直径， ， 的平分线交于点D， ， ， 在中，， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：； ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 、， ， ， 解得：． 【点睛】本题考查圆周角定理、角平分线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形，熟练掌握相关性质定理，数形结合的思想方法的运用是解题的关键． 16. 若一个四位数各个数位上的数字互不相等且均不为零，且满足千位数字与百位数字的和的平方等于这个四位数去掉千位与百位数字后得到的两位数，则称这个四位数为“和方数”．例如：四位数6149，因为，所以6149是“和方数”；又如：四位数3562，因为，所以3562不是“和方数”．最小的“和方数”为______；已知为“和方数”，A去掉千位数字后所得的三位数记为，记，，在能被11整除的情况下，当取得最大值时，满足条件的“和方数”A等于_______． 【答案】 ①. 1425 ②. 2781 【解析】 【分析】本题考查了实数的新定义运算，因式分解，解一元二次方程，根据“和方数”的定义计算即可求解，理解新定义运算是解题的关键．设为“和方数”，可知 ，，即，要使得越小，只需，，，越小即可，再根据定义即可求解；由题意可知，则，由能被11整除，得能被33整除，结合定义可知，进而求得，可知 ，，由，可知当时，取得最大值，此时，即可求解． 【详解】解：设为“和方数”， 则 ，，即， 要使得越小，只需，，，越小即可， 当时， 若时，，不符合题意， 若，此时，则，不符合题意， 若，此时，，则，， 即：最小的“和方数”为1425； ∵为“和方数”，则， ∴， 则， ∵能被11整除，即：能被33整除， ∴能被33整除， ∵， ∴， 令，则为33的倍数，，则， 当时，解得，不符合题意； 当时，解得，不符合题意； 当时，解得，符合题意（不符合题意，舍去）； ∴，， ∴，， 则， 当时，取得最大值，此时， 则此时“和方数”等于2781， 故答案为：1425，2781． 三、解答题（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形(包括辅助线)，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组的所有整数解． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 解：由不等式①得：， 由不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴整数解有：． 18. 学习了等腰三角形后，小雯在用尺规作等腰三角形顶角的角平分线时，发现这条角平分线与底边的交点到两腰中点的距离相等．她的解题思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： 如图，用直尺和圆规作的平分线交于点D，连接，．（要求：只保留作图痕迹）已知：如图，等腰中，，平分，E，F分别是，的中点．求证：． 证明：∵E，F分别是，的中点， ∴，． ∵， ∴ ①． ∵平分， ∴ ②． ∵， ∴ ③． ∴． 小雯进一步研究，发现角平分线上任意一点均有此特征． 请你依照题意补全命题：等腰三角形的顶角平分线上的点 ④． 【答案】 补全图形如下： ，，，到两腰中点的距离相等 【解析】 【分析】本题考查尺规作图作角平分线，全等三角形判定与性质，涉及等腰三角形的性质，根据题意补全图形，观察证明过程填空即可．解题的关键是掌握角平分线的尺规作图方法和全等三角形的判定定理． 【详解】略 四、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形(包括辅助线)，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 为加强暑期安全教育，由中国教育电视台制作了“暑期安全一直在行动”系列科普宣传视频内容在多媒体平台播出，广大学生家长及时选择内容进行了观看．为了解学生对暑期安全知识的学习情况，现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生进行问卷测试（测试成绩为百分制，学生得分均为整数且用表示），并对测试数据（成绩）进行如下收集、整理和分析： 【收集数据】 七年级10名学生测试成绩： 75，83，76，82，75，83，95，80，68，83． 八年级的成绩整理如表： 其中分布在这一组的成绩是：85，85，86，84，85． 【整理数据】 年级 七年级 1 4 1 八年级 0 4 5 1 【分析数据】 年级 平均数 中位数 众数 七年级 80 81 八年级 81 85 【解决问题】根据以上信息，解答下面问题： （1）填空：______，______，______； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对安全知识的学习情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校七年级的学生有540人，八年级的学生有500人，请估计该校七、八年级安全知识学习优秀（）的共有多少人？ 【答案】（1）4，83，84.5 （2） 解：我认为八年级学生对安全知识学习情况更好．理由如下： 因为七年级学生对安全知识学习成绩中位数为81，小于八年级学生安全知识学习成绩的中位数84.5，所以八年级学生对安全知识学习掌握得更好． （3）570人 【解析】 【分析】（1）数出成绩在范围内的人数即可求a；根据众数的定义即可求b；根据中位数的定义可求c； （2）比较两年级的中位数、众数、平均数的大小即可得出结论； （3）用全校总人数乘以两年级成绩超过80（分）的比例，计算即可． 【小问1详解】 解：； ∵83出现的次数最多，共3次， ∴七年级的众数是83，即； 按从小到大排列，第5，第6个成绩应是84，85， 故八年级的中位数是，即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校七八年级安全知识学习优秀的学生共有570人． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】根据整式的乘法法则及分式的运算法则化简原式，再根据零指数幂，负整数指数幂求出x的值，代入化简结果计算即可． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴原式． 21. 列方程解下列问题： 重庆小面是重庆的特色美食，某小店推出两款重庆小面，一款是“经典臊子面”，另一款是“特色黄牛面”．已知2份“经典臊子面”和3份“特色黄牛面”需44元；4份“经典臊子面”和5份“特色黄牛面”需78元． （1）求“经典臊子面”和“特色黄牛面”的单价； （2）面粉是制作面条的原材料，该小店老板发现今年第三季度平均每千克面粉的价格比第二季度上涨了，第三季度花600元买到的面粉数量比第二季度花同样的钱买到的面粉数量少了10千克，求第三季度面粉的单价． 【答案】（1）“经典臊子面臊子面”的单价是7元，“特色黄牛面”的单价是10元 （2）第三季度面粉的单价是12元 【解析】 【分析】（1）设“经典臊子面”的单价是x元，“特色黄牛面”的单价是y元．利用总价单价数量，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设第二季度面粉的单价是m元，则第三季度面粉的单价是元，利用数量总价单价，结合第三季度花600元买到的面粉数量比第二季度花同样的钱买到的面粉数量少了10千克，可列出关于m的分式方程，解之经检验后可得出第二季度面粉的单价，再将其代入中，即可求出第三季度面粉的单价． 【小问1详解】 解：设“经典臊子面”的单价是x元，“特色黄牛面”的单价是y元．由题意，得 ， 解得， 答：“经典臊子面”的单价是7元，“特色黄牛面”的单价是10元； 【小问2详解】 解：设第二季度面粉的单价是m元，则第三季度面粉的单价是元．由题意得 ． 解得． 经检验，是所列方程的解． ∴． 答：第三季度面粉的单价是12元． 22. 如图1，在中，，点是的中点．动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿运动，同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿运动．连接，设运动时间为秒．若的面积为长的与的长之比为． （1）请直接写出分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）如图2，在给定的平面直角坐标系中画出的图象，并分别写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】（1）； （2）函数图象如下所示： 当时，随x的增大而增大，当时，随x的增大而减小；当时，随x的增大而减小； （3） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出，则可得到，，根据题意可求出；再分两种情况：当时，点P在线段上（不包括点A，包括点C），当时，点P在线段上（不包括端点），过点P作于点H，解直角三角形求出的长，根据，求出即可； （2）根据（1）所求画出对应的函数图象，再根据函数图象写出对应的函数的性质即可； （3）根据函数图象找到的图象在的图象上方或二者的交点处时自变量的取值范围即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵在中，， ∴， ∴； ∵点是的中点， ∴； 由题意得，， ∵长的与的长之比为， ∴； 如图所示，当时，点P在线段上（不包括点A，包括点C）， 过点P作于点H， 在中，，， ∴， ∴； 如图所示，当时，点P在线段上（不包括端点）， 过点P作于点H， 在中，，， ∴， ∴； 综上所述，； 【小问2详解】 解：由函数图象可知，当时，随x的增大而增大，当时，随x的增大而减小；当时，随x的增大而减小； 【小问3详解】 解：由函数图象可知，当时的取值范围为． 23. 小明和小玲游览一处景点，如图，两人同时从景区大门出发，小明沿正东方向步行60米到一处小山处，再沿着前往寺庙处，在处测得亭台在北偏东方向上，而寺庙在的北偏东方向上，小玲沿着的东北方向上步行一段时间到达亭台处，再步行至正东方向的寺庙处． （1）求小山与亭台之间的距离；（结果保留根号） （2）若两人步行速度一样，则谁先到达寺庙处．（结果精确到个位，参考数据：，，） 【答案】（1）小山与亭台之间的距离米 （2）小玲先到达寺庙处 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）作于点，在中求出，然后在中即可求解； （2）延长，作于点，作于点，则，在中求出，米，在中求出，，进而求出两人行走的路程可得答案． 【小问1详解】 作于点， 由题意知，，，，， 在中， 在中，，， 小山与亭台之间的距离米 【小问2详解】 延长，作于点，作于点，则， 由题意知，， ∴四边形是矩形， ∴． ∵，， ∴， 在中，，米， 在中，， 米， 米， 且两人速度一致， 小玲先到． 答：小玲先到达寺庙处． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A和点两点，与轴交于点，连接． （1）求该抛物线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上一动点，过点作交于点，过点作交轴于点，为轴上一动点，连接，当取得最大值时，求点的坐标及的最小值； （3）将抛物线沿方向平移个单位长度，得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点，连接，点是新抛物线上一点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2）， （3）， 【解析】 【分析】（1）把、代入，解方程组求出a、b的值即可得答案； （2）过点作轴，交于F，过点M作轴于H，交于G，根据解析式求出，得出，根据平行线的性质及角的和差关系得出，利用的三角函数求出，，可得，根据，证明四边形是平行四边形，得出当取得最大值时，取最大值，设，可得，根据二次函数的性质可求出点M坐标为，在第一象限作，过点M作于Q，交y轴于N，过点M作轴于T，可得M、N、Q在一条直线上时，取最小值，利用三角函数求出、的长即可得答案； （3）的抛物线解析式为，得出两抛物线的交点为原抛物线的顶点，分点在点P下方和点P在点P上方两种情况，分别求出的解析式，与新抛物线联立，求出交点坐标即可得答案． 【小问1详解】 解：抛物线与轴交于A，两点与轴交于 ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，过点D作轴，交于F，过点M作轴于H，交于G， ∴， 抛物线与x轴交于点A，两点， 当时，得：， 解得：，， ∴，， ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，，即， 在直角三角形中，，， 由勾股定理得：， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵轴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当取得最大值时，取最大值， 设， ∴，， ∴， ∴当时，取最大值， 当时，， ∴， 在第一象限作，过点M作于Q，交y轴于N，过点M作轴于T， ∴， ∴当M、N、Q在一条直线上时，取最小值， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴，，， ∴， ∴， ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：点Q的坐标为，．理由如下： ∵将抛物线沿方向平移个单位长度，， ∴抛物线向右平移的距离与向上平移的距离相等， 设平移的距离为t， ∴， 解得：t=2（负值已舍去）， ∵， ∴原抛物线的顶点坐标为，平移后的抛物线解析式为， 联立得：， 解得：， ∴，此时新抛物线经过原抛物线的顶点，如图， ①当点在点P下方时，过点C作轴，交于R，过点P作于K， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，将点P，点R的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：， 解得：，（与点P重合，舍去）， ∴； ②当点在点P上方时，过点P作于S，设交y轴于L， 同理可得，，， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，将点P，点L的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：， 解得：，（与点P重合，舍去）， ∴． 综上所述，点Q的坐标为，． 25. 如图，在中，． （1）如图，若，将绕点顺时针旋转得到线段，连接，，求的度数； （2）如图，若，将绕点顺时针旋转得到线段，连接，，点是的中点，连接交于点，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； （3）如图，若，将绕点旋转得到线段，连接，当取最大值时，在直线上取一点，连接，将沿翻折到所在的平面内，得到，连接．当取最小值时，直接写出的值． 【答案】（1）； （2） ， 证明：过作交于点，则， ∵， ∴， 由（）得， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）． 【解析】 【分析】（）通过旋转性质可得，，则，，求出，所以； （）过作交于点，则，再证明，所以，，通过勾股定理得，则； （）根据题意得点在以为圆心，长度为半径的圆上运动，则当三点共线时，有最大值，由折叠性质可得：，故有点在以为圆心，长度为半径的圆上运动，所以当三点共线时，有最小值，设，过作于点，过作于点，则，求得，，，所以，然后通过即可求解． 【小问1详解】 解：如图， ∵绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图， ∵， ∴点在以为圆心，长度为半径的圆上运动， ∴当三点共线时，有最大值， 由折叠性质可得：， ∴点在以为圆心，长度为半径的圆上运动， ∴当三点共线时，有最小值， 设， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 如图，过作于点，过作于点，则， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $