吉林省长春市榆树市教育联盟2025--2026学年下学期4月份阶段八年级数学试题

**基本信息** 榆树市八年级数学月考试卷涵盖函数、几何、代数等核心知识，通过科学记数法、菱形动态问题、新定义“相关函数”等试题，考查抽象能力、几何直观、模型意识与创新意识，适配八年级学情与月考检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|坐标确定、科学记数法、分式性质|基础题占比高，如第2题用病毒直径考科学记数法，体现抽象能力| |填空题|6/18|函数自变量范围、菱形面积、矩形综合|中档题梯度明显，第12题结合中国结考菱形面积，渗透文化传承| |解答题|10/78|函数与几何综合、新定义问题|综合题突出能力，第24题“相关函数”考查模型意识，第23题菱形动态问题培养推理能力与创新意识|

榆树市教育联盟4月份月考八年级数学试题 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1．如图，在平面直角坐标系中，PA垂直x轴，PB垂直y轴，且PA＝3，PB＝2，则点P的坐标为（　　） A．（3，2） B．（2，3） C．（3，﹣2） D．（2，﹣3） 2．小DNA病毒是一类已知最小的动物DNA病毒，已知某种小DNA病毒的直径约为23nm，即0.000000023m．数据“0.000000023”用科学记数法可表示为（　　） A．2.3×10﹣8 B．2.3×10﹣9 C．0.23×10﹣7 D．23×10﹣9 3．如果分式中的x，y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（　　） A．扩大为原来的2倍 B．扩大为原来的4倍 C．不变 D．不能确定 4．直线y1＝mx+n和y2＝﹣nx+m在同一平面直角坐标系内的大致图象为（　　） A． B． C． D． 5．如图，已知AB∥CD，增加下列条件可以使四边形ABCD成为平行四边形的是（　　） A．∠1＝∠2 B．AD＝BC C．OB＝OD D．AD＝AB 6．若点A（﹣3，﹣5），B（2a﹣1，1）都在函数的图象上，则a的值是（　　） A．6 B．7 C．8 D．﹣2 7．如图，在▱ABCD中，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交BA，BC于点E，F，分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点O，作射线BO交AD于点G，交CD的延长线于点H，若AB＝GH＝4，BC＝7，则BG的长为（　　） A． B．6 C．5 D． 8．如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数和的图象分别交于点A和B，连接OA和OB，若k1﹣k2＝5，则△AOB的面积是（　　） A．5 B．3 C． D． 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 9．函数中，自变量x的取值范围是　 　 ． 10．将直线y＝﹣2x+4向右平移2个单位，再向下平移4个单位后，所得的直线的解析式为 　 　 ． 11．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC，垂足为点A，EF过点O，交AD于点F，交BC于点E．若AB＝6，BC＝10，则图中阴影部分的面积是 　 　 ． 12．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小芳家有一个菱形中国结装饰．测得BD＝8cm，AC＝6cm，则该菱形的面积为 　 　 cm2． 13．函数y1＝kx与y2＝5﹣x的图象如图所示，当y1＞y2＞0时，x的取值范围是 　 　 ． 14．如图，在矩形ABCD中，，AD＝2，AE平分∠BAD交BC于点E，DH⊥AE，垂足为H，连接BH并延长交CD于点F．下列结论中正确的是 　 　 （填序号）． ①△ABE≌△AHD； ②CD＝FH； ③HB＝HF； ④CF+2HE＝AD． 三．解答题（共10小题，满分78分） 15．（5分）先化简，然后从这四个数中选一个合适的数代入求值． 16．（5分）小月与小方分别驾车从人民广场，到净月潭．两人同时出发，小月走A线路，全程20km，小方走B线路，全程18km，小方的平均速度是小月的1.2倍，结果小方比小月早到6分钟，问小月每小时走多少千米？ 17．（10分）学习了特殊平行四边形后，小明同学在数学研修活动中进行了拓展性研究．他利用菱形，借助直尺和圆规，作出了矩形．请根据她的思路完成以下作图与填空： （1）尺规作图：如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．在CB的延长线上截取BE＝BC，连接AE，再过点B作AE的垂线交AE于点F（只保留作图痕迹，不写作法，不另外添加字母和符号）； （2）求证：四边形AOBF为矩形． 证明：∵BF⊥AE，∴①　 　 ． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，AD＝BC，AC⊥BD， ∴∠AOB＝90°， ∵BE＝BC，∴②　 　 ， 又∵AD∥BC，∴四边形ADBE为③　 　 ． ∴AF∥OB，∴∠FBO＝④　 　 ． ∴∠AFB＝∠AOB＝∠FBO＝90°， ∴四边形AOBF为矩形． 18．（6分）如图（单位：cm），矩形的长为5cm，宽为4cm，如果将它的长和宽都减去x（cm），那么剩下的小矩形AB′C′D′的面积为y（cm2）． （1）写出y与x之间的函数关系式． （2）上述函数是什么函数？ （3）自变量x的取值范围是什么？ 19．（6分）如图，在▱ABCD中，点E，F分别是AB，CD上的两点，且AE＝CF，AF，DE．相交于点M，BF，CE相交于点N． （1）写出图中除▱ABCD外的所有平行四边形； （2）求证：EN＝MF． 20．（8分）如图，一次函数y1＝mx+n与反比例函数y2（x＞0）的图象分别交于点A（2，a）和点B（6，1），与坐标轴分别交于点C和点D． （1）求一次函数与反比例函数的表达式． （2）直接写出不等式mx+n0（x＞0）的解集． （3）连接AO，BO，在y轴上是否存在点P，使，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 21．（6分）一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地小时后，一辆货车从A地出发，沿同一路线每小时行驶80千米匀速驶向B地，货车到达B地填装货物耗时15分钟，然后立即按原路匀速返回A地．巡逻车、货车离A地的距离y（千米）与货车出发时间x（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）求A，B两地之间的距离及a的值； （2）求线段FG所在直线的函数表达式； （3）货车出发多少小时两车第一次相距15千米？ 22．（9分）某班数学兴趣小组对函数y＝||x|﹣2|的图象和性质进行了研究，探究过程如下，请补充完整 （1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y … 1 0 1 2 m 0 1 2 …． 其中，m＝　 　 ； （2）根据上表的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数的另一部分图象； （3）方程||x|﹣2|＝3的解是　 　 ； （4）关于x的方程||x|﹣2|＝a有4个实数解，则a的取值范围是　 　 ． 23．（11分）如图1～图3，菱形ABCD的边长为6，∠B＝60°，M，N，K分别在边AB，CD，DA上，AM＝2，DK＝1，．点P从点M出发，沿折线MB﹣BC﹣CN匀速运动，到达点N时停止．连接AP，作∠APE＝∠B，射线PE与菱形的另一边交于点E，若与对角线AC有交点，设交点为F．设点P运动的路程为x． （1）AC＝ 　 　 ； （2）淇淇认为：“当点P在折线MB﹣BC上运动时，如图1和图2，始终满足．”请判断淇淇的说法是否正确？并说明理由； （3）如图2，若点P在边BC上运动（不含端点，即4＜x＜10）， ①请用含x的式子表示CF的长； ②当CF取得最大值时，试确定PE与AC的位置关系； （4）当点K在∠APE外部时，直接写出符合条件的x的整数值． 24．（12分）【了解概念】 已知函数y1是自变量x的函数，当y2＝x+y1+2时，称函数y2为函数y1的“相关函数”．在平面直角坐标系中，对于函数y1图象上一点A（m，n），称点B（m，m+n+2）为点A关于函数y1的“相关点”，点B在函数y1的“相关函数”y2的图象上． 【理解运用】 例如：函数y1＝2x．当y2＝x+y1+2＝x+2x+2＝3x+2时，称函数y2＝3x+2是函数y1的“相关函数”．在平面直角坐标系中，函数y1＝2x图象上任意一点A（m，n），点B（m，m+n+2）为点A关于y1的“相关点”，点B在函数y1＝2x的“相关函数”y2＝3x+2的图象上． （1）函数y1＝4x﹣5的“相关函数”y2的表达式为　 　 ； （2）如图1，函数点A在函数y1图象上，点G在函数y1的“相关函数”y2的图象上．若AG∥x轴，AG＝2，求点A的坐标； （3）函数y1＝kx（k＞0），点C（t，yc）在函数y1图象上，点D（t，yD）在函数y1的“相关函数”y2图象上，且是点C的相关点，若求t的取值范围； 【拓展提升】 （4）在（3）的条件下，k＝1，t是整数，函数y2的图象与y轴交于点E，以点E为中心，作边长为2个单位长度且各边与坐标轴平行的正方形，将该正方形沿y轴负半轴方向平移，设平移后正方形的中心E'的坐标为（0，n），若在平移的过程中正方形的对边被△CDE截得的线段的长度相等，请直接写出n的值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A． A B C C A D 9． x≠﹣2． 10． y＝﹣2x+4． 11． 24． 12． 24． 13． 2＜x＜5． 14． ①③④． 15． 解：原式＝（）÷（） • ， 由题意得：x≠±1、， 当x＝0时，原式0． 16． 解：设小月每小时走x千米，则：小方的速度为1.2x千米每小时，由题意，得： ， 解得：x＝50， 经检验x＝50，是原方程的解； 答：小月每小时走50千米． 17． （1）解：如图即为所求： 作法：延长CB，以B为圆心，BC的长为半径，在CB的延长线上画弧，即为点E；连接AE，分别以A，E为圆心，BC的长为半径，在AE的上方画弧，两弧交于一点，连接该点与点B，与AE交于一点，即为点F． 则F点为所求． （2）证明：由题意可得；∠AFB＝90°， ∵四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质可得：AD∥BC，AD＝BC，AC⊥BD， ∴∠AOB＝90°， ∵BE＝BC， ∴BE＝AD， 又∵AD∥BC， ∴AF∥OB， ∴∠FBO＝∠AFB， ∴∠AFB＝∠AOB＝∠FBO＝90°， ∴四边形AOBF为矩形． 故答案为：①∠AFB＝90°；②BE＝AD；③平行四边形；④∠AFB． 18． 解：y＝（5﹣x）（4﹣x） 即y＝x2﹣9x+20； （2）∵y＝x2﹣9x+20， ∴y是x的二次函数； （3）自变量x的取值范围是0＜x＜4． 19． （1）解：除▱ABCD外的平行四边形有：▱AECF，▱BEDF，▱EMFN． （2）证明：在▱ABCD中，点E，F分别是AB，CD上的两点，且AE＝CF， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴MF∥EN， ∵AE＝CF，AB＝CD， ∴BE＝DF， 又∵AB∥CD， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∴EM∥NF， 又∵MF∥EN， ∴四边形EMFN是平行四边形， ∴EN＝MF． 20． 解：（1）∵一次函数y1＝mx+n与反比例函数y2（x＞0）的图象分别交于点A（2，a）和点B（6，1）， ∴k＝2a＝6， ∴a＝3， ∴A（2，3），B（6，1）， ∴反比例函数解析式为：y， ，解得， ∴一次函数解析式为：y； （2）根据函数图象及交点坐标，不等式mx+n0（x＞0）的解集为：0＜x＜2或x＞6． （3）由一次函数解析式y可知C（0，4）， ∴S△AOB＝S△BOC﹣S△AOC8， ∵，若存在， ∴2， 设点P（0，m）， ∴丨m丨×2＝2， ∴m＝±2， ∴点P（0，2）或（0，﹣2）． 21． 解：（1）∵（千米）， ∴A，B两地之间的距离是60千米； ∵货车到达B地填装货物耗时15分钟， ∴； （2）设线段FG所在直线的解析式为y＝kx+b（k≠0），将F（1，60），G（2，0）代入得： ， 解得 ， ∴线段FG所在直线的函数解析式为y＝﹣60x+120； （3）巡逻车速度为（千米/小时）， ∴线段CD的解析式为， 当货车第一次追上巡逻车后，80x﹣（25x+10）＝15， 解得， 当货车返回与巡逻车未相遇时，（﹣60x+120）﹣（25x+10）＝15， 解得， 当货车返回与巡逻车相遇后，（25x+10）﹣（﹣60x+120）＝15， 解得， 综上所述，货车出发小时两车第一次相距15千米． 22． 解：（1）把x＝1代入函数y＝||x|﹣2|，得y＝1，即m＝1； 故答案为：1； （2）作图如下： （3）由条件可得：|x|﹣2＝±3，所以有|x|＝5或|x|＝﹣1（不符合题意，舍去）， 解得x＝±5； 故答案为：x＝±5； （4）直线y＝a与（2）的图象有4个交点，所以由图象可直接得0＜a＜2； 故答案为：0＜a＜2． 23． 解：（1）菱形ABCD的边长为6，∠B＝60°， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，∠B＝∠D＝60°，∠BCD＝∠BAD＝120°，，AB∥CD， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC＝6， 故答案为：6； （2）解：淇淇的说法错误；理由如下： 当点P在AB上时，如图1， ∵AB∥CD， ∴△APF∽△CEF， ∴； 当点P在BC上时，如图2， ∵∠APE＝∠B＝∠BCA＝60°，∠AFP＝∠CFE， ∴△APF∽△ECF， ∴，不满足； ∴淇淇的说法错误； （3）①∵AM＝2， ∴BM＝AB﹣AM＝6﹣2＝4， ∵点P在边BC上运动（不含端点，即4＜x＜10）， ∴BP＝x﹣4，PC＝BC﹣BP＝6﹣（x﹣4）＝10﹣x， ∵∠APE＝∠B＝∠BCA＝60°， ∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝60°+∠CPE，∠APC＝∠B+∠BAP＝60°+∠BAP， ∴∠BAP＝∠CPE， ∴△ABP∽△PCF， ∴， ∴， 解得； ②PE⊥AC；理由如下： ∵， ∴当x＝7时，CF取得最大值，此时BP＝CP＝3， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠APC＝90°， ∵∠APE＝∠B＝∠BCA＝60°， ∴∠CPE＝∠APC﹣∠APE＝30°， ∴∠PFC＝180°﹣∠CPE﹣∠ACP＝180°﹣30°﹣60°＝90°， ∴PE⊥AC； （4）符合条件的x的整数值为12或13；理由如下： ∵， ∴， ∴当点P到达点N时，， ∴P在线段CN上时，10≤x≤13.5，CP＝x﹣10，DP＝CD﹣CP＝6﹣（x﹣10）＝16﹣x， ∵∠APE＝∠B＝60°， ∴∠APE＝∠B＝∠D＝∠ACD＝60°， ∴∠APD＝∠APE+∠DPE＝60°+∠DPE，∠APD＝∠ACD+∠CAP＝60°+∠CAP， ∴∠CAP＝∠DPE， ∴△ACP∽△PDE， ∴， ∴， ∴， 当时，解得， 由图1和图2可以发现，当点P在折线MB﹣BC上运动时点K在∠APE内部， ∴当点K在∠APE外部时，P在线段CN上，此时DE＞DK＝1， ∴，即11.2＜x＜14.7， ∴符合条件的x的整数值为12或13． 24． 解：（1）函数y1＝4x﹣5，“相关函数”为y2＝x+y1+2， ∴y2＝x+4x﹣5+2＝5x﹣3， 故答案为：y2＝5x﹣3； （2）函数点A在函数y1图象上，点G在函数y1的“相关函数”y2的图象上． ∴设， 函数y1的“相关函数”y2的解析式为， ∴设， ∵AG∥x轴， ∴， 当a＞g时，， 解得：， ∴， ∴； 当a＜g时，， 解得：， ∴， ∴； （3）函数y1＝kx（k＞0），点C（t，yc）在函数y1图象上， ∴点C的坐标为（t，kt），即yC＝kt， ∵点D的坐标为（t，yD）是点C的相关点， ∴yD＝t+yC+2＝t+kt+2＝（k+1）t+2， ∴点D的坐标为（t，（k+1）t+2）， 若， ∴yD﹣yC＝（k+1）t+2﹣kt＝t+2， ∴， 解得：； （4）n的值为；理由如下： 在（3）的条件下，k＝1，t是整数， ∴y1＝x，t＝﹣1， ∴C（﹣1，﹣1），D（﹣1，0）， 当x＝﹣1时，y1＝﹣1，即点C在函数y1的函数图象上， 根据题意，函数y1的“相关函数”y2的解析式为：y2＝x+y1+2＝x+x+2＝2x+2， ∵函数y2的图象与y轴交于点E， ∴当x＝0时，y＝2，即E（0，2）， 当y2＝0时，x＝﹣1，即（﹣1，0），即y2与x交于点D， 以点E为中心，作边长为2个单位长度且各边与坐标轴平行的正方形MNPQ，如图2， ∴MN＝NP＝PQ＝QM＝2，∠MNP＝∠NPQ＝∠PQM＝∠QMN＝90°， ∵点E是正方形的中心， ∴点E到正方形MNPQ各边的距离为1，即点E′到正方形MNPQ各边的距离为1， ∴P（﹣1，1），N（﹣1，3）， 点C，D，P，N在直线x＝﹣1的直线上， 如图所示，△CDE截MN于RS，截PQ于PT，则RS＝PT，设MN与y轴交于点K，PQ与y轴交于点L，且E′（0，n），设RS＝PT＝m， ∴OD＝1，OE＝2，OE′＝n，OK＝1+n，OL＝1﹣n， ∴K（0，1+n），L（0，n﹣1）， 设直线DE的解析式为yDE＝k1x+2（k1≠0）， ∴﹣k1+2＝0， 解得：k1＝2， ∴直线DE的解析式为yDE＝2x+2， 同理直线CE的解析式为：yCE＝3x+2， 当y＝1+n时，yDE＝1+n＝2x+2， 解得：， yCE＝1+n＝3x+2， 解得：， ∴ 当y＝n﹣1时，yCE＝n﹣1＝3x+2， 解得：， ∴， ∵RS＝PT， ∴， 解得：． 第1页（共18页） 学科网（北京）股份有限公司 $